【文章內(nèi)容簡介】 才能使得到的三種管料既能配套，又能使殘料最少？ 解： 首先，我們用表 列出各種可能的截法。 截 法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 長 度 45cm 80cm 95cm 6 0 0 4 1 0 4 0 1 3 2 0 2 1 1 2 0 2 1 3 0 1 2 1 0 1 2 0 0 3 殘料 /cm 30 40 25 5 35 20 15 0 30 15 表 解：設(shè) xj (j=1,2, ,10) 表示按照第 j 種截法鋸割的鋼管 的根數(shù)，那么截出的長 45cm 管料的根數(shù)為： 87654321 223446 xxxxxxxx ???????截出的長 95cm 管料的根數(shù)為： 987542 232 xxxxxx ?????截出的長 80cm 管料的根數(shù)為： 1097654321 15301520355254030 xxxxxxxxx ????????此時，殘料的長度為： 1098653 322 xxxxxx ?????因此，下料問題的數(shù)學(xué)模型為： ??????????????????????????????????????)10,2,1( 0232 2 3 23 2 5 223446 .15301520355254030m i n1098653987542876543211097654321?jxaxxxxxxaxxxxxxaxxxxxxxxtsxxxxxxxxxSj典例 3（投資問題） :一投資公司將 1000 萬元的資金對 A 、 B兩個企業(yè)投資，對企業(yè) A每投資 1 萬元，一年后公司可獲利 萬元；對企業(yè) B每投資 1 萬元，兩年后公司可獲利 2 萬元。對企業(yè) A 每次投資周期必須是一年，對企業(yè) B 每次投資周期必須是兩年，到期結(jié)算后，以本利的和再作為資金繼續(xù)對 A 、B兩個企業(yè)投資。問公司要在第三年底收到最大效益，應(yīng)該如何分配對 A 、 B 兩個企業(yè)的投資數(shù)量？ 解： 設(shè)投資公司對 A 、 B兩企業(yè)在第一年初的投資額分別為 x11 、 x21 萬元；在第二年初的投資額分別為 x12 、x22 萬元；在第三年初的投資額分別為 x1 x23 萬元。 在第一年初，投資公司投出總金額為 1000萬元，所以有： x11+x21=1000 （ 1） 在第一年底，回收到對 A 企業(yè)投資的本金 +利潤合計為： x11+= 此資金作為第二年初對 A 、 B 兩企業(yè) 投資資金。 在第二年初，投資公司對 A 、 B 兩企業(yè)投資金額為 萬元，所以有： x12+x22= （ 2） 在第二年底，回收的金額是兩部分的和一部分是第二年 初對 A 企業(yè)投資的本利和為： x12+= 萬元 另外一部分是第一年初對 B 企業(yè)投資的本利 x21+2x21= 3x21萬元。所以，第二年底投資公司共回收 +3x21 萬元，作為第三年初的投資資金。 在第三年初，只能對 A 企業(yè)進(jìn)行投資，因此有： x13 =+ 3x21 （ 3） x23 =0 （ 4） 在第三年底，投資公司從兩個企業(yè)回收的本利分別為：從 A 企業(yè)回收的第三年初投入的本利 x13+= 萬元； 與從 B企業(yè)回收的第二年初投入的本利 x22+2x22=3x22 萬元。 因此，投資公司的總收入為： S= + 3x22 綜合上面討論，我們得到此投資問題的數(shù)學(xué)模型為： ?????????????????????)3,2,1。2,1( 003 1 . 7 1000 . a x 2321121311221221112213jixxxxxxxxxxtsxxSij 以上我們建立了生產(chǎn)問題、運(yùn)輸問題、下料問題及投姿問題的數(shù)學(xué)模型。在實際問題中還有好多諸如布局問題、分派問題等，這些問題雖然各式各樣但都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃模型可以解決實際優(yōu)化中的大量問題。線性規(guī)劃由于它的理論的完備性及方法的有效性越來越受到廣泛的應(yīng)用。 二 .目標(biāo)規(guī)劃的理論與方法 前面介紹的線性規(guī)劃問題，都是在約束條件下具有單個目標(biāo)函數(shù)的基本特征。但現(xiàn)實世界中有很多問題卻具有多個目標(biāo)，這些目標(biāo)的重要性各不相同，往往有不同的量綱，又相互沖突。決策者希望實現(xiàn)的這些目標(biāo)，有的要求百分之百地予以實現(xiàn)，有的則要求基本實現(xiàn)就可以。諸如此類問題正是目標(biāo)規(guī)劃要研究解決的問題。目標(biāo)規(guī)劃通常包括線性目標(biāo)規(guī)劃、非線性目標(biāo)規(guī)劃等。我們僅討論線性目標(biāo)規(guī)劃（簡稱目標(biāo)規(guī)劃）的數(shù)學(xué)模型及方法。 以前面我們很熟悉的例 1（生產(chǎn)計劃問題）為例，它是一個單目標(biāo)的線性規(guī)劃問題 ,設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙 兩種產(chǎn)品分別為 x1 件和 x2 件，其數(shù)學(xué)模型如下： ????????????0,26232432 .34m a x 21212121xxxxxxtsxxZ 其最優(yōu)解為 x1*=6 ,x2*=4 ,z*=36 即最優(yōu)方案為甲產(chǎn)品生產(chǎn) 6件，乙產(chǎn)品生產(chǎn) 4件，每天的總利潤為36元。 現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要求考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)： （ 1）根據(jù)市場信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降趨勢，而乙產(chǎn)品的銷量有上升趨勢，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量； （ 2）盡可能充分利用工時，不加班； （ 3）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃利潤 30元。 問題： 在原材料不能超計劃使用的前提下，并考慮上述（ 1）（ 2）（ 3）三個目標(biāo)后，如何安排生產(chǎn)使這些目標(biāo)依次實現(xiàn)？ 設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙 兩種產(chǎn)品分別為 x1 件和 x2 件，由于原材料的限制，顯然有如下資源約束： 2x1+3x2≤24 ，滿量和正偏差變量。從而為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變分別甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。它們表示乙產(chǎn)品的數(shù)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，表示乙產(chǎn)品的數(shù)量低于令??11 dd次為：這個問題的目標(biāo)函數(shù)依3034 )3(3030 332133???? ????ddxxdd有：標(biāo)元的偏差變量，則對目元和高于計劃利潤低于計劃利潤分別表示安排生產(chǎn)時，和又令2623 2 222122???? ????ddxxdd）有：偏差變量，對目標(biāo)（時和高于可利用工時的于可利用工分別表示安排生產(chǎn)時低和同樣，令0 11121 ??????? ddxx）的約束為約束等式滿足目標(biāo)約束（????????????????????????????????????????????3 ,2 ,1 , 0 , 0 , 0,3034262302432 .m i n m i n m i n21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxtsdZddZdZii；；型可描述為：因此，該問題的數(shù)學(xué)模????????3322211m i nm i nm i ndZddZdZ 目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的基本特征 生在達(dá)到目標(biāo)值時允許發(fā)值作為右端的常數(shù)項，標(biāo)目標(biāo)約束是把預(yù)定的目資源約束又稱硬約束。滿足的等式或不等式，資源約束是指必須嚴(yán)格資源約束和目標(biāo)約束個目標(biāo)值的數(shù)量。于第表示實際決策值低個目標(biāo)值的數(shù)量；值超過第表示實際決策表示。和偏差變量分別用表示。正、負(fù)，用決策變量又稱控制變量決策變量和偏差變量 .2 .1ididddxi????正或負(fù)的偏差量，因此目標(biāo)約束是軟約束，具有一定的彈性。 慮，依此類推。級目標(biāo)實現(xiàn)的基礎(chǔ)上考目標(biāo)是在保證級考慮其他次級目標(biāo)，級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時不首先保證有更大的優(yōu)先權(quán)。比表示并規(guī)定子次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因優(yōu)先因子第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予實現(xiàn)。凡要求按主次或輕重緩急依次先因子，以使各個目標(biāo)引進(jìn)了優(yōu)標(biāo)統(tǒng)一在單一目標(biāo)中，目標(biāo)規(guī)劃中為使多個目優(yōu)先因子121111321 , , , .3PPPPPPPPPPPkkkkk ??????盡可能縮小偏的，因決策者的愿望是和相應(yīng)的優(yōu)先因子組成偏差變量由各目標(biāo)約束的正、負(fù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù) 4.)。m i n ( )3()。m i n ( )2()。m i n ( )1( , )( ??????????iiiiiiiiddddbddXf，則目標(biāo)函數(shù)為若要求超過預(yù)定目標(biāo)值值，則目標(biāo)函數(shù)為若要求不超過預(yù)定目標(biāo)目標(biāo)，則目標(biāo)函數(shù)為若要求恰好達(dá)到預(yù)定的形式有如下三種：相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的基本約束總是極小化。對于目標(biāo)離目標(biāo)值，故目標(biāo)函數(shù)則這個問題的模型為：考慮分別賦予優(yōu)先因子對于上例的三個目標(biāo) , , , )3( )2( )1( 321PPP 建立目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型時，排定各個目標(biāo)的優(yōu)先等級，一般是通過專家來評定的。 ????????????????????????????????????????????)5( 3 ,2 ,1 , 0 , 0 , 0,)4( 3034)3( 2623)2( 0)1( 2432 .)(m i n213321222111212133222111iddxxddxxddxxddxxxxtsdPddPdPZii，作相應(yīng)的直線。均為差（件，令相應(yīng)的正、負(fù)偏可行域。對目標(biāo)約束條所圍的區(qū)域為三角形即作圖與線性規(guī)劃相同，的的區(qū)域。資源約束條件定中作出各約束條件所確先在平面直角坐標(biāo)系。為例說明圖解法的步驟策變量的目標(biāo)規(guī)劃模型以上述兩個決下面 0 ), )1( ??iiddOA B 目標(biāo)規(guī)劃的圖解法 2623 21 ?? xx021 ??? xx3034 21 ?? xx?1d?1d?2d?2d?3d?3d1x2xC)0,12(A)8,0(B)0,3/26(D)13,0(E)10,0(F)0,(GO2432 21 ?? xx子分析求解。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)先因的方向。線上標(biāo)出目標(biāo)約束在相應(yīng)直 )3( , )2( ?? ii dd滿意解）任何目標(biāo)規(guī)劃問題都有元。相應(yīng)的利潤為因此，滿意解為，點(diǎn)，只有相應(yīng)目標(biāo)的實現(xiàn)，此時最后考慮取最小，此時）最近，即使點(diǎn)距離直線（看出，容易中要實現(xiàn)相應(yīng)的目標(biāo)，即在接著考慮的區(qū)域為三角形滿足從圖中可見的實現(xiàn)，即要求在可行域中，首先考慮( ,5/24 , 5/24