【正文】 是 (1x?1). ?? ????? xx dxxdxx 00 1 1])1[ ln (?? ? ????? ???010 0 1)1(])1([ nnnxnnn nxdxx ( 1 x ? 1) . ?? ? ????? ???010 0 1)1(])1([ nnnxnnn nxdxx ( 1 x ? 1) . ?? ? ????? ???010 0 1)1(])1([ nnnxnnn nxdxx ( 1 x? 1) . 提示 : 11 1 2 ???????????? nxxxx ( 1 x 1 ) . 提示?? ?? ?? ??????? ????010 00 00 1)()(nnnnx nnxnnnx xn adxxadxxadxxs , . 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 例 8 將函數(shù) 341)( 2 ??? xxxf 展開成 ( x 1) 的冪級數(shù) . 例 7 提示 : 解 )4 11(81)2 11(41)3(21)1(21)(?????? xxxxxf )31( )1)(2 12 1()1(0 322??? ??? ??xxnnnnn . )4 11(81)2 11(41)3(21)1(21)(?????? xxxxxf )3(21)1(21)3)(1(1341)(2 xxxxxxxf ?????????, )4 11(81)11(41)3(21)1(21)(?????? xxxxxf )2 11(2)1(21 ????? xxx , )4 11(4)1(43 ????? xxx . )2 11(2)1(21 ????? xxx , )4 11(4)1(43 ????? xxx . ? ??????0 0 4)1()1(812)1()1(41n n nnnnnn xx? ??????0 0 4)1()1(812)1()1(41n n nnnnnn xx提示??????? 0)1211( 2)1()1(2111nnnn xxx提示 : ??????? 0)1411( 4)1()1(4111nnnn xxx)31( )1)(2 12 1()1(0 322??? ??? ??xxnnnnn . 由 12 11 ?? x 和 14 11 ?? x 得 31 ?? x . 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 冪級數(shù)展開式小結(jié) )11( 11 1 2 ?????????????? xxxxx n , )( !1 !211 2 ???????????????? xxnxxe nx , )( )!12()1( !5!3s i n 12153 ??????????????? xnxxxxx nn , )( )!2()1( !4!21c o s 242 ??????????????? xnxxxx nn , )11( 1)1( 432)1l n ( 1432 ??????????????? ? xnxxxxxx nn , !2 )1(1)1( 2 ???????? xmmmxx m)11( ! )1( )1( ??????????? xxn nmmm n . 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 一、近似計算 二、歐拉公式 167。 冪級數(shù)的應用舉例 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 ?. 一、近似計算 例 1 計算 5 240 的近似值 , 要求誤差不超過 0 . 0001 . 例 1 5/1455 )311(332 4 32 4 0 ??) 3 1!35 94131!25 4131511(3 123824 ???????????? . 解 于是 )31511(3240 45 ??? , ) 3 1!45 149413 1!35 94131!25 41(3|| 164123822 ?????? ?????????????r202201] )811(8111[31!25413 282 ???????????? . 5/1455 )311(332 4 32 4 0 ??202201] )811(8111[31!25413 282 ???????????? . 如果取前二項作為 所求值的近似值 , 則誤差為 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 解 例 2 計算 ln2的近似值 , 要求誤差不超過 . )11( 1)1( 432)1l n ( 1432 ??????????????? ? xnxxxxxx nn , )11( 432)1l n ( 432 ?????? xxxxxx , )1l n ()1l n (11ln xxxx ??? )11( ) 5131(2 53 ????????? xxxx . 已知 兩式相減得 提示 : 這個冪級數(shù)收斂速度較慢 , 用于求 ln2較困難 . 因此需要尋找 收斂速度較快的冪級數(shù) . 下頁 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 )1l n ()1l n (11ln xxxx ??? )11( ) 5131(2 53 ????????? xxxx . 以 31?x 代入 得 ) 31713151313131(22ln753 ??????????? . 如果取前四項作為 ln2的近似值 , 則誤差為 7000001] )91(911[32 211 ???????? . ) 3 11313 11113191(2|| 131194 ??????????r于是 6 9 3 )31713151313131(22ln 753 ???????? . 7000001] )91(911[32 211 ???????? . 于是 6 9 3 )3171315131131(22ln 753 ???????? . 下頁 解 例 2 計算 ln2的近似值 , 要求誤差不超過 . 已知 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 例 3 利用 3!31s i n xxx ? 求 s i n ?9 的近似值 , 并估計誤差 . 例 3 解 91809 ?? ?? 20?? ( 弧度 ) . 在 s i n x 的冪級數(shù)展開式中令 20??x , 得 )20(!71)20(!51)20(!312020s i n 753 ?????? ????? . 其誤差為 3 0 0 0 0 01)(1 2 01)20(!51|| 552 ?????r . 3)20(!312020s in??? ? ? 0 .15643 . 取前兩項得 3)20(!3120s in?? ? ? . 3 0 0 0 0 01)(1 2 01)20(!51|| 552 ?????r . 3 0 0 0 0 01)(1 21)20(!51|| 552 ?????r . 下頁 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 將被積函數(shù)換成其冪級數(shù)展開式得 解 dxnxdxe nnnx ]!)1([22 210202102 ? ?? ?? ???) !372 1!252 132 11(1 642 ??????????? ? . 前四項的和作為近似值 , 其誤差為 9 0 0 0 01!49211||84 ???? ?r , )!372 1!252 132 11(12 6422102 ??????????? dxex . 所以 dxnxdxe nnnx ]!)1([22 210202102 ? ?? ?? ???9 0 0 01!49211||84 ???? ?r , )!372 1!25232 11(12 6422102 ??????????? dxex . 例 4 求 積分 dxe x? 21022? 的近似值 ( 誤差不超410 ) . 下頁 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 例 5 求 積分 dxx x? 10 s i n 的近似值 ( 誤差不超 410 ) . 展開被積函數(shù) , 有 解 )( !7!5!31s i n 642 ??????????? xxxxx x . 在區(qū)間 [0, 1]上逐項積分 , 得 !77 1!55 1!33 11s i n10 ?????????? dxx x . 因為第四項 300001!771 ?? , 所以取前三項的和作為積分的近似值 : 9 4 6 !55 1!33 11s i n10 ?????? dxx x . 首頁 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 二、歐拉公式 ?復數(shù)項級數(shù) 設(shè)有復數(shù)項級數(shù) ∑(un?ivn), 其中 un, vn(n?1, 2, 3, ? ? ?)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù) . 如果實部所成的級數(shù) ∑un收斂于和 u, 并且虛部所成的級數(shù) ∑vn收斂于和 v, 就說復數(shù)項級數(shù)收斂且和為 u?iv. 如果級 ∑(un?ivn)的各項的模所構(gòu)成的級數(shù) ∑|un?ivn|收斂 , 則稱級數(shù) ∑(un?ivn)絕對收斂 . ? 絕對收斂 下頁 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 ?復變量指數(shù)函數(shù) 考察復數(shù)項級數(shù) !1 !211 2 ??????????? nznzz . 可以證明此級數(shù)在復平面上是絕對收斂的 , 在 x軸上它表示指數(shù)函數(shù) ex, 在復平面上我們用它來定義復變量指數(shù)函數(shù) , 記為ez . 即 !1 !211 2 ???????????? nz znzze . 下頁 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 !1 !211 2 ???????????? nz znzze . ?歐拉公式 當 x?0時 , z?iy , )(!1 )(!211 2 ???????????? niy iyniyiye??????? !51!41!31!211 5432 yiyyiyiy) !51!31() !41!211( 5342 ?????????? yyyiyy ?cos y?isin y. 于是 這就是歐拉公式 . 把 y換成 x得 eix?cos x?isin x, 下頁 ?復變量指數(shù)函數(shù) 第七章 無窮級數(shù) 微 積 分 返回 下頁 上頁 eix?cos x?isin x. 其中 r?|z|是 z的模 , q ?arg z是 z的輻角 . ?復數(shù)的指數(shù)形式 復數(shù) z可以表示為 z?r(cos q?isin q)?reiq , 下頁 ?歐拉公式