20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：12-簡(jiǎn)單不等式的解法-【含解析】(編輯修改稿)
2025-04-03 03:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 對(duì)于含有參數(shù)的不等式,還要用到分類討論思想、,同學(xué)們有必要探究以下幾種不等式的解法,以提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).一含有絕對(duì)值的不等式:非負(fù)性,通常的處理方法有兩種:一是通過(guò)對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部符號(hào)進(jìn)行分類討論(常用)。二是通過(guò)平方去掉絕對(duì)值.,可直接利用公式進(jìn)行變形求解:(1)|f(x)|g(x)的解集與f(x)g(x)或f(x)g(x)的解集相同。(2)|f(x)|g(x)的解集與g(x)f(x)g(x)的解集相同.,則要具體問(wèn)題具體分析,通?？捎玫氖侄尉褪窍壤梅诸愑懻撊サ艚^對(duì)值,將其轉(zhuǎn)化為整式不等式,再做處理.【例1】解下列不等式:(1)|x2+x|≤3x。(2)|x1|+|x+2|5。(3)|2x1||x2|0.解(1)(方法1)原不等式可轉(zhuǎn)化為3x≤x2+x≤3x,即x2+x≥3x,x2+x≤3x,解得x≥0或x≤4,0≤x≤2.∴0≤x≤2.(方法2)觀察到若要使得不等式|x2+x|≤3x成立,則3x≥0,即x≥0,進(jìn)而|x2+x|內(nèi)部恒為正數(shù),絕對(duì)值直接去掉,即只需解x2+x≤3x即可,解得0≤x≤2,∴不等式的解集為[0,2].(2)含多個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題,可通過(guò)“零點(diǎn)分段法”來(lái)進(jìn)行分類討論.令兩個(gè)絕對(duì)值分別為零,解得x=2,x=1,作出數(shù)軸,將數(shù)軸分為三部分,分類討論:①當(dāng)x1時(shí),不等式變?yōu)閤1+x+25,解得x2,∴1x2.②當(dāng)2x≤1時(shí),不等式變?yōu)?x+x+25,解得35,∴2x≤1時(shí)不等式均成立.③當(dāng)x≤2時(shí),不等式變?yōu)?xx25,解得x3,∴3x≤2.綜上所述,不等式的解集為(3,2).(3)思路:本題依然可以仿照(2)的方式進(jìn)行零點(diǎn)分段,再解不等式,但從另一個(gè)角度觀察,所解不等式為|2x1||x2|,兩邊均是絕對(duì)值(非負(fù)數(shù)),所以還可以考慮兩邊平方(所用不等式性質(zhì):ab≥0?a2b2)一次將兩個(gè)絕對(duì)值去掉,再進(jìn)行求解.∵|2x1||x2|,∴(2x1)2(x2)2,4x24x+1x24x+4,∴3x23,解得1x1,∴不等式的解集為(1,1).,選擇更簡(jiǎn)便的方法.,一段范圍可將所有的絕對(duì)值一次性去掉,缺點(diǎn)在于需要進(jìn)行分類討論,對(duì)學(xué)生書(shū)寫(xiě)的規(guī)范和分類討論習(xí)慣提出了要求,以及如何整理結(jié)果,這些細(xì)節(jié)部分均要做好,才能保證答案的正確性.二簡(jiǎn)單的高次不等式的解法【例2】解不等式:(x1)(x+2)(x3)0.解法一(列表法):求得相應(yīng)方程的根為2,1,3.列表如下:x22x11x3x3x+2+++x1++x3+各因式積++由上表可知,原不等式的解集為{x|2x1或x3}.小結(jié):此法叫列表法,解題步驟是:①將不等式化為(xx1)(xx2)…(xxn)0(0)形式(各項(xiàng)x的系數(shù)化為正數(shù)),令(xx1)(xx2)…(xxn)=0,求出各根,不妨稱之為分界點(diǎn),一個(gè)分界點(diǎn)把(實(shí)數(shù))數(shù)軸分成兩部分,n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分……。②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分,由小到大橫向排列,相應(yīng)各因式縱向排列(由對(duì)應(yīng)較小根的因式開(kāi)始依次自上而下排列)。③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào),下面是乘積的符號(hào)。④看下面各因式積的符號(hào)寫(xiě)出不等式的解集.解法二(穿根法):①(x1)(x+2)(x3)=0的根是2,1,3,在數(shù)軸上表示這三個(gè)數(shù).②由右上方穿線,經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn).③若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間。若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.由圖可知,原不等式的解集為{x|2x1或x3}.小結(jié):此法叫穿根法,解題步驟是:①將不等式化為(xx1)(xx2)…(xxn)0(0)形式,并將各因式x的系數(shù)化“+”。②求根,并在數(shù)軸上表示出來(lái)。③由右上方穿線,經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)。④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間。若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.【例3】解不等式:(x2)2(x3)3(x+1)0.解①檢查各因式中x的符號(hào)均正.②求得相應(yīng)方程的根為:1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).③在數(shù)軸上表示各根并穿線,每個(gè)根穿一次(自右上方開(kāi)始),如下圖.④∴原不等式的解集為{x|1x2或2x3}.說(shuō)明:∵3是三重根,∴在C處穿三次,2是二重根,∴在B處穿兩次,當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(xx1)n時(shí),n為奇數(shù)時(shí),曲線在x1點(diǎn)處穿過(guò)數(shù)軸。n為偶數(shù)時(shí),曲線在x1點(diǎn)處不穿過(guò)數(shù)軸,不妨歸納為“奇穿偶不穿”.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解不等式:(x3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.三無(wú)理不等式常見(jiàn)題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化:(1)f(x)g(x)?g(x)≥0,f(x)g(x)。(2)f(x)g(x)?g(x)≥
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