【正文】 、邊值條件為 （） （） 風(fēng)險中性期權(quán)定價模型如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動 （）即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時期望收益率取為無風(fēng)險利率?；陲L(fēng)險中性的期權(quán)定價原理，任何資產(chǎn)在風(fēng)險中性概率測度下，對于持有者來說都是風(fēng)險偏好中性的，可用風(fēng)險中性概率求取期權(quán)的期望回報再將其進行無風(fēng)險折現(xiàn)，這樣就得到了初始時刻的期權(quán)價值。293 基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價問題實現(xiàn)期權(quán)定價的蒙特卡洛算法的理論依據(jù)是風(fēng)險中性定價原理，在風(fēng)險中性測度下，期權(quán)價格能夠表示為其到期回報的貼現(xiàn)的期望值，即，其中表示風(fēng)險中性期望，為無風(fēng)險利率，為期權(quán)的到期執(zhí)行時刻，是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格路徑的預(yù)期收益。一般的，期權(quán)定價蒙特卡洛算法分為以下幾步：（1） 在風(fēng)險中性的測度前提下，模擬期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格的路徑，將時間區(qū)間分成個子區(qū)間，標(biāo)的資產(chǎn)價格過程的離散形式是 ， （）（2） 嘗試計算下，在這條路徑下的期權(quán)的到期回報率，并且可以試圖根據(jù)無風(fēng)險利率求得期權(quán)到期回報的貼現(xiàn) （）（3） 重復(fù)前面兩個步驟，可以得到大量的期權(quán)回報的貼現(xiàn)值的抽樣 樣本。由于（）式，條路徑的收益均值為，條路徑的方差為，由此可得到95%的置信區(qū)間為。假設(shè)現(xiàn)在有一種不含紅利的股票，該股票的初始價格為20元，其定價過程符合我們所說的幾何布朗運動，且該支股票的年期預(yù)計收益率為12%，其收益率的年波動率為25%，無風(fēng)險利率8%，該股執(zhí)行期權(quán)為2年，執(zhí)行價格為20元，我們可將所給已知條件數(shù)據(jù)化，即為，數(shù)學(xué)工具Matlab編寫代碼如下： rx=randn(100,50)。 T=1。 sigma=。 for i=1:50s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltaT+sigma*deltaT^*(s(:,i).*rx(:,i))。我們通過路徑模擬次數(shù)的不斷增加，進而來比較一下不同路徑次數(shù)模擬下的歐式期權(quán)價格，如下表31所示：表31 蒙特卡洛算法路徑模擬次數(shù)與期權(quán)價值關(guān)系模擬次數(shù)期權(quán)價值模擬次數(shù)期權(quán)價值100017000200018000300019000400020000500021000600022000700023000800024000900025000100002600011000270001200028000130002900014000300001500016000通過上表，我們不難看出，運用蒙特卡洛算法，模擬的次數(shù)越多，得到的結(jié)果就會越精確，期權(quán)價格的波動性也就越小，尤其是在20000次的路徑模擬之后，期權(quán)價格的波動，基本上穩(wěn)定停留在[,]這段區(qū)間上了，證明這個時候的期權(quán)價格已經(jīng)很接近期權(quán)本身的真實值了，所得結(jié)果也相對穩(wěn)定下來。但是，大量次數(shù)的模擬仍然會給計算機帶來強大的負(fù)荷，這易使計算機發(fā)生死機狀態(tài)，那么，為了避免這種情況的發(fā)生又不影響期權(quán)價格的計算的精度，就引入了一個新的概念，叫做邊際模擬價值，其計算方法如下式所示： ，當(dāng)邊際模擬價值取到很小可以忽略不計時，我們就可以認(rèn)為所求值與近似值幾乎一致。4 蒙特卡洛算法的改進 縮減方差技術(shù)，雖然蒙特卡洛算法在計算期權(quán)價格時已經(jīng)很精確了，但是它依然有很多不足的地方，因為該算法對于相對較復(fù)雜的證券而言，只能通過大量的模擬，否則就會產(chǎn)生較大誤差，這樣在處理問題上會有很大的限制，而且在前幾節(jié)中，我們也說過蒙特卡洛算法的收斂速度是，速度相對較慢，所以為了提高精度，就得成倍加大試驗次數(shù)，這樣會顯得很繁瑣，正因如此，控制方差就成了蒙特卡洛算法中最為重要的步驟。 控制變量法我們現(xiàn)在假設(shè)一隨機變量的數(shù)學(xué)期望的蒙特卡洛算法模擬出的估計量為，令的另一隨機變量的控制估計法變量為，令，為任意一常數(shù)，為任一隨機變量，且，為任意常數(shù)，同上，的蒙特卡洛算法估計量表示為，又，可知的無偏估計量為，我們有 （）當(dāng)時，新產(chǎn)生的控制估計變量的方差是小于原始隨機變量的方差的，當(dāng)時，產(chǎn)生的控制估計變量的方差最小，最小方差為。 對偶變量法提到縮減方差技術(shù)，對偶變量法也是其中之一，它利用的是變量間的負(fù)相關(guān)性，例如說對于積分，利用原始蒙特卡洛算法就可以得到如下關(guān)于的兩個估計值： （） （）其中，且是在區(qū)間上均勻分布產(chǎn)生的隨機數(shù)，由于這兩個估計值本身是相關(guān)聯(lián)的，所以說得到的兩組觀測值理論上也應(yīng)該是相關(guān)聯(lián)的，且每組觀測值它們的均值相對獨立，也就是我們所說的平均值是一個對偶變量，它的估計值也已給出為，并且存在 （）由且依據(jù)中心極限定理，我們有： （）其中。下面我們來做關(guān)于期權(quán)的進一步應(yīng)用分析，首先，對偶變量法要模擬出兩組衍生證券的價值和，其一當(dāng)然是用蒙特卡洛傳統(tǒng)方法得到，第二種就是改變了抽樣樣本的自身的符號從而得到的結(jié)果，最終模擬值就是取了兩種方式的平均值。前者采用了一種新的概率測度，用新的測出的期望值取締了原本的概率測度下的原期望值。而后者條件蒙特卡洛模擬方法就是用特殊條件下的隨機變量的期望值取締原一般條件下的隨機變量期望進行的模擬計算，這樣更有利于增加估計值的精確程度。簡單來就，擬蒙特卡洛算法就是采用偏低差序列的方法對衍生證券價格進行模擬，從源頭上保障了誤差最小化。X=randn(Number_Data,1)。for i=1:Number_Data plot(X(i),Y(i),39。,39。,5),hold onend從圖中可以看出，這樣生成的隨機數(shù)并不均勻，但是一旦結(jié)合了偏低差序列，那么生成的隨機數(shù)的分布就會變得非常均勻了，我們通常用的比較多的偏低差序列有Halton、Sobol、Faure、Niederreiter序列四種，在這四種序列中最根本也是運用最多的就是Halton序列，其基本原理就是維的Halton序列以個數(shù)為基底，繼而將一系列的數(shù)字表示為某個數(shù)字的基的位數(shù)形式，再然后將這些數(shù)字組成的數(shù)位進行反序排列，再在它們的前面加上小數(shù)點后得到的結(jié)果。它的具體操作步驟如下： 首先選擇個基，一般的，都是選擇自然界前個素數(shù)。下面介紹一種名為Moro的算法。其分布函數(shù)可以表示為下式： （）由（）式可知，累積標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)分布的軸理論上是服從單位1上的均勻分布的，我們可以通過已知的軸上的得到的值直接從軸上，找到與軸相對應(yīng)的值，假設(shè)現(xiàn)有一個服從正態(tài)分布的函數(shù)，它的概率密度函數(shù)是，概率分布函數(shù)是，則可經(jīng)計算得到的數(shù)學(xué)期望公式為： （）假設(shè)，則有 （） 將上述算法帶入歐式看漲期權(quán)定價公式中，則歐式期權(quán)在初始時刻的價格為： （）解得近似解為： （）其中為模擬路徑次數(shù)，為Halton低偏差序列。所以，在區(qū)間的均勻分布上面得到的正態(tài)分布，求它的逆變換，通常采用的是由Moro于1995年發(fā)表提出的Moro算法。Springer算法，第二部分為，用的是Chebyschev方法求解。表41 服從正態(tài)分布函數(shù)逆變換Moro算法值自變量理論值Moro逆變換由上表知，可見，Moro逆變化算法的值還是很準(zhǔn)確的。 （）最后只要讓，一直循環(huán)求出均值就可以了。為了更清楚的看到經(jīng)典的蒙特卡洛算法和將Moro算法融入了之后的蒙特卡洛算法以及運運用了Halton低偏差序列的蒙特卡洛模擬法對歐式期權(quán)進行定價，對比結(jié)果如下表所示[5]：表42 三種期權(quán)定價方法實驗結(jié)果經(jīng)典蒙特卡洛模擬方法融合Moro算法的蒙特卡洛算法融合Haiton低偏差序列的蒙特卡洛算法實驗值誤差值實驗值誤差值實驗值誤差值從上表可以輕易看出，融合了Halton低偏差序列以及Moro算法的改進后的蒙特卡洛算法實驗得到的效果更加逼近歐式看漲期權(quán)自身的內(nèi)在的價值，而且模擬的結(jié)果很穩(wěn)定，波動性很小，較于經(jīng)典蒙特卡洛算法更有說服力。對于歐式期權(quán)日益完善的定價理論，本文運用的是世界上最為著名最為經(jīng)典的BlackScholes期權(quán)定價模型與蒙特卡洛算法相結(jié)合，得出了期權(quán)定價模擬辦法，繼而在數(shù)學(xué)工具軟件Matlab上產(chǎn)開了程序的實現(xiàn)，當(dāng)然這些程序仍然存在漏洞，還需要進一步完善，接下來將融合了蒙特卡洛思想的歐式期權(quán)定價模型與經(jīng)典BS模型進行數(shù)據(jù)對比，我們發(fā)現(xiàn)了蒙特卡洛算法的可行性以及它的內(nèi)在科學(xué)性。 盡管找到了更好的方法，但是對于蒙特卡洛算法，對于歐式期權(quán)的研究不會止步不前，本文只是探討了無風(fēng)險利率模型，但是事實上金融界是離不開風(fēng)險的，所以我們未來還應(yīng)在期權(quán)利率方面有更深一步的探討。 首先，最要感謝的是我的導(dǎo)師張立東老師，張老師學(xué)識淵博，平易近人，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，工作認(rèn)真，從一開始就幫我明確了論文思路，研究方法，使我自身省了不少力氣，而且不管是什么問題，都能在第一時間幫我解決，不但傳授給我知識，還讓我學(xué)會了許多人生哲理，使我受益匪淺，這將是我一生的財富。 我還要感謝天津科技大學(xué)，是學(xué)校給我提供了良好的學(xué)習(xí)氛圍，尤其是圖書館總是能讓我找到開啟知識大門的鑰匙。 最后要感謝的就是我的家人，我的父母，是他們的理解和關(guān)心給了我莫大的支持與動力，使我能安心于學(xué)業(yè)，因此這篇文章的完成也蘊含了父母無盡的心血。