【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )()()( 。 （ 4） abdxba ??? 。 （ 5）設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf 。 推論 1 設(shè) ))(()( bxaxgxf ??? ，則 ?? ? baba dxxgdxxf )()( 。 推論 2 )(|)(|)( badxxfdxxf baba ?? ?? 。 （ 6 ）設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 Mxfm ?? )( ，則)()()( abMdxxfabm ba ???? ? 。 （ 7 ）（ 積 分 中 值 定 理 ） 設(shè) ],[)( baCxf ? ， 則 存 在 ],[ ba?? ，使得))(()( abfdxxfba ??? ?。 定積分的特殊性質(zhì) （ 1）對(duì)稱區(qū)間上定積分性質(zhì) 1）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，則 ?? ???? aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)( 。 2）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)( 。 3）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ??? ，則 0)( ???aa dxxf 。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()( ，其中 a 為任意常數(shù)。 2） ?? ? TnT dxxfndxxf 00 )()( 。 （ 3）特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì) 1）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? 2020 )( c o s)( s in ?? dxxfdxxf ，特別地， nnn Idxxdxx ?? ?? 2020 c o ss in?? ，且 1,2,1 102 ???? ? IIInnI nn ?。 2） nnn Idxxdxx 2s in2s in 200 ?? ?? ?? 。 3） ?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c o s2c o s 200??。 4）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? ?? ? 00 )( s in2)( s in dxxfdxxxf 。 【例題 1】計(jì)算 ?? ?2241sin?? dxexx 。 【例題 2】計(jì)算 ? ??0 42 sinsin dxxxx 。 【例題 3】計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx 。 第一講 極限與連續(xù) 一、定義 函數(shù)的幾個(gè)初等特性 （ 1）奇偶性 — 設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若 )()( xfxf ?? ，稱 )( xf 為偶函數(shù)；若 )()( xfxf ??? ，稱 )(xf 為奇函數(shù)。 【例題 1】 判斷函數(shù) )1ln()( 2xxxf ??? 的奇偶性，并求其反函數(shù)。 （ 2）周期性 — 設(shè) )(xf 的定義域?yàn)?D ，若存在 0?T ，使得對(duì)任意的 Dx? ，有DTx ?? 且 )()( xfTxf ?? ，稱 )(xf 為周期函數(shù)。 【例題 2】討論函數(shù) ][)( xxxf ?? 的周期性。 （ 3）單調(diào)性 — 設(shè)對(duì)任意的 Dxx ?21, 且 21 xx? ，有 )()( 21 xfxf ? ，稱 )(xf 在 D上為單調(diào)增函數(shù)，反之稱為單調(diào)減函數(shù)。 （ 4）有界性 — 若存在 0?M ，對(duì)任意的 Dx? ，有 Mxf ?|)(| ，稱 )(xf 在 D 上有界。 極限 （ 1）數(shù)列極限 ( N?? )— 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ??? || Aan 成立，稱數(shù)列 }{na 以 A 為極限，記為 Aann ???lim 。 （ 2）函數(shù) )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限（ ??? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?? ，當(dāng) ???? ||0 ax 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱 A 為 )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限，記為 Axfax ?? )(lim 。 （ 3）函數(shù) )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限（ X?? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，存在 0?X ，當(dāng) Xx?|| 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱 A 為 )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限，記為 Axfx ??? )(lim 。 （ 4）左右極限 — 若 Axfax ??? )(lim ，稱 A 為 )(xf 在 ax? 處 的左極限，記為Aaf ?? )0( ；若 Bxfax ??? )(lim ，稱 B 為 )(xf 的右極限，記為 Baf ?? )0( ，注意 )(lim xfax? 存在的充分必要條件是 )0( ?af 與 )0( ?af 都存在且相等。 【注解】 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無(wú)定義無(wú)關(guān)。 （ 2）形如 )0( ?? aa bxk 當(dāng) ax? 時(shí)的極限一定分左右極限。 若對(duì) 121lim ?? xx e ，因?yàn)?0lim 121 ???? xx e ， ?????? 121lim xx e ，所以極限不存在； 又如 xxxf112121)(???，顯然 1)00( ??f ， 1)00( ???f ，故 )(lim0 xfx? 不存在。 無(wú)窮小 （ 1）無(wú)窮小的定義 — 以零為極限的函數(shù)稱為無(wú)窮小。 （ 2）無(wú)窮小的層次 — 設(shè) 0,0 ?? ?? ，若 0lim ??? ，稱 ? 為 ? 的高階無(wú)窮小，記為 )(?? o? ；若 0lim ?? k?? ，稱 ? 與 ? 為同階無(wú)窮小，記為 )(?? O? ，特別地，若 1lim ??? ，稱 ? 與 ? 為等價(jià)無(wú)窮小，記為 ??~ 。 【注解】 （ 1）無(wú)窮小一般性質(zhì) 1）有限個(gè)無(wú)窮小之和、差、積為無(wú)窮小。 2）有界函數(shù)與無(wú)窮小之積為無(wú)窮小。 3） Axf ?)(lim 的充分必要條件是 ??? Axf )( ，其中 0?? 。 （ 2）等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì) 1） ??~ ； 2）若 ??~ ，則 ??~ ； 3）若 ???? ~,~ ，則 ??~ ； 4）若 ???? ?? ~,~ 且 A?????lim ，則 A???lim 。 （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小 1） )1ln (~1~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~ xexxxxx x ??； 2） 221~cos1 xx? ； 3） axx a ~1)1( ?? 。 【例題 3】計(jì)算極限 )21ln( coslim20 xxxexx ??? 。 【例題 4】計(jì)算極限 30 sintanlim x xxx ?? 。 【例題 5】計(jì)算極限 )c os1s in1(lim 2220 xxxx ?? 。 【例題 6】計(jì)算極限 3tan0lim xee xxx?? 。 【例題 7】計(jì)算極限 xx x??0lim 。 連續(xù) （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ax? 的鄰域內(nèi)有定義，若)()(lim afxfax ?? ，稱 )(xf 在 ax? 處連續(xù)。 【注解】 )(xf 在 ax? 處連續(xù)的充分必要條件是 )()0()0( afafaf ???? 。 （ 2）函 數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有定義， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且 )()0(),()0( bfbfafaf ???? ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)。 【注解】初等函數(shù)在其定義域上都連續(xù) 。 間斷點(diǎn)及分類 （ 1）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 都存在，稱 ax? 為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)。 進(jìn)一步地，若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為 )(xf 的可去間斷點(diǎn)； 若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為 )(xf 的跳躍間斷點(diǎn)。 （ 2）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 至少一個(gè)不存在，稱 ax? 為)(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 【例題 8】求函數(shù) 1||ln)( 2 ?? x xxf 的間斷點(diǎn)及類型。 【例題 9】求函數(shù) xxxeexf????111)(的間斷點(diǎn)及類型。 【例題 10】求函數(shù) xxxf tan )1ln()(2??的間斷點(diǎn)及類型。 二、極限有關(guān)性質(zhì) （一）極限一般性質(zhì) 定理 1（唯一性定理） 極限具有唯一性。 定理 2（保號(hào)性定理） （ 1）若 )0(0)(lim ???? Axfax ，則存在 0?? ，當(dāng) ???? ||0 ax 時(shí)， )0(0)( ??xf 。 （ 2）設(shè) )0(0)( ??xf 且 Axf ?)(lim ，則 )0(0??A 。 （二）極限的存在性質(zhì) 定理 1 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。 情形一：設(shè) }{na 單調(diào)增加，且存在 M ，使得 Man? ，則 nn a??lim 存在。 情形二：設(shè) }{na 單調(diào)減少，且存在 M ，使得 Man? ，則 nn a??lim 存在。 定理 2（夾逼定理） （ 1）數(shù)列型：設(shè) nnn cba ?? ，且 Aca nnnn ?? ???? limlim ，則 Abnn ???lim 。 【例題 11】計(jì)算 ???????????????? nnnnn 222 12111lim ?。 （ 2）函數(shù)型：設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 三、重要極限與有關(guān)結(jié)論 1sinlim0 ?? xxx 。 記憶：（ 1） 0?x 時(shí)， xxx tansin ?? ，尤其 xx?sin （ 0?x ）； （ 2） 0?x 時(shí)， xx ?? )1ln( 。 ex xx ???? )11(lim 。 記憶： })11{( nn? 單調(diào)增加收斂于 e 。 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四大性質(zhì) 定理 1 （最大值最小值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上取到最小值和最大值。 定理 2 （有界性定理） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 定理 3 （零點(diǎn)定理） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 0)()( ?bfaf ，則存在 ),( ba?? ，使得 0)( ??f 。 定理 4 （ 1）設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[ Mm?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。 （ 2）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )()( bfaf ? ，不妨設(shè) )()( bfaf ? ，則對(duì)任意的)](),([ bfaf?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于左右端點(diǎn)函數(shù)值之間的任何值函數(shù)都能取到。 【方法指導(dǎo)】 設(shè) ],[)( baCxf ? ，若結(jié)論中存在 )(?f ，基本確定使用零點(diǎn)定理或介值定理，一般開區(qū)間用零點(diǎn)定理，閉區(qū) 間用介值定理。 【例題 1】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ， 1)1(,0)0( ?? ff ，證明：存在 )1,0(?c ，使得ccf ??1)( 。 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 【例題 3】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 ],[ baxi ? 及 ),2,1(0 niki ??? 且11 ??? nkk ? ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()( 11 nn xfkxfkf ??? ?? 第二講 一元函數(shù)微分學(xué)基本理論 一、基本概念 導(dǎo)數(shù) — 設(shè) )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若極限 xyx ???? 0lim 存在，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可導(dǎo)為 )(xfy? 在 0xx? 處的導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf? 或 0| xxdxdy? 。 【注解】 （ 1） 0??x 同時(shí)包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 若 xyx ????? 0lim 存在，稱此極限為 )(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處的左導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ，若xyx ????? 0lim 存在，稱此極限為 )(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處的右導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ，)(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處可導(dǎo)的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 （ 3）若 )(xfy? 在 0xx? 處可導(dǎo)，則 )(xfy? 在 0xx? 處連續(xù)，反之不對(duì)。