【導(dǎo)讀】教程中已給出了許多有效的方法。表達式，但卻很難求得其原函數(shù)。積分的概念和方法。都不宜直接用Newton-Leibniz公式計算。這時可以考慮近似求解。2）.非等距節(jié)點的高斯型求積公式。相應(yīng)的函數(shù)值為：。再總結(jié)一下Newton-Cotes型求積公式得推理過程。

　　

【正文】 n x A 1 0 2 6 177。 177。 + 2 177。 1 3 177。 0 7 177。 177。 177。 0 4 177。 177。 5 177。 177。 0 8 177。 177。 177。 177。 表 41 GaussLegendre求積公式 系數(shù)表 例 36 用具有 5次代數(shù)精度的 Gauss型求積公式計算 。 ??11cos xdx解：具有 5次代數(shù)精度的 Gauss型求積公式就是 3點 Gauss型求積公式 ， 由表 31得 ?? ????1 1 332211 6 8 3 0 0 3 5 o sc o sc o sc o s xAxAxAxdx實際上 ?? ??11 in2c o s x d xx1=, x2=0, x3= 于是由計算公式 得到： )()(111 knkk xfAdxxf ?????A1= A3=, A2= ? ??? ?????1 1 6 9 3 5 3 4 8 o s0c o s4)1c o s (62c o s x d x 可見相同個數(shù)節(jié)點的求積公式， Gauss型求積公式的精度要高。 權(quán)函數(shù) ρ(x)=1的積分就是通常遇到的積分 ， 然而 GaussLegendre求積公式的積分區(qū)間為 [1， 1]， 而對于更一般的區(qū)間[a， b]上的積分 ?ba dxxf )(若采用等距節(jié)點 x0=1, x1=0, x2=1 的 Simpson公式，則有 ?? ? ????? 1 1 )22(2)( dttababfabdxxfbatababx 22 ????需要作變量替換 得到： 從而， [a,b]上權(quán)函數(shù)為 的 Gauss型求積公式為 1)( ?x?? ???????? ?????bankkk xabbafAabdxxf1 222)(例 36 用 3點 Gauss公式求積分 的近似值。 ??10 214 dxx 解：令 21201201 ?????? ttx 得到 dttdttdxx ??? ?? ???????11 211 210 2 )1(4164)1(142114 ?? ???312)1(416k kk tA相比較，遠(yuǎn)比 3點的 Simpson 公式的結(jié)果精確。 1 4 1 0 6 ?1 3 3 411446011410 2??????????????? dxx Gauss拉蓋爾 求積公式 積分區(qū)間為 [0， ∞]權(quán)函數(shù)為 的 Gauss型求積公式稱為 GaussLaguerre求積公式 ， 其 Gauss點為 Laguerre多項式 xex ??)(?)()( nxnnxn xedxdexL ??的零點 ， GaussLaguerre求積公式為 ? ???? ?0 1)()(nkkkx xfAdxxfe其中 239。2)]([)!(knkk xLxnA ?GaussLaguerre求積公式的 Gauss點和求積系數(shù)見表 32。 n xk Ak n xk Ak 2 5 3 6 4 表 42 Gauss拉蓋爾 求積公式 系數(shù)表 一般對積分 ，可改寫為如下形式 ??0 )( dxxf)()( xfexF x ????? ? ?? ?? ?? 000 )()()( dxxFedxxfeedxxf xxxGaussLaguerre 求積公式寫為 ?????? ?? nkkxknkkk xfeAxFAdxxfk110)()()( GaussHermite求積公式 積分區(qū)間為（ ∞ ， +∞ ）、權(quán)函數(shù)為 的 Gauss型求積公式稱作為 GaussHermite求積公式，其 Gauss點就是Hermite正交多項式 2)( xex ???22)1()( xnnxnn edxdexH ???的零點。 GaussHermite求積公式為 ??????? ?nkkkx xfAdxxfe1)()(2或 ? ??????nkkxk xfeAdxxfk1)()( 2其求積系數(shù)和余項分別是 nkxH nAknnk ,2,1,))((!2239。1???? ?),(),()!2(2 !][ )2( ????? ??? nn fnnfR其 Gauss點及求積系數(shù)見表 43。 表 43 GaussHermite求積公式的 求積系數(shù)表 n xk Ak n xk Ak 2 177。 6 177。 177。 177。 3 177。 4 177。 177。 7 177。 177。 177。 5 177。 177。 例 37 分別用兩點 Gauss型求積公式計算下列積分： ? ???0 21).1( dxeexx? ??? ? x d xe x c o s).2( 2? ? ?0 10 s i n).3( xdxe x 解：由 Gauss公式系數(shù)、節(jié)點表可以求得： 21 22210 2 11111).1( xxxxeAeAdxee??????? ?7 8 1 5 0 9 1 4 6 4 6 6 8 5 3 5 5 3 4 1 4 2 1 3 8 5 7 8 6 ????? ?? ee2211 c o sc o sc o s).2(2 xAxAxdxe x ??? ???? o ) o s ( ???3 8 2 0 3 0 7 1 0 6 o s8 8 6 2 2 ????? ? ??? ? ? 0 90 10 s i ns i n).3( xdxeexdxe xxx292191 s i ns i n 21 xeAxeA xx ?? ??4 1 4 2 1 3 i n1 4 6 4 6 6 5 8 5 7 8 6 i n8 5 3 5 5 3 4 1 4 2 1 3 5 8 5 8 8 6 ??????ee0 0 9 9 0 0 9 9 ? 例 37 用兩點 Gauss型求積公式計算： ?10s in dxxx 解：先作變換 tx2121 ???? ? ??? 1110 121s i ns i n dtttdxx x用兩點求積公式，得到： 121s i n121s i n121s i ns i n2221111110 ????????? ??? ttAttAdtttdxx x9 4 6 0 4 ?如果用復(fù)化梯形公式計算，需要將 [0,1]區(qū)間 1024等分。準(zhǔn)確值為 。 本節(jié) (167。 4) 問 題 ？為什么 n點 Gauss型求 積公式具有 2n1階代數(shù)精度？ 2. Gauss 型求積公式都有哪幾種類型？如何查表使用？ 3. 用兩點 Gauss 型求積公式計算下列積分 ?? ?1 1 2c o s211).1( dxx? ?0s i n).2( dxxx? ? ?0 2).3( dxxe x ? ??? ? ? dxxe x 21).4( 4. 實習(xí)題 1） . 編寫復(fù)化梯形、復(fù)化 Simpson求積公式程序計算積分； 2） . 編寫 Gauss型求積公式計算各種積分。 167。 5 數(shù)值微分 用函數(shù) 的離散數(shù)據(jù) )( xfy ?niyx ii ,2,1,0,),( ??近似的求出函數(shù)在節(jié)點處的微分值，稱作 數(shù)值微分 。 一、 Taylor展開法 )( xfy ? 為求出 在某點 x0 處的導(dǎo)數(shù)值 )( 0xf ? 可以利用函數(shù)在此點以及前后兩點的函數(shù)值 通過 Taylor展式進行近似計算。 )(),(),( 000 hxfxfhxf ??這時 ),(),(!2)()()( 002000 hxxfhxfhxfhxf ????????? ??)(2)()()( 000 ?fhh xfhxfxf ???????得到 這樣可以得到一階向前差商數(shù)值微分公式 hxfhxfxf )()()( 000???? 誤差為 )()(2)( 01 hOfhxR ????? ?這樣可以得到一階向后差商數(shù)值微分公式 hhxfxfxf )()()( 000????),(),(!2)()()( 002000 xhxfhxfhxfhxf ????????? ??由 誤差也為 )(hO再由 Taylor展示 )(!3)(!2)()()( 1302000 ?fhxfhxfhxfhxf ???????????)(!3)(!2)()()( 2302000 ?fhxfhxfhxfhxf ???????????得到一階中心差商數(shù)值微分公式 hhxfhxfxf2)()()( 000????? 誤差為 )()(201 hOxR ?20000)()(2)()(hhxfxfhxfxf ???????二階中心差商數(shù)值微分公式為 誤差為 )()(02 hOxR ? 例 38 對于函數(shù) y=f(x) 在如下點的函數(shù)值 xi 0 yi 1 試分別用一階向前、向后、中心差商公式計算 , 解：三種公式計算一階導(dǎo)數(shù)值分別為 0 5 11 0 5 )0( ????f)0(f ?用二階中心差商公式計算 . )0(f ?? )0( ????f )0( ?????f用二階中心差分公式計算 9 0 4 0 2 )0( 2 ??????f上表數(shù)據(jù)表示的是由函數(shù) 給出 ,其準(zhǔn)確值為： xexf ?)(1)0( 0 ??? ef可見，用一階中心差商公式求一階導(dǎo)數(shù)更準(zhǔn)確一些。 下面再看另一種求導(dǎo)數(shù)的方法。 二、插值法求微商 兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)數(shù)，得到 )()!1( )()()( 1)1(xnfxLxf nnn ????? ?? 用函數(shù) 的離散數(shù)據(jù) )( xfy ?nkyx kk ,2,1,0,),( ??先求出 n次 Lagrange 插值多項式 )()!1( )()()!1( )()()( )1(11)1(???? ????????????nnnnn fdxdnxxnfxLxf將節(jié)點 xk 帶入，并由： 于是，便可以得到函數(shù)在節(jié)點處一階導(dǎo)數(shù)的近似值 )()!1( )()( 1)1(1 knnk xnfxR????? ??誤差為 )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??得到 )()!1( )()(