【正文】 考試科 目：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 考試形式和試卷結(jié)構(gòu) 一、試卷滿分及考試時(shí)間 試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘 . 二、答題方式 答題方式為閉卷、筆試 . 三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu) 高等教學(xué) 56% 線性代數(shù) 22% 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 22% 四、試卷題型結(jié)構(gòu) 試卷題型結(jié)構(gòu)為： 單選題 8 小題，每題 4 分，共 32 分 填空題 6 小題，每題 4 分，共 24 分 解答題 (包括證明題 ) 9 小題，共 94 分 高 等 數(shù) 學(xué) 一、函數(shù)、極限、連續(xù) 考試 內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 : 函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 考試要求 ，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的 函數(shù)關(guān)系 . 、單調(diào)性、周期性和奇偶性 . ，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念 . ，了解初等函數(shù)的概念 . ，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系 . . ，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法 . 、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限 . 解函數(shù)連續(xù)性的概念 (含左連續(xù)與右連續(xù) )，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 . ，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) (有界性、最大值和最小值定理、介值定理 )，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì) . 二、一元函數(shù)微分學(xué) 考試內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)和微分的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 平面曲線的切線和法線 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 高階導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性 微分中值定理 洛必達(dá) (L’Hospital)法則 函數(shù)單調(diào)性的判別 函數(shù)的極值 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線 函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圓與曲率半徑 考試要求 ，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 . ，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 .了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分 . 導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) . ，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . (Rolle)定理、拉格朗日 (Lagrange)中值定理和泰勒 (Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西 (Cauchy)中值定理 . . ，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用 . (注：在區(qū)間 內(nèi)，設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)。 【注解】常見函數(shù)的馬克勞林公式 )(!1 nnx xonxxe ????? ?。 定理 3（ Cauchy 中值定理）設(shè) )(),( xgxf 滿足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf ? ；（ 2）)(),( xgxf 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)；（ 3） ),(,0)( baxxg ??? ，則存在 ),( ba?? ，使得 )( )()()( )()( ??gfagbg afbf ????? 。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點(diǎn)。 【例題 2】設(shè) 231)( 2 ??? xxxf ，求 )()( xf n 。 【注解】 （ 1）原函數(shù)與其反函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 設(shè) )(xfy? 為二階可導(dǎo)函數(shù)，且 0)( ?? xf ， )(yx ?? 為 )(xfy? 的反函數(shù)，則 )(11)(xfdxdyydydx ????? ?，即原函數(shù)與其反函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系， )()(//])(1[])(1[)]([)( 322 xf xfdxdydxxfddyxfddyydydyxd?????????????? ??。 axxa ln1)(log ?? ，特別地 xx 1)(ln ?? 。 （ 4）取絕對(duì)值可保持連續(xù)性，不一定保持可導(dǎo)性。 【方法指導(dǎo)】 設(shè) ],[)( baCxf ? ，若結(jié)論中存在 )(?f ，基本確定使用零點(diǎn)定理或介值定理，一般開區(qū)間用零點(diǎn)定理，閉區(qū) 間用介值定理。 記憶：（ 1） 0?x 時(shí)， xxx tansin ?? ，尤其 xx?sin （ 0?x ）； （ 2） 0?x 時(shí)， xx ?? )1ln( 。 （ 2）設(shè) )0(0)( ??xf 且 Axf ?)(lim ，則 )0(0??A 。 間斷點(diǎn)及分類 （ 1）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 都存在，稱 ax? 為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)。 【例題 4】計(jì)算極限 30 sintanlim x xxx ?? 。 無窮小 （ 1）無窮小的定義 — 以零為極限的函數(shù)稱為無窮小。 （ 4）有界性 — 若存在 0?M ，對(duì)任意的 Dx? ，有 Mxf ?|)(| ，稱 )(xf 在 D 上有界。 【例題 1】計(jì)算 ?? ?2241sin?? dxexx 。 2）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)( 。 （ 3） ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()( 。 （ 3） )()]([)()]([)( 1122)( )(21 xxfxxfdttfdxd xx ?????? ????? 。 【例題 4】設(shè) A 為 n 階矩陣，且 OEAA ??? 232 ，證明： nAErAEr ???? )2()( 。 矩陣秩的性質(zhì) （ 1） )()()()( TTT AArAArArAr ??? 。設(shè) A 為 nm? 矩陣，則 },min{)( nmAr ? 。 性質(zhì)： 1） 01|| ???ijE ； 2） ijij EE ??1 或者 EEij?2 ； 3） AEij 為將 A 的 i 行與 j 行對(duì)調(diào)所得的矩陣， ijAE 為將 A 的 i 列與 j 列對(duì)調(diào)所得的矩陣。 線性方程組的類似問題：討論方程組 bAX? 的解 情形一： A 是 n 階方陣，且存在 B ，使 得 EBA? 由 bAX? 兩邊左乘 B 得 BbBAX? ，于是 BbX? ； 情形二： A 雖然是 n 階矩陣，但不存在 B ，使得 EBA? 方程組 bAX? 是否有解及解的情況； 情形三： A 是 nm? 矩陣，且 nm? 方程組 bAX? 是否有解及解的情況。 二、方程組的矩陣 形式及解的概況 方程組的基本形式為 ???????????????????000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???? （ 1） 稱（ 1）為齊次線性方程組。 推薦快速學(xué)習(xí)一下思維導(dǎo)圖法與快速閱讀法，對(duì)理解與記憶的幫助十分之大，里面有針對(duì)考研版本，對(duì)于時(shí)間不夠用，效率低的同學(xué)特別適用，本人切身體驗(yàn)，沒用不會(huì)推薦希望對(duì)大家也有幫助！建議練上 30 小時(shí)足矣。 （ 3）單位矩陣 — 主對(duì)角線上元素皆為 1 其余元素皆為零的矩陣稱為單位矩陣。 特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì) （ 1）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? 2020 )( c o s)( s in?? dxxfdxxf ，特別地， nnn Idxxdxx ?? ?? 2020 c o ss in?? ，且 1,2,1 102 ???? ? IIInnI nn ?。 （ 3）若 )()( xfxf ??? ，則 0)( ???aa dxxf。 【例題 2】設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 ? ?? x dttxtfx0 22 )()(?，求 )(x?? 。 （ 2）設(shè) ))(()( bxaxgxf ??? ，則 ?? ? baba dxxgdxxf )()(。 【例題 2】求極限 )12111(lim 222222 nnnnn ???????? ? 【解答】 )12111(lim 222222 nnnnn ???????? ?。 二、定積分理論 （一）定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)， （ 1）取 bxxxa n ????? ?10 ， ],[],[],[],[ 12110 nn xxxxxxba ????? ?， 其中 )1(1 nixxx iii ????? ? ； （ 2）任取 )1](,[ 1 nixx iii ??? ?? ，作ini i xf ??? )(1 ?； （ 3）取 }{max1 ini x?? ???，若ini i xf ???? )(lim 10 ??存在，稱 )(xf 在 ],[ ba 上可積，極限稱為 )(xf在 ],[ ba 上的定積分，記 ?ba dxxf )(，即 ?ba dxxf )( ini i xf ?? ??? )(lim 10 ??。 【注解】 （ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無關(guān)。 ? ????????? ?? 10 2222 1])(1 1)2(1 1)1(1 1[1lim xdxnnnnnn ? 三、定積分的普通性質(zhì) ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([。 6（積分中值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則存在 ],[ ba?? ，使得 ))(()( abfdxxfba ??? ?。 【解答】 ?? ?????? xx txdtxfdttxtfx0 22220 22 )()(21)()(? ?? ??? ?? 2222 00 )(21)(21 xxutx duufduuf ， )(2)(21)( 22 xxfxxfx ????? 。 【例題 1】設(shè) ],[)(),( aaCxgxf ?? ，其中 )(,)()( xgAxfxf ??? 為偶函數(shù)，證明： ?? ?? aaa dxxgAdxxgxf 0 )()()( 。 【例題 1】計(jì)算 ?? ?2241sin?? dxexx。 （ 4）對(duì)稱矩陣 — 元素關(guān)于主對(duì)角線成軸對(duì)稱的矩陣稱為對(duì)稱矩陣。 矩陣運(yùn)算 （ 1）矩陣加、減法： ??????????????????????????????mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA???????221122222221211112121111。 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ 2） 稱（ 2）為非齊線性方程組。 【注解】 （ 1）第一種解的情況產(chǎn)生矩陣的第一個(gè)核心問題 — 矩陣的逆陣。 （ 2） )0)(( ?ccEi — 單位矩陣的 i 行乘以 c 或單位矩陣的 i 列乘以 c 。 （ 2）設(shè) A 為 n 階矩陣，若 0|| ?A ，則 nAr ?)( ，稱 A 為滿秩矩陣。 （ 2）設(shè) BA, 為同型矩陣，則 )()()( BrArBAr ??? 。 高等數(shù)學(xué)部分 定積分理論 一、定積分的產(chǎn)生背景 曲邊梯形的面積問題 變速運(yùn)動(dòng)路程問題 二、定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)，若 ini i xf ???? )(lim 10 ?? 存在，稱)(xf 在