高數(shù)定積分ppt課件-wenkub.com
2025-01-17 00:54 本頁面
【正文】 分析：由于水壓力等于受力面積乘以壓強。 重點強調(diào)應用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。 以上例 19給出了定積分在求幾何圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，截面面積為已知的立體的體積和曲線弧長方面的應用。 對 把區(qū)間 上 [1 , 2 ] ,x?? ],[ dxxx ?所對應的曲線段長 用切線段長 s? ds代替，則得到弧長的微元 的解析式 . ds[1, 2 ].x ?取積分變量為 則 ,x取 為積分變量 ,則 x [1 , 2] .x ?解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：計算兩曲線的交點 的橫坐標得 ?(2) 求微元： 區(qū)間 [1 , 2],x?? [ , ] [ 1 , 2] ,x x dx?? ],[ dxxx ?所對應的曲線段長 用切線段長 來代替 ,得弧長元素 s? ds2 2 39。 x x21??y解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： (2) 求微元：對 [ 0 , ],2x ???[ , ] [ 0 , ] ,2x x d x ???軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即 [0 , ].2x ??取 為積分變量 ,則 x繞直線 旋轉(zhuǎn)如圖 ， 21??y旋轉(zhuǎn)體的體積元素 是 對應的矩形繞 xdV [ , ]x x dx? 21??y21( sin )2xd V x d x???12?12?xy0 x dx?x計算積分得： (3) 求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 21??y2201( s in )2xV x d x?????2201( s in s in )4xV x x d x??? ? ??201 c o s 2 1( s in )24x x d x?? ?? ? ??201 1 1[ ( si n 2 ) c os ]2 2 4x x x x??? ? ? ?3( 1 )8???? 【 例 7】 計算底面是半徑為 2 的圓，而垂直于底面上一條固定 直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。 x y y設(shè)區(qū)間 對 或?qū)? [0, ]2x??? [0 , 1],y??或 所對應的曲邊梯形為 是以直代曲 ],[ dxxx ?],[ dyyy ? ,S?所形成的矩形為 則繞 軸、 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋 1,S?x y轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形 分別繞 軸、 軸 dV1S?x y旋轉(zhuǎn)而成的體積 . 解 : (一 ) 求 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 x（ 1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖 , x旋轉(zhuǎn)體體積元素 是 對應的矩形繞 軸所得的 旋轉(zhuǎn)體的體積，即 xdV [ , ]x x dx?xdxxdV x )s i n1( 22 ?? ?[ 0 , ],2x ???[ , ] [ 0 , ] ,2x x d x ???（ 2）求微元：對 取 為積分變量 ,則 x [0 , ].2x??（ 3）求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 x220 ( 1 s in )xV x d x?????計算積分得： 4c os )s i n1(2202202???????????xd xdxxV x（ 1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖 , y取 為積分變量 , 則 y [ 0, 1 ].y ?(二 ) 求繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 y（ 2）求微元：對 [ 0, 1 ],y??[ , ] [ 0, 1 ] ,y y dy??旋轉(zhuǎn)體的體積元素 ydV是 對應的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積 , 即 [ , ]y y dy? y22( ar c sin ) .ydV x dy y dy????（ 3）求定積分：繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 y1 20 ( a r c s in )yV y d y?? ?1 20 ( a r c s in )yV y d y?? ?1210 201[ ( a r c s in ) | 2 ( a r c s in ) ]1y y y y d yy?? ? ???1220[ ( a r c s in 1 ) 2 ( a r c s in ) ( 1 ) ]y d y?? ? ??3210[ 2 1 a r c s in 2 ]4 y y y? ?? ? ? ?324? ???計算積分得 : 通過例 5，同樣可求出繞平行于 軸和平行于 軸的直線 x y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，見例 6。 [ 0 , 2 ] ,xa???如果取 為積分變量 ,則 . x [ 0 , 2 ]xa?
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