高數(shù)—不定積分-講解和例題-ppt-(2)(已修改)
2025-08-17 18:12 本頁(yè)面
【正文】 167。 3. 分部積分法 設(shè) u (x), v (x) 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 vuvuvu ?????)(vuvuvu ?????? )(兩邊取積分： ? ? ? ????? xduvxdvuxdvu )(?vd?vud?ud? ??? udvvuvdu—— 分部積分公式 ? ? ? ????? xduvxdvuxdvu )(? ???? udvvuvdu? xdxf )(即 ? ??? xdvu ?? vdu??? udvvu ? ???? xduvvu??? xdxgvu )(要求： 較易求。?? ?? xduvxdxg )(如何選擇 v ? 例 1： ? ?? ????? udvvuvduxdvu? xdxx si n ,xv ??若選 ,21 2xv ?則221s i n xdx?? ??? )s i ns i n(21 22 xdxxxxdxx c o s2?,si n xv ??現(xiàn)選 ,c o s xv ??則? xdxx si n ??? xdx c o s???? )c o sc o s( xdxxx.si nc o s Cxxx ????= ? 一般： (1) v 要容易求出。 易求。要比 ?? vduudv)2( v (x) 的 e x 。 次選： sin x , cos x ； 再次之： 首選： x 等冪函數(shù)； 不選： ln x . 例 題 討 論 例 2： xdex x?? 2)(2 xdex x??? ?? xedx ???? 2.222 Ceexex xxx ????? ?????? ? xex 2[ ]2 xdex x? ?xex ??? 2[ ]2 ? ?? xedx??? ? xex 2 ][2 xdeex xx ? ?? ?小結(jié)（一）： ??? 中、在 xdaxxxdaxxxdex mmaxm s i nc o s可降低 x m 的冪次數(shù)。 axdxaxdxdxedvxu axm s i n,c o s, ??令例 3： xdxx ln? ?? 2ln21 xdx]lnln[21 22 ??? xdxxx]1ln[21 22 ? ??? xdxxxx]ln[21 2 ??? xdxxx]21ln[21 22 xxx ?? .C?例 4： ? xdxa r c t a n )( ?? vduxx a r c t a n? xdx a r c t a n??xx a r c t a n? xdxx? ?? 21xx a r c t a n? 221 121 xdx? ??xx a r c t a n? .1ln21 2 Cx ???小結(jié)（二）： ????中、在xdaxxxdaxxxdaxxxdaxxmmmma r c t a na r c c o sa r c s i nln可使原來(lái)含超越函數(shù)的被積函數(shù)化為代數(shù)函數(shù)的積分。 .,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n,lndxxdvaxaxaxaxum??令例 5： xdxe x c o s?xedx?? c o s xe x c o s? xde x c o s??xe x c o s? xdxe x si n??xe x c o s? xedx?? si nxe x c o s? xe x si n? xde x si n??xexe xx si nc o s ?? xdxe x c o s??1)s i n( c o sc o s2 Cxxexdxe xx ???? ?.)s i n(c o s2c o s Cxxexdxexx ???? ?再生法 例 6： xdx? 3se c xdx t a nse c??xx t a nse c? xdx se ct a n??xx t a nse c? xdxx se ct a n 2??xx t a nse c? xdxx se c)1( se c 2? ??xx t a nse c? xdx?? 3se c xdx?? se cxdxxx ??? 3se ct a nse c xx t a nse cln ??由再生法： xdx? 3se c.]t a ns e clnt a ns e c[21 Cxxxx ????例 7： xdax? ? 22 )( ?? vdu22 axx ?? xdaxxx22 ??? ?22 axx ?? xdaxx???222+a 2a 2 22 axx ?? xdax? ?? 22 xdaxa??? 222xdaxaxx ? ???? 2222 222 ln axxa ???.]ln[21 22222 Caxxaaxx ??????xdax? ?? 22由再生法： 本例還可用前面講過(guò)的三角代換 tdta?? 32 s e c原式.)t a ns e clnt a ns e c(22Ctttta ????.]ln[21 22222 C
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