[理學(xué)]微積分高數(shù)(參考版)
2025-01-22 08:48本頁(yè)面
【正文】 (2) 上述方法得到的點(diǎn)沒(méi)實(shí)用的方法判別其為極大值點(diǎn)是極小值點(diǎn) , 一般都由問(wèn)題的實(shí)際意義 (物理意義和幾何意義等 ) 來(lái)判別 . 哈爾濱工程大學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) 證 令曲線 0),( ?yx? 的參數(shù)方程為 :L?????)()(tyytxx )( ?? ?? t , 0t對(duì)應(yīng)0P, 則 t 的一元函數(shù) ))(),(( tytxfz ? 在0t處也取極值 . 0P0),( ?yx?? 哈爾濱工程大學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) 從而 )},(),({ 0000 yxfyxf yx 為曲線 L : 0),( ?yx?在 0P 的一個(gè)法向 . )(),()(),(| 0000000tyyxftxyxfdtdz yxt ??????0)}(),({)},(),({ 000000 ????? tytxyxfyxf yx但是 , 向量 )},(),({ 0000 yxyx yx ?? 是 曲 線 L : 0),( ?yx? 在 0P 的一個(gè)‘正宗’法向 . 因而存在一個(gè)實(shí)數(shù)0?使 ?)},(),({ 0000 yxfyxf yx 0? )},(),({ 0000 yxyx yx ?? 哈爾濱工程大學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) 記 00 ?? ?? , 則 ????????0),(),(),(),(),(000000000000yxyxyxfyxyxfyyxx?????這說(shuō)明 ),(000?yx 為函數(shù) ),(),(),( yxyxfyxL ??? ?? 的駐點(diǎn) . ?????????????0),(),(0),(),(),(0),(),(),(0000,00000000,00000000,0yxyxLyxyxfyxLyxyxfyxLyyyxxx????????? 哈爾濱工程大學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) 例 7 將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù) zyx , , 之和使得xyzu ? 為最大 . 解 令 )12(),( ????? zyxxyzzyxL ??, ????????????????????? 012 0 0 0zyxLxyLxzLyzLzyx????則 .4 ), ( 3?????? zyxxyxzyz得到為中介以個(gè)方程由前 ?另一方面 , 由問(wèn)題的實(shí)際意義知 u= 4 4 4 = 64 為所求 . 哈爾濱工程大學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) 例 8 在第一卦限內(nèi)作橢球面 1222222???czbyax的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo) . 解 設(shè) ),( ???P 為橢球面上一點(diǎn) . 令 1),( 222222????czbyaxzyxF , 則有 過(guò) ),( ???P 的切平面方程為 ,2| 2aF Px ?? ,2| 2aF Py ?? .2| 2aF Pz ???? )(2 ?? xa ?? )(2 ?? yb 0)(2 ?? ?? zc . 哈爾濱工程大學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) 化簡(jiǎn)為 1222 ?????? c zb ya x ??? . 該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 ?2ax ? ， ?2by ? ，?2cz ? , 所圍四面體的體積 ? ? ?1661 222???cbax y zV 在條件 1222222???cba??? 下求 ? ? ??U 的最大值點(diǎn) : )
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