【文章內(nèi)容簡介】 使自己能有較大的機(jī)會(huì)贏得戰(zhàn)爭的勝利呢？ 我們將用建立矩陣對策模型的方法，來試圖求得雙方的最優(yōu)策略。模型假設(shè)： Bradley將軍和 Von Kluge將軍分別為對策問題的局中人 A和 B。 局中人 A的策略集合為 SA = { 1, 2, 3}，其中： 1為后備軍增援保衛(wèi)海峽； 2為后備軍東征，切斷德軍后路； 3為后備軍待命 ? ? ? ?? ?局中人 B的策略集合為 SB = { 1, 2}，其中： 1為德國向西進(jìn)攻海峽，切斷美軍援助； 2為德軍撤退到東部，占領(lǐng)塞納河流域有利地形。 ? ? ?? SA、 SB構(gòu)成六種純局勢，綜合雙方實(shí)力，各種局勢估計(jì)結(jié)果如下。若 B采取策略 1，即德軍采取攻勢，則有 ?（ 1）（ 1, 1），估計(jì)美軍擊敗德軍并占領(lǐng)海峽的可能性（即概率）為 ? ? 13（ 2）（ 2, 1），估計(jì)美軍取勝的可能為 。德軍很可能打破美軍第一軍的防線，并切斷美軍的退路。 ?? 16（ 3）（ 3, 1），估計(jì)美軍可以根據(jù)需要增援。如不需增援，后備軍可東進(jìn)繞行到德軍后方。這樣，美軍將占領(lǐng)海峽并徹底殲滅德軍第九軍。 ??情況（ 1）、（ 2）、（ 3）如圖 （ 1）、（ 2）、（ 3）所示。 若 B采取策略 2，即德軍第九軍東撤，占據(jù)塞納河流域有利地形，則有 ?（ 4）（ 1, 2），美方擴(kuò)大了戰(zhàn)線，德軍雖占據(jù)了有利地形，美軍仍有擊敗 德軍的可能性。 ? ?（ 5）（ 2, 2），美后備軍東進(jìn)給德軍東撤造成壓力并挫傷德軍，使美軍擊敗 德軍的可能性增大到 。 ? ?56（ 6）（ 3, 2），美后備軍待命。在發(fā)現(xiàn)德軍撤退后，奉命向東擾亂敵方撤退， 為以后殲滅德第九軍創(chuàng)造條件，估計(jì)是美軍擊敗德軍的可能性 。 ? ?23情況（ 4）、（ 5）、（ 6）見圖 （ 4）、（ 5）（ 6）所示。 上述分析估計(jì)是由 Bradley將軍作出的，據(jù)此構(gòu)造出 A方贏得矩陣 12123 113215 66213BA???????????????????????這是一個(gè) 3 2對策矩陣。可以求得 ， ， ，不存在穩(wěn)定解，需要考慮其他解法。 16?? 56? ??0????定義 對于贏得矩陣 R，如果對所有 j， aij≥akj均成立，且至少存在一個(gè) 使 得 則稱 i行優(yōu)于 k行（策略 ai優(yōu)于 ak）。同樣，如對一切 i有 aij≤akl， 且至少有一個(gè) i0使得 ，則稱 j列優(yōu)于 l例（局中人 B的策略 j優(yōu)于 l）。 0j0kjij aa ?00i j i laa?? ?易見，若一個(gè)對策矩陣的第 i行優(yōu)于第 k行，則無論局中人 B選擇哪種策略，局中 人 A采取策略 i的獲利總優(yōu)于（至少不次于）采取策略 k的獲利。 ? ?定理 對于矩陣對策 G= { SA, SB, R}，若矩陣 R的某行優(yōu)于第 i1,……, ik行， 則局中人 A在選取最優(yōu)策略時(shí)，必取 。 令 ， R’為從 R中劃去第 i1行， … ， ik行后剩下的矩 陣，則 的最優(yōu)策略即原對策 G的最優(yōu)策略，對于 R中 列的最優(yōu)關(guān)系也有類似的結(jié)果。 1 0kiipp? ? ?1\ { , , }kA A i iSS ??? ?{ , , }ABG S S R? ? ??利用這一定理，有時(shí)對策問題可先進(jìn)行化簡，降低矩陣的階數(shù)。 現(xiàn)在回過來討論美、德軍隊(duì)對策問題。在 Bradleg構(gòu)造的矩陣中容易發(fā)現(xiàn) a1j＜ a3j, j=1,2 故 3優(yōu)于 1。 根據(jù)上面的定理 ，可劃去該矩陣的第一行，得到 2 2贏得矩陣 ? ?1223 1566213????????????????這仍然是一個(gè)無鞍點(diǎn)的對策矩陣。設(shè) Bradley以概率 p1取策略 2而以概率 p2取略 3，則應(yīng)有 ??1 2 1 2121 5 26 6 31p p p ppp? ? ? ???? ???解得 311 ?p223p ?類似地，設(shè) Von Kluge 以概率 q1取策略 1而以概率 q2取策略 2，則應(yīng)有 ? ?1 2 1 2121 5 26 6 31q q q qqq? ? ? ???? ???解得 。 1215,66qq??由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進(jìn)行的對策問題，看來最大的可能是美軍采取策略 3而德軍采取策略 2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實(shí)行，雙方勝負(fù)還難以料定。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱傞_始東撤時(shí)，突然接到了希特勒的命令要他們向西進(jìn)攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。 Von Kluge將軍指揮的德軍向西進(jìn)攻，開始時(shí)德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復(fù)滅， Von Kluge本人在失敗后自殺。 ? ?例 （防坦克地雷場的布設(shè)） 實(shí)戰(zhàn)中，攻方為了增強(qiáng)攻擊力，大量使用攻擊力強(qiáng)、防御堅(jiān)固的坦克；守方為了抵御對方攻擊，需要大量殺傷敵方的有生力量，有效對策之一是布設(shè)防坦克地雷場。 分析 評價(jià)防坦克地雷場的重要指標(biāo)是戰(zhàn)斗效力，而布雷密度是基本因素之一。只要有足夠多的地雷，用較高密度的地雷場對付敵方進(jìn)攻總是行之有效的。但在實(shí)際戰(zhàn)斗中，地雷不太可能是足夠多的。假設(shè)： （ 1）防坦克地雷數(shù)量有限； （ 2）通過偵察、分析，已知敵方可能采用 … 、 n種進(jìn)攻策略之一； ? ? ?（ 3）通過敵情分析，確定了防御正面的寬度，并根據(jù)我方地雷數(shù)量，設(shè)計(jì) 了 1, 2,…, m這 m種布雷方案。 ? ? ?問采取哪一方案或什么樣的混合策略能有效擊毀敵方的坦克？ 本例在過去一般是憑指揮員的作戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)定性決策的，現(xiàn)用矩陣對策方法進(jìn)行定量擇優(yōu)。 由于每兩輛坦克之間一般要保持 50米的間距，因而進(jìn)攻正面拉得很寬，如一個(gè)梯隊(duì) 20輛坦克，進(jìn)攻正面約為一公里寬。因?yàn)橹挥杏邢迋€(gè)防御正面，用有限個(gè)進(jìn)攻策略來描述敵方的進(jìn)攻狀態(tài)是非常接近實(shí)際情況的。對守方來講，布雷密度通?？煞殖?,1,2等有限個(gè)等級。按常規(guī)做法，在防御正面上一般采用同一種技術(shù)密度。為了提高殺傷率，現(xiàn)將一個(gè)防御正面劃分成幾段，各段允許采用不同密度。 對策決策 要用矩陣對策決策，關(guān)鍵問題是如何列出守方的贏得矩陣。由效率評定試驗(yàn)可得出在各種布雷密度下的殺傷率表，如表 。 表 布雷密度 1 2 殺傷率 根據(jù)上表，在確定方案后即可根據(jù)各段不同密度針對攻方的進(jìn)攻策略計(jì)算出坦克的殺傷率。為便于理解，作為實(shí)例分析下面兩種情況： 情況 1 設(shè)守方只有 1500個(gè)防坦克地雷，欲布設(shè)在攻方必經(jīng)的 2公里攻擊正面上。攻方一個(gè)坦克梯隊(duì)的 20輛坦克展開成 1公里寬的陣面，但既可能從左側(cè)進(jìn)攻（策略 1）也可能從右側(cè)進(jìn)攻（策略 2）。守方設(shè)計(jì)了三種布雷方案 1, 2, 3,（圖 ），試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。 ? ?? ? ?圖 情況 1求解：容易求得守方的贏得矩陣 1 0 .8 7 0 .4 3 50 .8 7 0 .8 72110 .9 5 0 .9 5 0 .4 7 5 0 .4 7 522110 .9 8 0 .9 8 0 .4 9 0 .2 4 524A?? ????? ?????? ??? ? ? ????? ???? ????????這是一個(gè)有鞍點(diǎn)的矩陣，鞍點(diǎn)為 a22。守方只要按 2方案布雷，則不管攻方從哪一側(cè)進(jìn)攻，總可毀傷對方 %的坦克。 ?情況 2 攻方一梯隊(duì) 20輛坦克可從左側(cè)（ 1）、中路（ 2）或右翼（ 3）進(jìn)攻，展開成 1公里布陣。守方只有 2022個(gè)防坦克地雷，初步提出三種布雷方案，如圖 ，試求守方采用何種布雷方案較好。 ? ? ?圖 對情況 2，可求得守方的贏得矩陣為 7 1 95 55 7 1 1 55 55A???????此時(shí)，矩陣 A中不存在鞍點(diǎn)，對策無穩(wěn)定解，應(yīng)采用混合策略?？梢郧蟮?，此時(shí)守方如按照 :: 1, 2, 3布雷，平均可毀傷對方 %的坦克。 ? ? ?由本例可以看出，在決策問題中，策略的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，它直接影響到贏得矩陣。策略的設(shè)計(jì)并沒有包含在決策問題的求解中，事實(shí)上，僅當(dāng)策略設(shè)計(jì)完成后，即策略集合給定后，決策問題才被給定，從而才能被求解，因而，在用對策論方法研究實(shí)際課題時(shí)，應(yīng)當(dāng)特別注意策略的設(shè)計(jì)。這一部分工作既具有一定的創(chuàng)造性又在很大程度上影響到結(jié)果，對它研究也是十分有趣的。 167。 決策問題 人們在處理問題時(shí)，常常會(huì)面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時(shí)又存在著幾種可供選擇的行動(dòng)方案。此時(shí)，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即選擇出最佳的行動(dòng)方案，這樣的問題稱為決策問題。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡稱狀態(tài)。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素?？晒┻x擇的行動(dòng)方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。 例 在開采石油時(shí)，會(huì)遇到是否在某處鉆井的問題。盡管勘探隊(duì)已作了大量調(diào)研分析，但由于地下結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，仍無法準(zhǔn)確預(yù)測開采的結(jié)果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。設(shè)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出表 。 表 0 0 0 不鉆井（ 2） 40 20 － 30 鉆井（ 1） P( 3) = P( 2) = P( 1) = （億元） 高產(chǎn)油井（ 3） 一般（ 2） 無油（ 1） 自然狀態(tài) 概率 收益 方案 ? ? ?? ? ???問：決策者應(yīng)如何作出決策？ 解：由題意可以看出，決策問題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合 Q={ 1,…, n}、策略集合 A = { 1,…, m}及收益 R = {aij}，其中 aij表示如果決策者選取策略 i而出現(xiàn)的狀態(tài)為 j，則決策者的收益值為 aij（當(dāng) aij為負(fù)值時(shí)表示損失值）。 ? ? ? ?決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險(xiǎn)型（或隨機(jī)型）和不確定型。 確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問題。這種決策問題的結(jié)構(gòu)較為簡單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。值得一提的是策略集也可以是無限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。確定型決策的求解并非全是簡單的，但由于這些問題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險(xiǎn)型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。 一、風(fēng)險(xiǎn)型決策問題 在風(fēng)險(xiǎn)型決策問題中存在著兩種以上可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)。決策者不知道究竟會(huì)出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，但知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率有多大。例如，例 。 對于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，最常用的決策方法是期望值法，即根據(jù)各方案的期望收益或期望損失來評估各方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。如對例 1，分別求出方案 1（鉆井）和 2（不鉆井）的期望收益值： ? ?E（ 1） = （－ 30） + 20 + 40 = 16（萬元） ?E（ 2） =0 ?由于 E（ 1）＞ E（ 2），選取 1作為最佳策略。 ? ? ?風(fēng)險(xiǎn)型決策也可采用期望后悔值法求解。首先，求出采取方案 i而出現(xiàn)狀態(tài) j時(shí)的后悔值 。 ?? m a xij k j ijkl a a??例如，如果不鉆井，但事實(shí)上該處可開出一口高產(chǎn)井，則后悔值為 40。因?yàn)殂@井可收益 40萬元，但決策者作了不鉆井的決策，未獲得本來可以獲得的 40萬元收益。然后，比較各方案的期望后悔值，選取期望后悔最小