基于black-scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)研究-閱讀頁
2025-07-07 01:33本頁面
【正文】 es在1973年那篇奠定諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的經(jīng)典論文的思路來推導(dǎo)BlackScholes 微分方程。注意到BlackScholes模型的基本假設(shè)，股票價(jià)格遵循隨機(jī)過程：因此，由伊藤定理，期權(quán)價(jià)值是標(biāo)的股票價(jià)格的函數(shù)，應(yīng)有：BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型采用的是典型的動態(tài)無套利均衡分析的技術(shù)。在上述假設(shè)下，采用一種動態(tài)交易策略，復(fù)制歐式買權(quán)到期末的現(xiàn)金流。這樣，現(xiàn)在時(shí)刻歐式期權(quán)的價(jià)值就一定等于復(fù)制組合在時(shí)刻的價(jià)值。（2） 所對應(yīng)的股票頭寸大小成為套頭比或期權(quán)的delta()，定義為（3） 套頭比不停地發(fā)生變化，所以為了復(fù)制1份期權(quán)，需要隨時(shí)調(diào)整復(fù)制組合中股票的頭寸，但這種調(diào)整是無成本的（自融資的）。用份標(biāo)的股票（股票價(jià)格為）的多頭和無風(fēng)險(xiǎn)證券的空頭來復(fù)制一份期權(quán)（價(jià)格為）。無風(fēng)險(xiǎn)證券的空頭價(jià)值記為。這意味著1份期權(quán)的空頭和份股票的多頭能實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的完全對沖，而的大小是動態(tài)地調(diào)整的。（對于期權(quán)和股票的證券組合來說，其瞬時(shí)收益率一定同其他短期無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率相同。）即兩者組合的收益率應(yīng)當(dāng)?shù)扔跓o風(fēng)險(xiǎn)收益率r，因此即有令并在上述關(guān)系式中展開和就得到著名的BlackScholes 隨機(jī)微分方程：對于歐式看漲期權(quán)，其邊界條件為：對于歐式看跌期權(quán)，其邊界條件為： BlackScholes模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法方法利用了風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，解法中具有比較深刻的金融學(xué)含義，被現(xiàn)在的金融學(xué)研究者廣泛采用?，F(xiàn)實(shí)世界中的人往往分為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)中性型、風(fēng)險(xiǎn)喜好型。例如，在一個(gè)擲硬幣的賭博中，假設(shè)硬幣完全對稱，正面朝上可以贏得2000元，反面朝上1分錢也收不回，要下多少錢的賭注人們才會來參加？所謂公平的賭博，就是指賭博結(jié)果的預(yù)期只應(yīng)當(dāng)與入局前所持有的資金量相等，我們學(xué)過的鞅就描述了公平賭博。但是，對于許多人來說，不愿意花1000元參加這場公平的賭局，他們可能只愿意花300元來入局，實(shí)際上，他們是要以700元的預(yù)期收益作為承受風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。定義 風(fēng)險(xiǎn)中性（riskneutrality） 如果有人愿意無條件地參加公平的賭博，則這樣的人被認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)中性的。因此，對所有資產(chǎn)所要求的預(yù)期收益率也就同無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相同。在一個(gè)假想的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有的市場參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風(fēng)險(xiǎn)大小或是否有風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率都相同，都等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)是和無套利均衡分析緊密聯(lián)系在一起的。由此出發(fā)，可以得到這樣一個(gè)推理結(jié)果：無套利均衡分析的過程和結(jié)果與市場參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)可以大大簡化問題的分析，因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，對所有的資產(chǎn)都要求相同的收益率，而且，所有資產(chǎn)的均衡定價(jià)都可以按照風(fēng)險(xiǎn)中性概率算出未來收益的預(yù)期值，再以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)得到。 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法下面應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)來分析BlackScholes 微分方程。不含（是連續(xù)計(jì)算收益率的股票在單位時(shí)間內(nèi)收益的自然對數(shù)的期望值，即預(yù)期單位時(shí)間連續(xù)計(jì)息的復(fù)利收益率），說明問題與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。由定義，買權(quán)在到期日的價(jià)格滿足，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則，只要先求出的期望值，然后再將這一發(fā)生在未來時(shí)刻的期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻t，就可以得到該買權(quán)在定價(jià)日t的價(jià)值所以，確定的關(guān)鍵問題在于如何計(jì)算。則由隨機(jī)變量期望值的定義因此，最終歸結(jié)為計(jì)算概率P和。（1） 求解由，有和，即因此。在這個(gè)假想的世界里，所有市場參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，他們對于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益，都是不需要風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。因此，由模型假設(shè)知，服從正態(tài)分布，其期望值和方差分別為其中，換元，令則可以化作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形式，有因此，若記則上式為這樣，我們求出了第一個(gè)值，即（2） 求解由于，服從對數(shù)正態(tài)分布，因此其密度函數(shù)其中，于是，作變量替換則有計(jì)算積分限，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，至此，和均已求出，則該期權(quán)價(jià)值即為所求，解畢。這一點(diǎn)再次說明了風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的合理性。如果該項(xiàng)資產(chǎn)不能提供足夠高的期望收益率的話，投資者要么望而卻步，要么不將其出售。資產(chǎn)價(jià)格與收益率之間的如此調(diào)整達(dá)到平衡后，所對應(yīng)的收益率即為瞬時(shí)期望收益率。因此，在衍生工具定價(jià)時(shí)，可以使用任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)，其中最簡單的當(dāng)然是假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。4 總結(jié)本文介紹了金融衍生品概況，利用隨機(jī)過程的知識，系統(tǒng)研究了基于BlackScholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)問題。參考文獻(xiàn)Black, Fischer and Scholes, Myron. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 197305~06(81).637~654Black, Fischer. How to use holes in the BlackScholes. Journal of Applied Corporate Finance, 1989。帕特諾伊（美）.：當(dāng)代中國出版社，2004
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