【文章內(nèi)容簡介】 p?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 (A) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (B) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (C) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都 不定 (D) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都不定 例 9 38 【評注】 應了解以下結(jié)論： (1) ??? 1nna 絕對收斂 ? ????1 2||nnn aa 與 ????1 2||nnn aa 都收斂； (2) ??? 1nna 條件收斂 ? ????1 2||nnn aa 與 ????1 2||nnn aa 都發(fā)散； (3) ????1 2||nnnaa與 ????1 2||nnnaa一個收斂，一個發(fā)散 ? ??? 1nna 發(fā)散 . (03,4 分 ) 設2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 例 9 39 (03,4 分 ) 設2|| nnnaap?? ，2|| nnnaaq?? ，?,2,1?n ，則下列命題正確的是 (A) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (B) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 都收斂 (C) 若 ??? 1nna 條件收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都 不定 (D) 若 ??? 1nna 絕對收斂，則 ??? 1nnp 與 ??? 1nnq 的斂散性都不定 例 9 【答案】 應 選 (B). 40 解 ( A ) ????112nna 收斂 , ??? 12nna 發(fā)散 ( B ) ??? 12nna 收斂 ,????112nna 發(fā)散 例 10 收斂級數(shù)加括號仍收斂，故 (D)正確 . （ A ）（ B ）反例：na n 1? ； 由性質(zhì)：正項級數(shù)加括號或去括號不改變其斂散性，可判定 (C)選項是錯誤的 . ( C ) )(1212???? ?nnn aa 收斂 ( D ) )(1212???? ?nnn aa 收斂 (05,4 分 ) 設 ,2,1,0 ??? na n 若 ??? 1nna 發(fā)散， ?????11)1(nnn a 收斂，則下列結(jié)論正確的是 41 斂？如果收斂，是否收判斷級數(shù) ??? ??1 ln)1(nnnn解 ,1ln1 nnn ??? ,11發(fā)散而 ???n n,ln1ln)1(11發(fā)散?????? ?????nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂． ,0ln11limln1lim ???? ??????nnnnn nn一方面 , xxnnxnlnlimlnlim???????? ,01l im ????? xx是條件收斂還是絕對收斂？ 例 11 42 ,ln )1(1收斂交錯級數(shù) ??? ??nnnn由萊布尼茨定理知 , ),0(ln)( ??? xxxxf令),1(011)( ????? xxxf另一方面 , ,),1()( 上單增在 ??? xf ,ln1 單減即xx ?,1ln1 時單減當故 ?? nnn故原級數(shù)是條件收斂． 43 解 討論級數(shù) ??? ??????????1 )22)(2(642)12(531n nnn?? 的斂散性 . 記此級數(shù)的通項為 nu , 22)22(121221243432121??????????nnnnnun ? 2)22)(12(1??? nn, 12)22(1???nnu n 2/3221~n,( 當 ??n ) 2)22(112221254433221???????????nnnnn? 例 12 44 而 ??? 12/31n n收斂 , 12)22(1???nnu n 2/3221~n,( 當 ??n ) 由正項級數(shù)的比較判別法知 ,原級數(shù)收斂 . 本題這種放大通項的辦法 ,有一定的難度 . 討論級數(shù) ??? ??????????1 )22)(2(642)12(531n nnn?? 的斂散性 . 例 12 注：此題若用比值法 , 結(jié)果是 1lim 1 ????nnn uu, 失效 . 45 題型 2：求冪級數(shù)的收斂域 例 1 ??? 12ennnxn的收斂半徑為e1， 解 1lim????nnn aaR1122 )1(e)1()1(el i m???? ???????nnnnnnn.e1?【評注】 也可以這樣求解： (09,4 分 ) 冪級數(shù) ?????12)1(ennnnxn 的收斂半徑為 . ????12)1(nnnxn的收斂半徑為 1 ， 取兩者較小者即可 . 46 解 例 2 【答案】 應 選 (A). (A) 5 (B) 3 5 (C) 31 (D) 51 212122lim????nnnnnbaba2121lim?????nnnnn bbaa.5)31()35( 22 ??(02,3 分 ) 設冪級數(shù) ??? 1nnnxa 與 ??? 1nnnxb 的 收斂半徑分別為35與31，則冪級數(shù) ??? 122nnnnxba的收斂半徑為 47 解 當 1)2(41 2 ??x , 即 40 ?? x 時 , 級數(shù)收斂； 在端點 0?x 和 4?x 處 , 級數(shù)均為 ??? 11n n, 發(fā)散； 所以收斂域為 )4,0( . 例 3 nnnnnnnn nxnxxuxu4)2(4)1()2(lim)()(lim 21221?????????????,)2(41)1(4 )2(lim 22???????xnxnn(92,3 分 ) 求 ????124)2(nnnnx 的收斂域 . 48 解 當 3?x 時 , 而 ??? 1 21n n發(fā)散 , 因為nnnnn 213)2(31 ???, 故原級數(shù)在點 3?x 處發(fā)散 。 當 3??x 時 , 例 4 因為nnnn 1)2(3)3( ???? 收斂半徑 nnRnnnnn ???????? ???? ])2(3[)1(])2(3[lim 11 ,3?( 數(shù)一 00,6 分 ) 求冪級數(shù) ??????1 )2(31nnnn nx 的收斂域 . 49 且 ????11)1(nnn 和 ??????11)2(32nnnnn ( 由比值法 ) 都收斂 , 故原級數(shù)在點 3??x 處收斂 , 所以收斂域為 )3,3[ ? . 當 3??x 時 , 因為nnnn 1)2(3)3( ???? ??????1 )2(31nnnn nx,1)2(3 21)1( nn nnnn ??????50 題型 3：求冪級數(shù)的和函數(shù) 求冪級數(shù) ????????? 321120xxnxnn的和函數(shù) . ??? ?0 1nnnx 的收斂半徑為 1?R , 收斂域為 )1,1[ ? , 例 1 解 兩邊 求導 , ,1)(01?????? nnnxxxS))(( ?xxS ????0nnx ,11x??1|| ?x和函數(shù)