高數(shù)定積分ppt課件(已改無錯(cuò)字)
2023-02-20 00:54:24 本頁面
【正文】 d x x d x??? ? ???32 33?y y【 例 8】 計(jì)算半立方拋物線了 被拋物線 232 ( 1 ) ,3yx?? 32xy ?截得的一段弧的長(zhǎng)度。 分析：所給定的曲線弧如圖所示。 對(duì) 把區(qū)間 上 [1 , 2 ] ,x?? ],[ dxxx ?所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng) 用切線段長(zhǎng) s? ds代替，則得到弧長(zhǎng)的微元 的解析式 . ds[1, 2 ].x ?取積分變量為 則 ,x取 為積分變量 ,則 x [1 , 2] .x ?解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：計(jì)算兩曲線的交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)得 ?(2) 求微元： 區(qū)間 [1 , 2],x?? [ , ] [ 1 , 2] ,x x dx?? ],[ dxxx ?所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng) 用切線段長(zhǎng) 來代替 ,得弧長(zhǎng)元素 s? ds2 2 39。 2( ) ( ) 1 ( )d s d x d y y d x? ? ? ?由于 212322)1(23)1(2)1(3)1( ???????? xxxyxy從而 dxxdxyds 21231 2 ?????(3) 求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得 22 211312 1 222s y d x x d x?? ? ? ???3282[ ( ) 1 ]95??【 例 9】 求星形線 的全長(zhǎng) . 3c os ,x a t? tay 3s in?分析：曲線為參數(shù)方程，由于星形線關(guān)于 軸都對(duì)稱 ,xy所以只須考慮第一象限中的情況。取參數(shù) 為積分變量， t 對(duì) 把區(qū)間 上所對(duì)應(yīng)的曲線 [0, ],2t ?? [0 , ],2t ??? [ , ]t t dt?段長(zhǎng) 用切線段長(zhǎng) 代替 ,則得到曲線弧長(zhǎng)的微元 s? ds ds的解析式。 解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間 : [0 , ].2t ??取參數(shù) 為積分變量 , t (2) 求微元： 把區(qū)間 上所對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng) [ 0 , ],2t ??? [ , ]t t dt?用切線段長(zhǎng) 代替 , 得弧長(zhǎng)元微元 s? ds22( ) ( ) .d s x t y t d t????(3) 求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得 2220 ( ) ( )s x t y t d t? ?????2 4 2 2 4 220 9 c o s si n 9 si n c o sa t t a t t d t????2033s in 222a td t a????則所求曲線弧長(zhǎng)為 4 6 .S s a??注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo) 來做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。 以上例 19給出了定積分在求幾何圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，截面面積為已知的立體的體積和曲線弧長(zhǎng)方面的應(yīng)用。下面的例 10給出了定積分的綜合應(yīng)用。 【 例 10】 * 設(shè)曲線 與 交于點(diǎn) 2 ( 0, 0 )y ax a x? ? ? 21 xy ?? ,A過坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) 的直線與曲線 圍成一平面圖形， O ,A 2axy ?問 為何值時(shí) , 該圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的 a x體積最大？最大體積是多少？ 分析：此題為定積分應(yīng)用的最值問題，首先應(yīng)先求出交點(diǎn) 的方程與曲線 圍成一平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 OA 2axy ? x所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積可看成直線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 OA x所得旋轉(zhuǎn)體的體積減去曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得 2axy ? x旋轉(zhuǎn)體的體積 , 見圖 , 最后求駐點(diǎn)，即可得 . a解：求交點(diǎn)： , ??????221 xyaxy)1,1 1( aaaA ??A 的坐標(biāo)，確定 的范圍 , 然后求出直線 的方程 , 直線 OAx解得 直線 方程為 OA,1ayxa? ? 1[ 0 , ] ,1x a? ?直線 與曲線 圍成一平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 OA 2axy ? x所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為 12 2 210 ( ) ( )1a aV x a x d xa?? ??????????1 22 2 410 ()1a a x a x d xa?????? 522215 ( 1 )aa???272325)1(15)4()1()1(25)1(2152 252aaaaaaaadadV
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