【正文】 時間價值成反比的。為了便于讀者更好的理解，本文把上述幾種期權(quán)影響因素制作成表 23，如下： 表 23 各類因素對期權(quán)價格的影響 影響因素 看漲期權(quán) 看跌期權(quán) 標的資產(chǎn)的價格 上升 下降 標的資產(chǎn)的價格波動率 上升 下降 到期執(zhí)行價格 上升 下降 距到期日的剩余時間 上升 下降 無風險利率 上升 下降 從以上分析不難看出，期權(quán)最初的標的資產(chǎn)價格和期權(quán)到期的執(zhí)行價格這兩天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 12 個因素對于決定期權(quán)價格是尤為重要的，它們主要決定了某種期權(quán)究竟是何種類型的，實值、兩平或者是虛值。利率的變化對于期權(quán)價值相對復雜些，不過簡單來說就是利率上升，不但會使得期權(quán)持有者成本增加，同時也增長了市場方面對資產(chǎn)的價格上的預測，繼而直接導致看漲期權(quán)價格上調(diào)，看跌期權(quán)的價格跌落。享有該項權(quán)利后，一旦價格上調(diào)，就要履行上漲期權(quán)，購買時是低價購進，賣出時期權(quán)價格上漲，就以高價賣出，從中獲取差額利潤，這樣不僅彌補了期初支付的權(quán)利金，而且還有盈余。買家之所以會買入看漲期權(quán)，主要是因為買家在購買前，分析了有關(guān)期貨市場上價格的變動，通過分析，買家會認為期貨市場上該股上漲空間更大一些，所以，買家選擇了持有看漲期權(quán)，之后買家支付了一定金額的權(quán)利金，一旦市場上的價格如意料中大幅上漲，持有者便低收高賣從中獲利。 期權(quán)的定價模型 歐式期權(quán)定價模型介紹 歐式期權(quán)在文章 節(jié)中已經(jīng)介紹過了， 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使該項權(quán)利，期權(quán)的價格是期權(quán)合約中唯一一個隨市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的 核心問題。世界上第一個完整的、直至現(xiàn)在都在應用中的期權(quán)定價模型就是問世于 1973 年的，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 創(chuàng)立下的 BlackScholes 期權(quán)定價模型，以下簡稱 BS 模型。 BS 期權(quán)定價模型的建立 BS 期權(quán)定價模 型是金融界期權(quán)定價的核心、基礎(chǔ)理論，現(xiàn)建立 BS 模型，需具備的假設(shè)條件如下： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 13 標的證券的價格需要遵循幾何布朗運動 dWdtSdS ?? ?? （ ） 其中， S 表示標的資產(chǎn)市場價格， t 表 示時間， S 是 t 的函數(shù)， ? 表示的是標的資產(chǎn)的瞬時期望收益率， ? 表示的是標的資產(chǎn)的波動率， dW 則表示維納過程 。 不考慮交易費用或稅收等交易成本。 在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。 無風險利率 r 為一個固定常數(shù)且對所有期權(quán)到期日都一樣。 下面介紹一下為了得到期權(quán)微分形式，不可或缺 的且在隨機微分中最為重要的伊藤公式。它的使用范圍偏廣泛，包括歐式看 漲期權(quán)、歐式看 跌期權(quán)、美式看 漲期權(quán)、美式看 跌期權(quán)，只不過，由于它們的終值條件以及邊界條件不盡相同，導 致它們的價值也各不相同。 歐式看跌期權(quán)終、邊值條件為 ? ? ? ?TSKTSV ?? ,0m a x, （ ） ? ???? ???? SSKTSV 0 0, （ ） 風險中性期權(quán)定價模型 如果期權(quán)的標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動 dWrdtSdS ??? （ ） 即標的資產(chǎn)的瞬時期望收益率 ? 取為無風險利率 r 。 基于風險中性的期權(quán)定價原理，任何資產(chǎn)在風險中性概率測度下，對于持有者來說都是風險偏好中性的，可用風險中性概率求取期權(quán)的期望回報再將其進行無風險折現(xiàn)，這樣就得到了初始時刻的期權(quán)價值 。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 17 3 基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價問題實現(xiàn) 期權(quán)定價的蒙特卡洛算法的理論依據(jù)是風險中性定價原理，在風險中性測度下，期權(quán)價格能夠表示為其到期回報的貼現(xiàn)的期望值，即 ? ? ? ?? ?TQ SSSfrTEP ,e x p 21 ????? ，其中 QE 表示風險中性期望， r 為無風險 利率，T 為期權(quán)的到期執(zhí)行時刻， ? ?TSSSf , 21 ??? 是關(guān)于標的資產(chǎn)價格路徑的預期收益。一般的，期權(quán)定價蒙特卡洛算法分為以下幾步： （ 1） 在風險中性的測度前提下，模擬期權(quán)標的資產(chǎn)價格的路徑，將時間區(qū)間? ?T,0 分成 n 個子區(qū)間 Ttttt n????????? 2100 ，標的資產(chǎn)價格過程的離散形式是 ? ? ? ? ? ? iiiii Zttttrijij etStS ????????? ?? ??? 112211 ??， ? ?1,0~ NZi （ ） （ 2） 嘗試計算下，在這條路徑下的期權(quán)的到期回報率，并且 可以試圖根據(jù)無風險利率求得期權(quán)到期回報的貼現(xiàn) ? ? ? ?KSrTC jTj ??? ,0m a xe xp （ ） （ 3） 重復前面兩個步驟，可以得到大量的期權(quán)回報的貼現(xiàn)值的抽樣 樣本。由于（ ）式， m 條路徑的收益均值為 ??? mi jmean CmC 11 ， m 條路徑的方差為 ? ??? ??? mi me a nj CCmC 1 2v a r 11 ，由此可得到 95%的置信區(qū)間為 ?????? ?? mCCmCCm e a nm e a n v a rv a r ,。假設(shè)現(xiàn)在有一種不含紅利的 A 股票，該股票的初始價格為 20 元，其定價過程符合我們所說的幾何布朗運動，且該支股票的年期預計收益率為 12%，其收益率的年波動率為 25%， 無風險利率 8%，該股執(zhí)行期權(quán)為 2 年，執(zhí)行價格為 20 元， 我們可將所給已知條天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 18 件數(shù)據(jù)化，即為 200?S ， ?? ， ?? ， 2?T ， 20?K ，數(shù)學工具 Matlab編寫代碼如下： rx=randn(100,50)。 T=1。 sigma=。 for i=1:50 s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltaT+sigma*deltaT^*(s(:,i).*rx(:,i))。我們通過路 徑模擬次數(shù)的不斷增加，進而來比較一下不同路徑次數(shù)模擬下的歐式期權(quán)價格，如下表 31 所示： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 19 表 31 蒙特卡洛算法路徑模擬次數(shù)與期權(quán)價值關(guān)系 模擬次數(shù) 期權(quán)價值 模擬次數(shù) 期權(quán)價值 1000 17000 2020 18000 3000 19000 4000 20200 5000 21000 6000 22020 7000 23000 8000 24000 9000 25000 10000 26000 11000 27000 12020 28000 13000 29000 14000 30000 15000 16000 通過上表，我們不難看出，運用蒙特卡洛 算法，模擬的次數(shù)越多，得到的結(jié)果就會越精確，期權(quán)價格的波動性也就越小，尤其是在 20200 次的路徑模擬之后，期權(quán)價格的波動，基本上穩(wěn)定停留在 [,]這段區(qū)間上了，證明這個時候的期權(quán)價格已經(jīng)很接近期權(quán)本身的真實值了，所得結(jié)果也相對穩(wěn)定下來?？梢娒商乜逅惴ㄊ且环N用于計算期權(quán)很有效的方法。在本文第二章中，我們推導出了 BS 模型公式，用該公式我們得到的期權(quán)價格為： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 ? ? 2 221 ?????????????? ??? tTtTrKSd ?? 0 4 9 5 3 0 3 ????? tTdd ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 3 5 4 9 0 3 ,0m a x, 21?????????????NeN dNKedSNKSEetSVtTrTQtTr 通過計算可以看出，兩者之間只差了 ，可見蒙特卡洛算法模擬歐式期權(quán)定價問題還是很精確的，只要模擬次數(shù)不斷增加，結(jié)果就會不斷的精確。那要如何減少方差呢，我們會介紹以下幾種方式。接下來我們比較下利用控制變量方法進行方差縮減技術(shù)后的效果如下 ： ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?xXYx XbYV a rYV a rXbYV a r YV a r ??? ??????? *2* 1 1 （ ） 這表示，最優(yōu)系數(shù)為 *b 時，一般方法的模擬次數(shù)是 n ，但是使用改進后的控制變量法縮減方差后的模擬次數(shù)僅需要 ? ?21 XYn ?? 次就可以了，又因為 ? ?YXCov , 和天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 22 ? ?XVar 在一般情況下都是未知數(shù)，所以需要估測隨機變量 YX, 的獨立樣本，即 ? ? ? ??? ??? niin XXXV a r121 （ ） ? ? ? ?? ??? ???? nii n YYXXYXC o v1 1, （ ） 值得說明的是，如果控制變量方差技術(shù)效果明顯的話，我們就需要在解決問題時，找出與所要研究的問題的關(guān)聯(lián)性最大的控制變量，映射到實際期權(quán)問題中，也就是讓我們使用標的資產(chǎn)或者一些類似于歐式期權(quán)的那些有封閉解的簡單期權(quán)作為控制變量。1111 （ ） 其中 Niui ,2,1),1,0[ ????? ，且是在 ? ?10， 區(qū)間上均勻分布產(chǎn)生的隨機數(shù)，由于這兩個估計值本身是相關(guān)聯(lián)的，所以說得到的兩組觀測值理論上也應該是相關(guān)聯(lián)的，且每組觀測值它們的均值相對獨立，也就是我們所說的平均值 iY 是一個對偶變量，它的估計值也已 給出為 AVY ，并且存在 ? ? ? ? ???????????? ????? niiiniiibaAV YYNufufNYYY11 212 112 （ ） 由 ? ? ? ? 22 AViiiAV YYV a rYV a rYV a r ?????????? ???且依據(jù)中心極限定理，我們有： ? ? ? ?1,0~/ NNYEY AVAV? ? （ ） 其中 ? ?211 ???? ni AViAVYYN? 。 下面我們來做關(guān)于期權(quán)的進一步應用分析，首先，對偶變量法要模擬出兩組衍生證券的價值和，其一當然是用蒙特卡洛傳統(tǒng)方法得到，第二種就是改變了抽樣樣本的自身的符號從而得到的結(jié)果，最終模擬值就是取了兩種方式的平均值。前者采用了一種新的概率測度，用新的測出 的期望值取締了原本的概率測度下的原期望值。而后者條件蒙特卡洛模擬方法就是用特殊條件下的隨機變量的期望值取締原一般條件下的隨機變量期望進行的模擬計算，這樣更有利于增加估計值的精確程度。簡單來就，擬蒙特卡洛算法就是采用偏低差序列的方法對衍生證券價格進行模擬，從源頭上保障了誤差最小化。 X=randn(Number_Data,1)。 for i=1:Number_Data plot(X(i),Y(i),39。,39。,5),hold on end 從圖中可以看出，這樣生成的隨機數(shù)并不均勻，但是一旦結(jié)合了偏低差序列，那么生成的隨機數(shù)的分布就會變得非常均勻了，我們通常用的比較多 的偏低差序列有 Halton、 Sobol、 Faure、 Niederreiter 序列四種，在這四種序列中最根本也是運用最多的就是 Halton序列，其基本原理就是 n 維的 Halton序列以 n 個數(shù)為基底，繼而將一系列的數(shù)字表示為某個數(shù)字的基的位數(shù)形式，再然后將這些數(shù)字組成的數(shù)位進行反序排列，再在它們的前面加上小數(shù)點后得到的結(jié)果。它的具體操作步驟如下： 首先選擇 m 個基 mbbb , 21 ??? ，一般的，都是選擇自然界前 m 個素數(shù)。 下面介紹一種名為 Moro 的算法。其分布函數(shù)可以表示為下式： ? ? dtexY x t?????? 2221? （ ） 由（ ）式可知，累積標 準正態(tài) 分布的 Y 軸理論上是服從單位 1 上的均勻分布的，我們可以通過已知的 Y 軸上的得到的值直接從 X 軸上，找到與 Y 軸相對應的X 值，假設(shè)現(xiàn)有一個服從正態(tài)分布的函數(shù) ??xg ，它的概率密度函數(shù)是 ??xf ，概率分布函數(shù)是 ??xF ，則可經(jīng)計