【正文】 dxxf 。 推論 2 )(|)(|)( badxxfdxxf baba ?? ?? 。 （ 7 ）（ 積 分 中 值 定 理 ） 設(shè) ],[)( baCxf ? ， 則 存 在 ],[ ba?? ，使得))(()( abfdxxfba ??? ?。 2）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)( 。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()( ，其中 a 為任意常數(shù)。 （ 3）特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì) 1）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? 2020 )( c o s)( s in ?? dxxfdxxf ，特別地， nnn Idxxdxx ?? ?? 2020 c o ss in?? ，且 1,2,1 102 ???? ? IIInnI nn ?。 3） ?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c o s2c o s 200??。 【例題 1】計(jì)算 ?? ?2241sin?? dxexx 。 【例題 3】計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx 。 【例題 1】 判斷函數(shù) )1ln()( 2xxxf ??? 的奇偶性，并求其反函數(shù)。 【例題 2】討論函數(shù) ][)( xxxf ?? 的周期性。 （ 4）有界性 — 若存在 0?M ，對(duì)任意的 Dx? ，有 Mxf ?|)(| ，稱 )(xf 在 D 上有界。 （ 2）函數(shù) )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限（ ??? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?? ，當(dāng) ???? ||0 ax 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱 A 為 )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限，記為 Axfax ?? )(lim 。 （ 4）左右極限 — 若 Axfax ??? )(lim ，稱 A 為 )(xf 在 ax? 處 的左極限，記為Aaf ?? )0( ；若 Bxfax ??? )(lim ，稱 B 為 )(xf 的右極限，記為 Baf ?? )0( ，注意 )(lim xfax? 存在的充分必要條件是 )0( ?af 與 )0( ?af 都存在且相等。 （ 2）形如 )0( ?? aa bxk 當(dāng) ax? 時(shí)的極限一定分左右極限。 無(wú)窮小 （ 1）無(wú)窮小的定義 — 以零為極限的函數(shù)稱為無(wú)窮小。 【注解】 （ 1）無(wú)窮小一般性質(zhì) 1）有限個(gè)無(wú)窮小之和、差、積為無(wú)窮小。 3） Axf ?)(lim 的充分必要條件是 ??? Axf )( ，其中 0?? 。 （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小 1） )1ln (~1~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~ xexxxxx x ??； 2） 221~cos1 xx? ； 3） axx a ~1)1( ?? 。 【例題 4】計(jì)算極限 30 sintanlim x xxx ?? 。 【例題 6】計(jì)算極限 3tan0lim xee xxx?? 。 連續(xù) （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ax? 的鄰域內(nèi)有定義，若)()(lim afxfax ?? ，稱 )(xf 在 ax? 處連續(xù)。 （ 2）函 數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有定義， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且 )()0(),()0( bfbfafaf ???? ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)。 間斷點(diǎn)及分類 （ 1）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 都存在，稱 ax? 為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)。 （ 2）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 至少一個(gè)不存在，稱 ax? 為)(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 【例題 9】求函數(shù) xxxeexf????111)(的間斷點(diǎn)及類型。 二、極限有關(guān)性質(zhì) （一）極限一般性質(zhì) 定理 1（唯一性定理） 極限具有唯一性。 （ 2）設(shè) )0(0)( ??xf 且 Axf ?)(lim ，則 )0(0??A 。 情形一：設(shè) }{na 單調(diào)增加，且存在 M ，使得 Man? ，則 nn a??lim 存在。 定理 2（夾逼定理） （ 1）數(shù)列型：設(shè) nnn cba ?? ，且 Aca nnnn ?? ???? limlim ，則 Abnn ???lim 。 （ 2）函數(shù)型：設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 記憶：（ 1） 0?x 時(shí)， xxx tansin ?? ，尤其 xx?sin （ 0?x ）； （ 2） 0?x 時(shí)， xx ?? )1ln( 。 記憶： })11{( nn? 單調(diào)增加收斂于 e 。 定理 2 （有界性定理） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 定理 4 （ 1）設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[ Mm?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。 【方法指導(dǎo)】 設(shè) ],[)( baCxf ? ，若結(jié)論中存在 )(?f ，基本確定使用零點(diǎn)定理或介值定理，一般開(kāi)區(qū)間用零點(diǎn)定理，閉區(qū) 間用介值定理。 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 【注解】 （ 1） 0??x 同時(shí)包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 （ 4）取絕對(duì)值可保持連續(xù)性，不一定保持可導(dǎo)性。 【注解】 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與函數(shù)在一點(diǎn)可微等價(jià)。 （ 3）若函數(shù) )(xf 處處可導(dǎo)，則其微分為 dxxfxdf )()( ?? 。 1)( ??? aa axx ，特別地 ????????????xxxx21)(1)1(2。 axxa ln1)(log ?? ，特別地 xx 1)(ln ?? 。 （ 1） 211)(arcsin xx ???； （ 2） 211)(a rc c o s xx ????； （ 3） 21 1)(arctan xx ??? ； （ 4） 21 1)c ot( xxarc ???? 。 vuvuuv ?????)( 。 2)( v vuvuvu ????? ； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 【注解】 （ 1）原函數(shù)與其反函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 設(shè) )(xfy? 為二階可導(dǎo)函數(shù)，且 0)( ?? xf ， )(yx ?? 為 )(xfy? 的反函數(shù)，則 )(11)(xfdxdyydydx ????? ?，即原函數(shù)與其反函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系， )()(//])(1[])(1[)]([)( 322 xf xfdxdydxxfddyxfddyydydyxd?????????????? ??。 三、求導(dǎo)基本類型 （一）顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】設(shè) )s e c2ln ( ta n 21s i n 2 xxey x ??? ，求 y? ； 【例題 2】設(shè) xxy sin? ，求 y? ； （二）參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) )(xfy? 由 ??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導(dǎo)，求 dxdy 及 22dxyd。 （三）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】 設(shè) xxye yx 23 ??? ，求 dxdy 。 【例題 2】設(shè) ??? ?? ??? 0, 0),1ln()( xbax xxxf，且 )0(f? 存在，求 ba, 。 【例題 2】設(shè) 231)( 2 ??? xxxf ，求 )()( xf n 。若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0xx? 為 )(xf 的極大點(diǎn)；若存在 0?? ，當(dāng) ???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0xx? 為 )(xf 的極小點(diǎn) ，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。 當(dāng) ),( aax ??? 時(shí)， )()( afxf ? ；當(dāng) ),( ??? aax 時(shí)， )()( afxf ? 。 （ 2）設(shè) 0)( ??af ，即 0)()(lim ???? ax afxfax ，由極限的保號(hào)性，存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 0)()( ??? ax afxf 。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點(diǎn)。 【結(jié)論 2】設(shè)可導(dǎo)函數(shù) )(xf 在 ax? 處取 極值，則 0)( ??af 。 定理 2（ Lagrange 中值定理）設(shè) )(xf 滿足：（ 1） ],[)( baCxf ? ；（ 2） )(xf 在 ),( ba內(nèi)可導(dǎo)，則存在 ),( ba?? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 。 （ 2） ? 對(duì)端點(diǎn) ba, 有依賴性。 定理 3（ Cauchy 中值定理）設(shè) )(),( xgxf 滿足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf ? ；（ 2）)(),( xgxf 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)；（ 3） ),(,0)( baxxg ??? ，則存在 ),( ba?? ，使得 )( )()()( )()( ??gfagbg afbf ????? 。 【例題 2】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，在 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)1( ?f ，證明：存在 )1,0(?? ，使得 0)(2)( ??? ??? ff 。 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ， )(xf 在 ],[ ba 上二階可導(dǎo)， Mxf ??? |)(| ，且 )(xf 的最小點(diǎn)在 ),( ba 內(nèi)，證明： )(|)(||)(| abMbfaf ????? 。 定理 4（泰 勒中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf 在 0xx? 的鄰域內(nèi)有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù)，則有 )()(! )()(!2 )()()()( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn ??????????? ?， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1( ???? ?，其中 ? 介于 0x 與 x 之間，稱此種形式的余項(xiàng)為拉格郎日型余項(xiàng)，若 ])[()( 0 nn xxoxR ?? ，稱此種 形式的余項(xiàng)為皮亞諾型余項(xiàng)。 【注解】常見(jiàn)函數(shù)的馬克勞林公式 )(!1 nnx xonxxe ????? ?。 )()!2()1(!21c o s 222 nnn xoxnxx ?????? ?。 )()1(11 1 nnn xoxxx ??????? ?。 題型三：泰勒公式在極限中的應(yīng)用 【例題】求極限 30 sinlim x xxx ?? 。 考試科 目：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 考試形式和試卷結(jié)構(gòu) 一、試卷滿分及考試時(shí)間 試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘 . 二、答題方式 答題方式為閉卷、筆試 . 三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu) 高等教學(xué) 56% 線性代數(shù) 22% 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 22% 四、試卷題型結(jié)構(gòu) 試卷題型結(jié)構(gòu)為： 單選題 8 小題，每題 4 分，共 32 分 填空題 6 小題，每題 4 分，共 24 分 解答題 (包括證明題 ) 9 小題，共 94 分 高 等 數(shù) 學(xué) 一、函數(shù)、極限、連續(xù) 考試 內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系 無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較 極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 : 函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 考試要求 ，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的 函數(shù)關(guān)系 . 、單調(diào)性、周期性和奇偶性