高數(shù)定積分ppt課件-資料下載頁
2025-01-20 00:54本頁面
【正文】 ???????? ??令 得 為唯一駐點(diǎn) . 0,dVda ? 4?a所以，當(dāng) 時(shí)旋轉(zhuǎn)體的體積最大 4?a?187 5532| 4m ax ?? ?aVV2. 物理應(yīng)用 定積分的物理應(yīng)用包括作功、水壓力和引力等問題。本節(jié) 僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。 重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。 特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問題時(shí)，選 取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)單。 0Rxyx dx?x【 例 11】 將半徑為 的半球形水池內(nèi)注滿水 ,若將滿池水 R全部抽出，需作多少功？ 分析：吸水作功是水的重力在作功問題，此問題可理解成 將水一層一層吸出的。取坐標(biāo)原點(diǎn)在水平面， 軸鉛直向下 x如果設(shè) 所對(duì)應(yīng)的薄層的體積為 [ 0 , ],xR?? [ , ]x x dx? ,V?那么在 上以直代曲，便得體積元素 [ , ]x x dx? 2 ,dV y dx??從而得到重力作功的功元素 2 .d W x y d x???解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 建立如圖所示的坐標(biāo)系 . 則半圓的方程為 取 為積分變量 , 則 22 .y R x?? x [0, ].xR?(2) 求微元 : 對(duì) 把區(qū)間 [ 0, ],xR?? [ , ] [ 0, ] ,x x dx R?? ],[ dxxx ?所對(duì)應(yīng)的薄層的體積用圓柱體體積代替 ,得到 2 2 2( ) .d V y d x R x d x??? ? ?由于將這一薄層水吸出是這一薄層水的重力在作功，設(shè)水的 比重為 所以功的元素為 1,? ?dxxRxdW )( 22 ?? ??(3) 求定積分：將滿池水全部抽出所作的功為 220 ()RW x R x d x????? 2 2 40 () 4R x R x d x R??? ? ??【 例 12】 一底為 8厘米，高為 6厘米的等腰三角形片，鉛直沉 入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面 3厘 米，求每面所受的壓力。 分析：由于水壓力等于受力面積乘以壓強(qiáng)。如果取如圖所 示的坐標(biāo)系， 壓力可理解水深 處的壓強(qiáng)乘上受力面積 . x4 ( 3 ) .3d P p d A g x x d x?? ? ?],[ dxxx ?的矩形面積 代替 , 所以水壓力元素為 dA對(duì)應(yīng)的受力面積 可用相應(yīng) A?那么 在 窄條所受的水 [ 3 , 9 ],x?? ],[ dxxx ?0(3,0)(9,4)xyx dx?9x解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：建立如圖所示的 坐標(biāo)系，則直線 的方程為 取 為積分 AB 2( 3 ) ,3yx?? x變量，則 [ 3, 9] .x ?(2) 求微元： 且 窄條 [ 3, 9]x?? [ , ] [ 3, 9] ,x x dx??],[ dxxx ? 上所受的壓強(qiáng)為 窄條 的 ,p gx?? ],[ dxxx ?面積 用對(duì)應(yīng)矩形的面積 近似代替 , 得到 A? dA242 ( 3 ) ( 3 ) ,33d A x d x x d x? ? ? ? ?所以的水壓力元素為 dxxgxpAdP )3(34 ??? ?(3) 求定積分：每面所受的壓力為 )()3(3493 NdxxgxP ??? ? ?【 例 13】 * 有一半徑為 得均勻半圓弧，質(zhì)量為 求它對(duì) r ,m位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力。 分析：圓弧對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力可采用元素法，將 ],[ ??? d?對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由物理學(xué)中兩點(diǎn)的引力公式，得引力元素 221 .dm kmdF k drr ?????解 : (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 建立如圖的坐標(biāo)系 . (2) 求微元：對(duì) 且 [0, ],??? [ , ] [ 0, ] ,d? ? ? ???[0, ].???設(shè)線密度為 取 為積分變量，則 ?,?將 對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)質(zhì)量看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則 ],[ ??? d? ],[ ??? d?對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)質(zhì)量為 ,mmd m r d r d dr? ? ? ???? ? ?所以它對(duì)單位質(zhì)點(diǎn)的引力元素為 ?? drkmrdmkdF 221 ???由對(duì)稱性知 所以有 0,xF ???? drkmdF y s i n2?(3) 求定積分：把對(duì)位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力 表示成定積分計(jì)算得 20 22s i nrkmdrkmFy ????? ?? ?故圓弧對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為 方向從圓心指向半圓弧的中點(diǎn)，即 軸方向 . 22 ,kmr?y
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