【正文】 解 由泰勒展開式 ?? ?????????! )12()1(! 5! 3s i n1253nxxxxx nn),( ?????x原式等于 .12s in ??74 解 級數(shù) ??? ??0 !)12(2)1(nnnn的和等于 . ??? ???0 !)12(2)1(nnnnS ??? ?????0 !)12()112()1(nnnn?????? ?????00 !)12()1(!)2()1(nnnnnn.1s i n1c os ??【答案】 應(yīng)填 .1s i n1c os ?,!)12()1(!51!31s i n 1253 ?? ?????????nxxxxx nn,!)2()1(!41!211c os242 ?? ???????nxxxx nn例 5 75 題型 5：將函數(shù)展開成冪級數(shù) 解 利用展開式 ???????11)1()1l n (nnnnxx , ]1,1( ??x )21l n ( 2xx ?? )21l n ()1l n ( xx ??????????11)1(nnnnx ???? ???11 )2()1(nnnnx,2)1(11???? ???nnnnxn??????????12111xx ,2121 ???? x即收斂域為 )21,21[ ? . (95,6 分 ) 將函數(shù) )21l n ( 2xxy ??? 展開成 x 的冪級數(shù)，并指出其收斂域 . 例 1 76 例 2 解 431)(2 ??? xxxf )1)(4(1??? xx )1141(51???? xx)12 113 1(51 ??????? xx21111013111151???????xx????????????00)2 1(101)3 1(151nnnn xx ,)1](31)2(1[51011????? ????nnnn x???????2|1|3|1|xx ,2|1| ??? x 收斂區(qū)間為 )3,1( ? . (07,10 分 ) 將 函數(shù)431)( 2???xxxf 展開成 1?x 的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間 . 77 解 xxxxxf ????? a r c t a n2111ln41)( 例 3 試將函數(shù) 展開成 x 的冪級數(shù) ,并指出其收斂域 . (Ⅰ 94三 5) 11 121)1 11 1(41)( 2 ???????? xxxxf11 1 4 ??? x ,14????nnx 1|| ?x所以 )0(d)()( 0 fttfxf x ??? ?,14114??????nnnx 1|| ?x? ????0 04 dnx n tt78 答案： 將函數(shù)xxxf2121a r c t a n)(??? 展開成 x 的冪級數(shù)，并求級數(shù) ??? ??0 12)1(nnn的和 . 類題 ].21,21(,124)1(24)( 120?????? ???? xxnxf nnnn?.412 )1(0???????nnn79 題型 6：其它 例 1 證 證明 0!2lim ??? nnn nn . 由比值審斂法知級數(shù) ??? 1!2nnnnn 收斂 , 故 0!2lim ??? nnn nn . 分析：利用收斂級數(shù)的必要性來證 . nnnnn nnnn !2)1(!)1(2lim11???? ??nn n )/11(2l i m????,1e2 ??80 END 。 因為 ???? ?????22 lnlndln1 xxxx , 故 ??? 21s i nln1n nn與 ??? 2 ln1n nn同斂散 , 由積分判別法知 , ??? 2 ln1n nn發(fā)散 , 柯西積分判別法 : 設(shè)函數(shù) )( xf 非負 , 單減 , 則級數(shù) ??? 1)(nnf 與廣義積分 ? ??1 d)( xxf同斂散 . 例 8 ,111s i nlimln11s i nln 1lim ?????? nnnnnn nn所以原級數(shù)也發(fā)散 . 37 (03,4 分 ) 設(shè)2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 (A) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (B) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (C) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都 不定 (D) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都不定 例 9 38 【評注】 應(yīng)了解以下結(jié)論： (1) ??? 1nna 絕對收斂 ? ????1 2||nnn aa 與 ????1 2||nnn aa 都收斂； (2) ??? 1nna 條件收斂 ? ????1 2||nnn aa 與 ????1 2||nnn aa 都發(fā)散； (3) ????1 2||nnnaa與 ????1 2||nnnaa一個收斂，一個發(fā)散 ? ??? 1nna 發(fā)散 . (03,4 分 ) 設(shè)2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 例 9 39 (03,4 分 ) 設(shè)2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 (A) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (B) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (C) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都 不定 (D) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都不定 例 9 【答案】 應(yīng) 選 (B). 40 解 ( A ) ????112nna 收斂 , ??? 12nna 發(fā)散 ( B ) ??? 12nna 收斂 ,????112nna 發(fā)散 例 10 收斂級數(shù)加括號仍收斂，故 (D)正確 . （ A ）（ B ）反例：na n 1? ； 由性質(zhì)：正項級數(shù)加括號或去括號不改變其斂散性，可判定 (C)選項是錯誤的 . ( C ) )(1212???? ?nnn aa 收斂 ( D ) )(1212???? ?nnn aa 收斂 (05,4 分 ) 設(shè) ,2,1,0 ??? na n 若 ??? 1nna 發(fā)散， ?????11)1(nnn a 收斂，則下列結(jié)論正確的是 41 斂？如果收斂，是否收判斷級數(shù) ??? ??1 ln)1(nnnn解 ,1ln1 nnn ??? ,11發(fā)散而 ???n n,ln1ln)1(11發(fā)散?????? ?????nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂． ,0ln11limln1lim ???? ??????nnnnn nn一方面 , xxnnxnlnlimlnlim???????? ,01l im ????? xx是條件收斂還是絕對收斂？ 例 11 42 ,ln )1(1收斂交錯級數(shù) ??? ??nnnn由萊布尼茨定理知 , ),0(ln)( ??? xxxxf令),1(011)( ????? xxxf另一方面 , ,),1()( 上單增在 ??? xf ,ln1 單減即xx ?,1ln1 時單減當(dāng)故 ?? nnn故原級數(shù)是條件收斂．