高數(shù)定積分ppt課件(已修改)
2025-02-01 00:54 本頁面
【正文】 第六章 定積分應(yīng)用習(xí)題課 一、定積分應(yīng)用的類型 1．幾何應(yīng)用 ?????平面圖形的面積 特殊立體的體積 平面曲線弧長 ???旋轉(zhuǎn)體的體積 平行截面面積為已知立體的體積 2．物理應(yīng)用 ?????變力作功 水壓力 引力 二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟 1. 構(gòu)造微元的基本思想 元素法的實(shí)質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、 “以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須 是無窮小量之間的代替。將局部 上所對(duì) 應(yīng)的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成 定積分 ． ],[],[ badxxx ??? ba dxxf )(無論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。 2. 在求解定積分應(yīng)用問題時(shí)，主要有四個(gè)步驟： ① 選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； ② 確定積分變量和變化范圍； ③ 在 上求出微元解析式（積分式）。 [ , ]x x dx?④ 把所求的量表示成定積分 ( ) .ba f x dx?三、典型例題 1. 幾何應(yīng)用 定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的 體積和平面曲線的弧長。解決這些問題的關(guān)鍵是確定面積元 素、體積元素和弧長元素。 【 例 1】 求由 所圍成圖形的面積。 20, 2x y y x x? ? ? ?分析：在直角坐標(biāo)系下 ,由給定曲線所圍成的幾何圖形 如圖所示。 如果取 為積分變量 , 則 x [0, 3].x ? [0 , 3 ],x?? 設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為 則面積元 ],[ dxxx ?素 就是在 上以“以直代曲”所形成的矩形面積。 ,A?dA ],[ dxxx ?解 ： (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 的交點(diǎn)為 和 , )0,0( )3,3(取 為積分變量 , 則 x [0, 3] .x ?xxy 22 ??由于曲線 和 0?? yx（ 2）求微元：任取 [0, 3] ,x ? [ , ] [ 0, 3] .x x dx??如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為 , xy ?2將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為 , xxy 221 ??那么， 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩形的面積。因此 dA [ , ]x x dx?dxxxdxxxxdxyydA )3()]2([)( 2212 ????????（ 3） 求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為 3 20 ( 3 )A x x d x? ? ??計(jì)算上面的積分得： 3 209( 3 ) .2A x x d x? ? ? ??分析：在直角坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面積如圖 【 例 2】 * 求位于曲線 下方，該曲線過原點(diǎn)的切線 xey ?的左方以及 軸上方之間的圖形的面積。 x所示。如果取 為積分變量，則 設(shè)區(qū)間 x ( , 1 ] ,x ? ? ?所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形 [ , ]x x dx?就是在 上 “ 以直代曲 ” ],[ dxxx ?所形成的矩形面積。 dA面積為 則面積元素 ,A?考慮到當(dāng) 和 時(shí) ]0,[],[ ???? dxxx ]1,0[],[ ?? dxxx ],[ dxxx ?上所對(duì)應(yīng)曲邊梯形不同，所以，相對(duì)應(yīng)矩形面積的表達(dá)式也 不同，因此微元 應(yīng)該分別去求 . dA 解：（ 1）確定積分變量和積分區(qū)間：設(shè)切點(diǎn) 的坐標(biāo)為 M 則過原點(diǎn)且與 相切的切線方程為： 00( , ),M x y xey ? 0 ,xy e x?由 得 的坐標(biāo)為 . ???????00000xxeyxey M ),1( eM 故得到切線方程為 . exy ?所以選取 為積分變量 , . x ( , 1 ]x ? ??（ 2）求微元：任取 ,則當(dāng) [ , ] ( , 1 ]x x dx? ? ? ?時(shí) ,那么面積元素 就是 [ , ] [ , 0]x x dx? ? ? ?1dA區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩形的面積， [ , ]x x dx?（ 3）求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為： 0112 0 ()xxA A A e d x e e x d x??? ? ? ? ???解上面的積分得： 0101020() lim ( )22xxxxaaA e d x e e x d xeee d x e x??? ? ?? ? ?? ? ? ????即
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