20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：22-函數(shù)的單調(diào)性與最值-【含解析】(編輯修改稿)
2025-04-03 03:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)f(x)=log13(x2ax+3a)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(∞,2] B.[2,+∞),2 ,2:圖象法、定義法、導(dǎo)數(shù)法、利用已知函數(shù)的單調(diào)性.:(1)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求值域或最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出值域或最值.(3)配方法:對于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù),可用配方法求解.(4)換元法:對比較復(fù)雜的函數(shù),可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正、二定、三相等”的條件后,再用基本不等式求出值域或最值.(6)導(dǎo)數(shù)法:首先求導(dǎo),然后求在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值,求出值域或最值.“同增異減”的規(guī)律求解.,要高度關(guān)注:(1)抓住對變量所在區(qū)間的討論.(2)保證各段上同增(減)時,要注意上段、下段的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系.(3)弄清最終結(jié)果取并還是取交.,應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,脫離定義域研究函數(shù)的單調(diào)性是常見的錯誤.“∪”連接.雙變量問題中一般穿插有兩個及以上的“任意”或“存在”量詞,學(xué)生往往因為不知道如何等價轉(zhuǎn)換致使解題走向迷茫,“存在性或任意性”問題,關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系),旨在落實邏輯推理核心素養(yǎng).類型1 形如“對?x1∈A,都?x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】已知函數(shù)f(x)=x3+(1a)x2a(a+2)x,g(x)=196x13,若對任意x1∈[1,1],總存在x2∈[0,2],使得f39。(x1)+2ax1=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解由題意知,g(x)在[0,2]上的值域為13,6.令h(x)=f39。(x)+2ax=3x2+2xa(a+2),則h39。(x)=6x+2,由h39。(x)=0得x=13.當(dāng)x∈1,13時,h39。(x)0。當(dāng)x∈13,1時,h39。(x)0.所以[h(x)]min=h13=a22a13.又由題意可知,h(x)的值域是13,6的子集,所以h(1)≤6,a22a13≥13,h(1)≤6,解得實數(shù)a的取值范圍是[2,0].思維突破此類問題求解的策略是“等價轉(zhuǎn)化”,即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于實數(shù)a的不等式組,求得參數(shù)的取值范圍.類型2 形如“?x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”【例2】已知函數(shù)f(x)=2x3x+1,x∈(12,1],13x+16,x∈[0,12],函數(shù)g(x)=ksinπx62k+2(k0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.解由題意,易得函數(shù)f(x)在[0,1]上的值域為[0,1],g(x)在[0,1]上的值域為22k,23k2,即22k1或232k0,解得k12或k43,所以要使兩個值域有公共部分,實數(shù)k的取值范圍是12,43.思維突破本類問題的實質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”,若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”,則“等價轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍.類型3 形如“對?x1∈A,都?x2∈B,使得f(x1)g(x2)成立”【例3】已知函數(shù)f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若?x1∈12,1,?x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是 .答案12,+∞解析依題意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)=x+4x在12,1上單調(diào)遞減,∴f(x)max=f12=172.又g(x)=2x+a在[2,3]上單調(diào)遞增,∴g(x)max=8+a,因此172≤8+a,解得a≥12.思維突破理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函數(shù)的單調(diào)性,求f(x)與g(x)的最大值,得關(guān)于a的不等式,求得a的取值范圍.思考1:在[例3]中,若把“?x2∈[2,3]”變?yōu)椤?x2∈[2,3]”
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