數(shù)學(xué)建模灰色預(yù)測(cè)模型(編輯修改稿)
2025-02-11 05:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1）建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗(yàn) 處理。 設(shè)原始數(shù)據(jù)列為了 ，計(jì)算 數(shù)列的級(jí)比 如果所有的級(jí)比都落在可容覆蓋區(qū)間 內(nèi)，則數(shù)據(jù)列 可以建立 GM（ 1， 1）模型且可以進(jìn)行灰 色預(yù)測(cè)。否則，對(duì)數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q處理，如平移變換： 取 C使得數(shù)據(jù)列 的級(jí)比都落在可容覆蓋內(nèi)。 ))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ??.,3,2,)( )1()( )0()0(nkkx kxk ?????),( 1212 ???? nn eeX)0(x,2,1,)()( )0()0( nkckxky ????2. 建立 GM（ 1， 1）模型 不妨設(shè) 滿足上面的要 求，以它為數(shù)據(jù)列建立 GM（ 1， 1）模型 用回歸分析求得 a,b的估計(jì)值，于是相應(yīng)的白化模型為 解為 （ 3） 于是得到預(yù)測(cè)值 從而相應(yīng)地得到預(yù)測(cè)值： ))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ??,)()( )1()0( bkazkx ??,)()( )1()1(btaxdt tdx ??.))1(()( )1()0()1( abeabxtx ta ??? ??,1,2,1,))1(()1(? )0()1( ?????? ? nkabeabxkx ak ?,1,2,1),(?)1(?)1(? )1()1()0( ?????? nkkxkxkx ?3. 檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值 （ 1）殘差檢驗(yàn)：計(jì)算相對(duì)殘差 如果對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求：否則，若 對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。 （ 2）級(jí)比偏差值檢驗(yàn)：計(jì)算 如果對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求；否則 若對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。 ,2,1,)( )(?)()( )0()0()0(nkkx kxkxk ?????|)(| ?k?|)(| ?k?),( )( kaak ?? ????|)(| ?k?|)(| ?k?灰色預(yù)測(cè)計(jì)算實(shí)例 ?例 北方某城市 1986～ 1992 年道路交通噪聲平均聲級(jí)數(shù)據(jù)見表 6 ?表 6 市近年來交通噪聲數(shù)據(jù) [dB(A)] 序號(hào)年份 eq L 1 1986 2 1987 3 1988 4 1989 5 1990 6 1991 7 1992 第一步 : 級(jí)比檢驗(yàn) 建立交通噪聲平均聲級(jí)數(shù)據(jù)時(shí)間序列如下： ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) , ( 2) , ( 7 ) )x x x x?（=(, , , , , , ) ?（ 1） 求級(jí)比 λ (k) ? ( 0 )( 0 )( 1 ))()xkkxk???（=(,1, ,) （ 2）級(jí)比判斷 由于所有的 λ (k)∈ [,]， k = 2,3,?? ,7，故可以用 x(0)作滿意的 GM（ 1， 1）建模。 第二步 : GM（ 1， 1）建模 （ 1）對(duì)原始數(shù)據(jù) 作一次累加，即 = (,288,503） （ 2）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣 B 及數(shù)據(jù)向量 Y ( ( 2) , ( 3 ) , , ( 7 ) )? ? ? ??(0)x(1)x( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 ) ( 1 ) ( 0 )( 0 )( 1 ) ( 1 )1( 1 +2 111(+,211(+2xxxxx xBYxxx???????????? ?????????????????（ ） （ 2 ） )（ 2 ）（ 2 ） （ 3 ） ) （ 3 ）（ 7 ）（ 6 ） （ 7 ） )1 0 . 0 0 2 3?? ?( , ) ( ) ( )7 2 . 6 5 7 3T T Tu a b B B B Y?? ? ? ?（ 3）計(jì)算 u? ?? 于是得到 a = ， b = 。（ 4）建立模型 ( 1 )( 1 )0 .0 0 2 3 7 2 .6 5 7 3dx xdt???求解得 ( 1 ) ( 0 ) ( 0 )? ?( 1 ) ( 1 ) = ( 1 ) = ,x x x?( 1 ) ( 0 ) 0 . 0 0 2 3( 1 ) ( 1 ) = 3 0 9 2 9 3 1 0 0 0a k kbbx k x e eaa??? ? ? ?（ ）（ 5）求生成數(shù)列值 及模型還原值 ： 令 k = 1,2,3,4,5,6,由上面的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)可算得 ，其中取 由 取 k = 2,3,4,?? ,7，得 (, , , , , , ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )? ? ? ?( 1 ) ( 2 ) ( 7 ) =x x x x?（ ， ， ， ）( 0 ) ( 1 ) ( 1 )? ? ?( ) ( ) ( 1 ) ,x k x k x k? ? ?(1)? ( 1)xk?(0 )? ( 1)xk?(1)?x?第三步 : 模型檢驗(yàn) ?模型的各種檢驗(yàn)指標(biāo)值的計(jì)算結(jié)果見表 7. ?表 7 GM(1,1)模型檢驗(yàn)表 ?序號(hào) 年份 原始值 模型值 殘差 相對(duì)誤差 級(jí)比偏差 ? 1 1986 0 0 ? 2 1987 % ? 3 1988 % ? 4 1989 % ? 5 1990 % ? 6 1991 % ? 7 1992 % ?經(jīng)驗(yàn)證，該模型的精度較高，可進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)報(bào)。 案例： SARS疫情對(duì)某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)影響 ? 1 問題的提出 ? 2022年的 SARS疫情對(duì)中國(guó)部分行業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了一定的影響，特別是對(duì)幫分疫情較嚴(yán)重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是明顯的，經(jīng)濟(jì)影響主要分為直接經(jīng)濟(jì)影響和間接影響．直接經(jīng)濟(jì)影響涉及到商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)等行業(yè)．很多方面難以進(jìn)行定量地評(píng)估，現(xiàn)僅就SARS疫情較重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響進(jìn)行定量的評(píng)估分析． ?究竟 SARS疫情對(duì)商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響有多大，已知該市從 1997年 1月到 2022年 10月的商品零售額、接待旅游人數(shù)和綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 表 表 3． 表 1 商品的零售額 (單位：億元 ) ? 年代 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 ? 1997 83． 0 79． 8 78． 1 85． 1 86． 6 88． 2 90． 3 86． 7 93． 3 92． 5 90． 9 96． 9 ? 1998 101． 7 85． 1 87． 8 91． 6 93． 4 94． 5 97． 4 99． 5 104． 2 102． 3 101．0 123． 5 ? 19
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