【正文】 ?? ? ； 設(shè)特解為 xAy e?? ， 代入得 31?A ，即 xy e31?? ， 所以方程的通解為 xxxCxCy e31)2 3s i n2 3co s(e 212 ??? ? ， 代入初始條件 1)0( ?y 及 0)0( ??y ， 得 0,3221 ?? CC ， 所以冪級(jí)數(shù) ??? 03!)3(nnnx 的和函數(shù)為 xxy e3123c o s32 ?? . 67 例 8 解 ???????112)1()(nnn xxf ,1 2xx???兩邊 0到 x 積分，得 ? ???? x xxxfxf 0 2 d1)0()( ,)1l n (21 2x???由 1)0( ?f ，得 )1l n (211)( 2xxf ??? ， )1||( ?x . 令 0)( ?? xf , 得唯一駐點(diǎn) 0?x ， 導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)， ,1)( 2xxxf ????所以 1)0( ?f 為極大值 . (03,9 分 ) 求冪級(jí)數(shù) )1||(2)1(1)(12???? ???xnxxfnnn的和函數(shù) )( xf 及其極值 . 68 題型 4：求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 例 1 令 ?????11)(nnnxxS ， 解 于是 4)21()21(11 ?????? Snnn . )()( 1?? ???nnxxS則 )1( ??? xx,)1( 1 2x?? 1|| ?x(99,3 分 ) 級(jí)數(shù) )21(11 ?????nnn . 69 解 求級(jí)數(shù) ??????022)1()1(nnn nn的和 . 原式 ???????????02)21()21)(1(nnnnnn , 322/111)21(0???????nn , ????2)1(nnxnn ??????222 )1(nnxnnx )(22 ???? ???nnxx )11 1(2 ?????? xxx 32)1(2xx??, 1|| ?x ； 將 21??x 代入 , 得 274)21)(1(2??????nnnn , 所以原式 272232274 ??? . 例 2 (Ⅰ 93五 7) 70 例 3 解 解方程組 ?????????????11)1(122nxnynnxy 得 )1( 12 ?? nnx ， 從而 )1(1??nna n . (98 , 6 分 ) 設(shè)有兩條拋物線nnxy12?? 和2)1( xny ?? 11??n，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為na ，（ 1 ）求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積 nS ；（ 2 ）求級(jí)數(shù) ??? 1n nnaS的和 . 71 x y o )1(1??nna n? ?????? nan xnxnnnxS 0 22 d]11)1(1[2? ??? na xxnn0 2 d])1( 1[2 ,)1()1( 134 ??? nnnn因此 )1( 134 ?? nnaSnn )111(34??? nn ， 于是 ??? 1n nnaS )111(34lim????? nn 34?. 72 例 4 解 ?? 40 dc o ss i n?xxxI nn ?? 40s i nds i n?xxn401s i n11 ?xnn ??? ,)22(11 1???nn??????? ??010)2 2(11nnnn nI ,)22(11????nnn所以 考慮冪級(jí)數(shù) ,)(1????nnnxxS ,11)(11xxxS nn???? ???? 1|| ?x? ?? ??? 0 1 d)0()( xxSxS ,)1l n ( x??? 11 ??? x所以 .)22l n ()221l n ()22(0?????????SInn(00,6 分 ) 設(shè) ?? 40dc o ss i n?xxxI nn , ?,1,0?n ，求 ??? 0nnI . 73 【 2+2/05】 ])2(!)12( )1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753 ???????????????? nnn n????? ?= 。 解 由泰勒展開(kāi)式 ?? ?????????! )12()1(! 5! 3s i n1253nxxxxx nn),( ?????x原式等于 .12s in ??74 解 級(jí)數(shù) ??? ??0 !)12(2)1(nnnn的和等于 . ??? ???0 !)12(2)1(nnnnS ??? ?????0 !)12()112()1(nnnn?????? ?????00 !)12()1(!)2()1(nnnnnn.1s i n1c os ??【答案】 應(yīng)填 .1s i n1c os ?,!)12()1(!51!31s i n 1253 ?? ?????????nxxxxx nn,!)2()1(!41!211c os242 ?? ???????nxxxx nn例 5 75 題型 5：將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 解 利用展開(kāi)式 ???????11)1()1l n (nnnnxx , ]1,1( ??x )21l n ( 2xx ?? )21l n ()1l n ( xx ??????????11)1(nnnnx ???? ???11 )2()1(nnnnx,2)1(11???? ???nnnnxn??????????12111xx ,2121 ???? x即收斂域?yàn)?)21,21[ ? . (95,6 分 ) 將函數(shù) )21l n ( 2xxy ??? 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域 . 例 1 76 例 2 解 431)(2 ??? xxxf )1)(4(1??? xx )1141(51???? xx)12 113 1(51 ??????? xx21111013111151???????xx????????????00)2 1(101)3 1(151nnnn xx ,)1](31)2(1[51011????? ????nnnn x???????2|1|3|1|xx ,2|1| ??? x 收斂區(qū)間為 )3,1( ? . (07,10 分 ) 將 函數(shù)431)( 2???xxxf 展開(kāi)成 1?x 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間 . 77 解 xxxxxf ????? a r c t a n2111ln41)( 例 3 試將函數(shù) 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù) ,并指出其收斂域 . (Ⅰ 94三 5) 11 121)1 11 1(41)( 2 ???????? xxxxf11 1 4 ??? x ,14????nnx 1|| ?x所以 )0(d)()( 0 fttfxf x ??? ?,14114??????nnnx 1|| ?x? ????0 04 dnx n tt78 答案： 將函數(shù)xxxf2121a r c t a n)(??? 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù) ??? ??0 12)1(nnn的和 . 類題 ].21,21(,124)1(24)( 120?????? ???? xxnxf nnnn?.412 )1(0???????nnn79 題型 6：其它 例 1 證 證明 0!2lim ??? nnn nn . 由比值審斂法知級(jí)數(shù) ??? 1!2nnnnn 收斂 , 故 0!2lim ??? nnn nn . 分析：利用收斂級(jí)數(shù)的必要性來(lái)證 . nnnnn nnnn !2)1(!)1(2lim11???? ??nn n )/11(2l i m????,1e2 ??80 EN