【正文】 三．用各種運算法則求導數(shù) 1．運用四則運算和復合函數(shù)求導法則 例 1．求下列函數(shù)的導數(shù)： （ 1） ? ?22 1ln1 xxxy ???? ； （ 2） 22 1a r c c o sc o t xxy ??? ； （ 3） xxy 2cos1 2sin?? ； 解：（ 1） ? ? ? ? ? ?? ???????????? 2222 1ln11ln1 xxxxxxy ? ????????? ??????????????????? 22222 111111ln1 xxxxxxxxx ? ? 11ln1 22 ????? xxxx （ 2） ? ? ? ??????? 22 1ar cco sco t xxy ? ?222 1111c s cc o t2 xxxxx ???????? 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 33 ???????????? 23 1s inc o s2xxxxx （ 3） ? ?? ? ? ?? ?xx xx xxxy 2c os1 22c os1 2c os122c os1 2s i n22c os12c os2 222??? ??? ?????。 解： ?沒有假設 ??xg 可導，所以不能用導數(shù)的乘法公式，我們就用導數(shù)的定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ax xgaxax afxfafaxax ? ??????? ?? 0l iml im ? ? ? ?agxgax ?? ?lim 例 2．設 ? ? ? ? axaxxf nn ??? （ n 為正整數(shù)），求 ??af? 例 3．設 ? ?xf ， ??xg 在 ? ????? , 內(nèi)有定義，且滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgyfygxfyxf ??? ， ? ? 00 ?f ， ?? 10?g ，? ? af ??0 ， ? ? bg ??0 ，其中 ba, 為常數(shù)，求 ??xf? 。 7．高階導數(shù)的概念 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 27 如果函數(shù) ? ?xfy? 的導數(shù) ? ?xfy ??? 在點 0x 處仍是可導的， 則把 ? ?xfy ??? 在點 0x 處的導數(shù)稱為 ? ?xfy? 在點 0x 處的二階導數(shù)， 記以0xxy ?? ，或 ? ?0xf? ，或022xxdxyd ?等， 也稱 ??xf 在點 0x 處二階可導。 切線方程： ? ? ? ?? ?000 xxxfxfy ???? 法線方程： ? ? ? ?? ?000 1 xxxfxfy ????? ? ?? ?00 ?? xf 設物體作直線運動時，路程 S 與時間 t 的函數(shù)關系為 ??tfS? ，如果 ? ?0tf? 存在，則 ? ?0tf? 表示物體在時刻0t 時的瞬時速度。 例 2．證明 2sin ?? xx 至少有一個不超過 3 的實根 例 3．設 ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，且 ? ? aaf ? ， ? ? bbf ? ， 第二章 一元函數(shù)微分學 167。 例 3．設 ? ????????????????1211122xxbaxxxxf 在 ? ????? , 內(nèi)連續(xù) 求常數(shù) a 和 b 解： ? ? baf ???? 11? ， ? ? baf ???11 ， 由 1??x 的連續(xù)性可知 21 ???? ba 得 3???ab 由 1?x 的連 續(xù)性可知 21 ??? ba 得 1??ab 所以 1,2 ??? ba 三．求函數(shù)的間斷點并確定其類型 例 1．求函數(shù) ? ? 113 ??? xxxf 的間斷點，并確定其類型 例 2．求函數(shù) ? ? ? ?4222??? xx xxxf的間斷點，并確定其類型。 其中最大值 M 和最小值 m 的定義如下： 定義 設 ? ? Mxf ?0 是區(qū)間 ? ?ba, 上某點 0x 處的函數(shù)值，如果對于區(qū)間 ? ?ba, 上的任一點 x ，總有? ? Mxf ? ，則稱 M 為函數(shù) ??xf 在 ? ?ba, 上的最大值。 2．由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復合而成的復合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。 二．函數(shù)的間斷點及其分類 1．函數(shù)的間斷點的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 不連續(xù)，則稱 0x 為 ??xf 的間斷點。 167。 定理 4．設 ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 則（ 1） ? ? ? ?? ? BAxgxf ???lim （ 2） ? ? ? ?? ? BAxgxf ???lim （ 3） ? ? ? ?? ? BAxgxf ???lim （ 4） ? ?? ?BAxg xf ?lim ? ?0?B （ 5） ? ?? ? ? ? Bxg Axf ?lim ? ?0? 二．無窮小 1．無窮小定義 若 ? ? 0lim ?xf ，則稱 ??xf 為無窮小 （注：無窮小與 x 的變化過程有關， 01lim ??? xx，當 ??x 時， x1 為無窮小，而 0xx? 或其它時， x1 不是無窮?。? 2．無窮大定義 任給 0?M ，當 x 變化一定以后，總有 ? ? Mxf ? ，則稱 ??xf 為無窮大。 解：（ B）不成立，反例 ? ? 2xxf ? ， ? ? 133 ?? xxF （ C）不成立，反例 ? ? 1cos ?? xxf ， ? ? xxxF ?? sin （ D）不成立，反例 ? ? xxf 2? ， ? ? 2xxF ? 在 ? ????? , 內(nèi) （ A）成立。 （注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。例如以后經(jīng)常會用 xx arctanlim???；xx arctanlim??? ； xx e10lim?? ； xx e10lim?? ； xx lnlim0?? 等等。 1． 1 函數(shù) 甲 內(nèi)容要點 一．函數(shù)的概念 1．函數(shù)的定義 設 D 是一個非空的實數(shù)集，如果有一個對應規(guī)則 f ，對每一個 Dx? ，都能對應唯一的一個實數(shù) y ，則這 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 2 個對應規(guī)則 f 稱為定義在 D 上的一個函數(shù)，記以 ? ?xfy? ，稱 x 為函數(shù)的自變量， y 為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，D 稱為函數(shù)的定義域，并把實數(shù)集 ? ?? ?DxxfyyZ ??? , 稱為函數(shù)的值域 2．分段函數(shù) 如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達式表示，而要用兩個或兩個以上的表達式來表示。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 1 2020 考研數(shù)學基礎班 高等數(shù)學講義 主講：汪成議 引言 我們根據(jù)考研數(shù)學的考試大綱和歷年真題，歸納出所需的數(shù)學概念、方法和技巧分為（甲）內(nèi)容要點和（乙）典型例題兩大部分來體現(xiàn)。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。就需要關于 xy arctan? ， xey? ， xy ln? 的圖象很清晰。） 4．周期性： 設 ??xf 在 X 上有定義，如果存在常數(shù) 0?T ，使得任意 Xx? ， XTx ?? ，都有 ? ? ? ?xfTxf ?? ，則稱??xf 是周期函數(shù)，稱 T 為 ??xf 的周期。證明： ? ? ? ? ? ???? x dttfFxF00， f 為奇函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??????? x x udufFdttfFxF0 000 ? ? ? ? ? ?? ??? x xFduufF00 ??xF? 為偶函數(shù)。 記以 ? ? ??xflim 3．無窮小與無窮大的關系 在 x 的同一個變化過程中 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 10 若 ??xf 為無窮大 ， 則 ??xf1為無窮小， 若 ??xf 為無窮小，且 ? ? 0?xf ， 則 ??xf1為無窮大 4．無窮小與極限的關系 ? ? ? ? ? ?xAxfAxf ?????l i m 其中 ? ? 0lim ?x? 5．兩個無窮小的比較 設 ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg ，且 ? ?? ? lxg xf ?lim （ 1） 0?l ，稱 ??xf 是比 ??xg 高階的無窮小，記以 ? ? ? ?? ?xgxf 0? 稱 ??xg 是比 ??xf 低階的無窮小。 1． 3 連續(xù) 甲 內(nèi)容要點 一． 函數(shù)連續(xù)的概念 1．函數(shù)在點 0x 處連續(xù) 定義 1．設函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量 x? （初值為 0x ）趨近于 0 時，相應的函數(shù)改變量 y? 也趨近于 0 ，即 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 19 0lim0 ???? yx 或 ? ? ? ?? ? 0lim 000 ?????? xfxxfx 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)。 2．函數(shù)的間斷點的分類 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 20 函數(shù)的間斷點分為兩類： （ 1）第一類間斷點 設 0x 是函數(shù) ? ?xfy? 的間斷點。 3．在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應區(qū)間仍 連續(xù)且單調(diào)。同樣可以定義最小值 m 。 例 3．求函數(shù) ? ? xxxf tan? 的間斷點，并確定其類型。 2． 1 導數(shù)與微分 甲 內(nèi)容要點 一．導數(shù)與微分概念 1．導數(shù)的定義 設函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，自變量 x 在 0x 處有增量 x? ，相應地函數(shù)增量? ? ? ?00 xfxxfy ????? 。 3．函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處可導，則 ??xf 在點 0x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)，卻不一定在點 0x 處可導。 如果 ? ?xfy? 的 1?n 階導數(shù)的導數(shù)，稱為 ? ?xfy? 的 n 階導數(shù)記以 ??ny ， ? ???xf n ，nndxyd 等，這時也稱? ?xfy? 是 n 階可導。 二．分段函數(shù)在分段點處可導性 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 31 例 1．討論函數(shù) ? ? ??? ?????? 00xx xxxxfy 在 00?x 處的連續(xù)性與可導性。 例 2．求下列函數(shù)的微分 （ 1） xey x sin2? ； （ 2） x xxy sincotln ?? ； （ 3） 1lna r c ta n 22 ??? xxy 。 例 6．設 ? ???????????,0 ,0 ,0,0 ,22xexxexfxx ? ? ? ?dttfxxF???? 0，求 ??xF? 。 乙 典型例題 一．用導數(shù)定義求導數(shù) 例 1．設 ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在點 a 處連續(xù)，求 ??af? 。 且 ? ? ? ?dxxfxxAxxdy 000 ????? 一般地， ? ?xfy? 則 ? ?dxxfdy ?? 所以導數(shù) ? ? dxdyxf ?? 也稱為微商，就是微分之商的含義。 2．導數(shù)的 幾