高數(shù)定積分ppt課件(參考版)
2025-01-23 00:54本頁面
【正文】 如果取如圖所 示的坐標(biāo)系， 壓力可理解水深 處的壓強(qiáng)乘上受力面積 . x4 ( 3 ) .3d P p d A g x x d x?? ? ?],[ dxxx ?的矩形面積 代替 , 所以水壓力元素為 dA對(duì)應(yīng)的受力面積 可用相應(yīng) A?那么 在 窄條所受的水 [ 3 , 9 ],x?? ],[ dxxx ?0(3,0)(9,4)xyx dx?9x解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：建立如圖所示的 坐標(biāo)系，則直線 的方程為 取 為積分 AB 2( 3 ) ,3yx?? x變量，則 [ 3, 9] .x ?(2) 求微元： 且 窄條 [ 3, 9]x?? [ , ] [ 3, 9] ,x x dx??],[ dxxx ? 上所受的壓強(qiáng)為 窄條 的 ,p gx?? ],[ dxxx ?面積 用對(duì)應(yīng)矩形的面積 近似代替 , 得到 A? dA242 ( 3 ) ( 3 ) ,33d A x d x x d x? ? ? ? ?所以的水壓力元素為 dxxgxpAdP )3(34 ??? ?(3) 求定積分：每面所受的壓力為 )()3(3493 NdxxgxP ??? ? ?【 例 13】 * 有一半徑為 得均勻半圓弧，質(zhì)量為 求它對(duì) r ,m位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力。取坐標(biāo)原點(diǎn)在水平面， 軸鉛直向下 x如果設(shè) 所對(duì)應(yīng)的薄層的體積為 [ 0 , ],xR?? [ , ]x x dx? ,V?那么在 上以直代曲，便得體積元素 [ , ]x x dx? 2 ,dV y dx??從而得到重力作功的功元素 2 .d W x y d x???解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 建立如圖所示的坐標(biāo)系 . 則半圓的方程為 取 為積分變量 , 則 22 .y R x?? x [0, ].xR?(2) 求微元 : 對(duì) 把區(qū)間 [ 0, ],xR?? [ , ] [ 0, ] ,x x dx R?? ],[ dxxx ?所對(duì)應(yīng)的薄層的體積用圓柱體體積代替 ,得到 2 2 2( ) .d V y d x R x d x??? ? ?由于將這一薄層水吸出是這一薄層水的重力在作功，設(shè)水的 比重為 所以功的元素為 1,? ?dxxRxdW )( 22 ?? ??(3) 求定積分：將滿池水全部抽出所作的功為 220 ()RW x R x d x????? 2 2 40 () 4R x R x d x R??? ? ??【 例 12】 一底為 8厘米，高為 6厘米的等腰三角形片，鉛直沉 入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面 3厘 米，求每面所受的壓力。 特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問題時(shí)，選 取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡單。本節(jié) 僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。下面的例 10給出了定積分的綜合應(yīng)用。 解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間 : [0 , ].2t ??取參數(shù) 為積分變量 , t (2) 求微元： 把區(qū)間 上所對(duì)應(yīng)的曲線弧長 [ 0 , ],2t ??? [ , ]t t dt?用切線段長 代替 , 得弧長元微元 s? ds22( ) ( ) .d s x t y t d t????(3) 求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計(jì)算得 2220 ( ) ( )s x t y t d t? ?????2 4 2 2 4 220 9 c o s si n 9 si n c o sa t t a t t d t????2033s in 222a td t a????則所求曲線弧長為 4 6 .S s a??注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo) 來做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。 2( ) ( ) 1 ( )d s d x d y y d x? ? ? ?由于 212322)1(23)1(2)1(3)1( ???????? xxxyxy從而 dxxdxyds 21231 2 ?????(3) 求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計(jì)算得 22 211312 1 222s y d x x d x?? ? ? ???3282[ ( ) 1 ]95??【 例 9】 求星形線 的全長 . 3c os ,x a t? tay 3s in?分析：曲線為參數(shù)方程，由于星形線關(guān)于 軸都對(duì)稱 ,xy所以只須考慮第一象限中的情況。 分析：所給定的曲線弧如圖所示。 分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。 21??y的旋轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1