高數(shù)定積分ppt課件-文庫吧資料
2025-01-26 00:54本頁面
【正文】 分別繞直線 dV1S? 21??y分析：此題為求解旋轉體體積的問題，因為直線 21??y以直代曲所形成的矩形為 則繞直線 旋轉而成 1,S? 21??y平行于 軸 , 所以繞直線 旋轉時 , 取 積分變量。 對 設區(qū)間 所對應的曲邊梯形為 [ 0 , ],2x ??? ],[ dxxx ? ,S?旋轉而成的旋轉體的體積。 繞 軸旋轉時 , 取 為積分變量。 所對應的曲邊扇形的面積為 ,A?所求圖形的面積 ?則面積元素 就是用區(qū)間 1dA [ , ]d? ? ??所對應的扇形面積代替曲邊扇形的面積 ,A?面積 因為曲線關于 軸對稱，所以只須考慮第一象限中的情況 . 取 為積分變量 ,則 設區(qū)間 x? [0 , ].??? [ 0 , ] ,???? [ , ]d? ? ??解： (1) 確定積分變量和積分區(qū)間 :取 為積分變量， ? [0, ]???(2) 求微元：任取 則面積 [ 0, ],??? [ , ] [ 0, ] ,d? ? ? ???元素 就是區(qū)間 所對應的扇形面積 , 1dA [ , ]d? ? ??211 .2d A d???(3) 求定積分： 第一象限圖形的面積表示為 2 2 21 001 2 ( 2 c o s )2A d a d??? ? ? ?? ? ???2 2 20 ( 4 4 c o s c o s ) 9a d a? ? ? ? ?? ? ? ??則所求的幾何面積為 212 18A A a???【 例 5】 設由曲線 ， 及 圍成 xy sin? (0 )2x??? 1?y 0?x平面圖形 繞 軸 , 軸旋轉而成的旋轉體的體積。 dA面積為 則面積元素 ,A?考慮到當 和 時 ]0,[],[ ???? dxxx ]1,0[],[ ?? dxxx ],[ dxxx ?上所對應曲邊梯形不同，所以，相對應矩形面積的表達式也 不同，因此微元 應該分別去求 . dA 解：（ 1）確定積分變量和積分區(qū)間：設切點 的坐標為 M 則過原點且與 相切的切線方程為： 00( , ),M x y xey ? 0 ,xy e x?由 得 的坐標為 . ???????00000xxeyxey M ),1( eM 故得到切線方程為 . exy ?所以選取 為積分變量 , . x ( , 1 ]x ? ??（ 2）求微元：任取 ,則當 [ , ] ( , 1 ]x x dx? ? ? ?時 ,那么面積元素 就是 [ , ] [ , 0]x x dx? ? ? ?1dA區(qū)間 所對應的矩形的面積， [ , ]x x dx?（ 3）求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為： 0112 0 ()xxA A A e d x e e x d x??? ? ? ? ???解上面的積分得： 0101020() lim ( )22xxxxaaA e d x e e x d xeee d x e x??? ? ?? ? ?? ? ? ????即 當 時 ,那么面積元素 就是區(qū)間 [ , ] [ 0, 1 ]x x dx??2dA [ , ]x x dx?所當對應的矩形的面積， 即 dxexedA x )(2 ??dxedxedA xx ??? )0(1【 例 3】 求由擺線 , 的一拱 )s in( ttax ?? )c o s1( tay ???20 ?? t 與 軸所圍成圖形的面積 . x分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示， 設區(qū)間 所對應的曲邊梯形面積為 [ , ]x x dx? ,A?則面積元素 就是在 上“以直代曲” dA ],[ dxxx ?所形成的矩形面積。 x所示。 ,A?dA ],[ dxxx ?解 ： (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 的交點為 和 , )0,0( )3,3(
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