[理學]d9-5微積分學基本定理-計算(編輯修改稿)
2025-01-04 00:45 本頁面
【文章內容簡介】 ? xxfbg b )()( ?? ?證明： 不妨設函數 在 上單調減，令 則 h為非負、遞減函數，由定理 21）知，存在 使 xxfahxxhxf aba d)()(d)()( ?? ? ?xxfbgagdxbgxgxf aba d)()]()([)]()()[( ?? ??? ?即 整理即得。 二、定積分的換元法 定理 3. 設函數 函數 滿足 : 1) ,],[)( 1 ??? Ct ?2) 在 ],[ ?? 上 。)(,)( ba ?? ????)(t? )(t??證 : 所證等式兩邊被積函數都連續(xù) , 因此積分都存在 , 且它們的原函數也存在 . 是 的原函數 , 因此有 則 )()( aFbF ?? )]([ ??F? )]([ ??F?)(t? )(t??)(t? )(t? )(t??則 1) 當 ? ? , 即 區(qū)間換為 ，時],[ ?? 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意 換元必換限 , 原函數中的變量不必代回 . 3) 換元公式也可反過來使用 , 即 ))(( tx ??令xxfba d)(??或配元 )(t? )(d t?配元不換限 )(t? )(t??)(t? )(t??4）如果定理條件中只假設 為可積函數，但還要求 是單調函數，則結論仍然成立。 說明 例 1. 計算 解 : 令 ,s in tax ? 則 ,dc o sd ttax ?。0,0 ?? tx 時當 ., 2??? tax 時∴ 原式 = 2atta d)2c o s1(2 202? ???)2sin21(22tta ??02??20? tt dcos 222 xay ??xoya且 例 2. 計算 解 : 令 ,12 ?? xt 則 ,dd,2 12ttxtx ???,0 時當 ?x ,4 時?x .3?t∴ 原式 = ttttd231 212? ??tt d)3(21 31 2? ??)331(21 3 tt ?? 13。1?t且 ? ???21 ln11e dxxx? ? ??21 ln1)1(l nexxdxln12 ??2e1)13(2 ?? 換元必換限 不換元則不換限 例 例 4. 證 : (1) 若 ??? ? aaa xxfxxf 0 d)(2d)(則??? xxfaa d)((2) 若 0d)( ???aa xxf則xxfa d)(0?? xxfa d)(0??ttfa d)(0? ?? xxfa d)(0??xxfxfa d])()([0? ???時)()( xfxf
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