【正文】 隨機(jī)數(shù)均勻化，隨機(jī)數(shù)的均勻的程度越高，產(chǎn)生的偏差也就會(huì)越小，對(duì)于經(jīng)典蒙特卡洛算法改進(jìn)的效果就越是明顯。簡(jiǎn)單來(lái)就，擬蒙特卡洛算法就是采用偏低差序列的方法對(duì)衍生證券價(jià)格進(jìn)行模擬，從源頭上保障了誤差最小化。為了看得更直觀些，我們嘗試用Matlab生成隨機(jī)點(diǎn)在平面上的分布情況，見(jiàn)下圖（利用數(shù)學(xué)軟件Matlab生成的1000個(gè)點(diǎn)的隨機(jī)分布圖）圖41 生成1000個(gè)隨機(jī)數(shù)的分布圖圖41生成代碼如下：Number_Data=100。X=randn(Number_Data,1)。Y=randn(Number_Data,1)。for i=1:Number_Data plot(X(i),Y(i),39。r.39。,39。MarkerSize39。,5),hold onend從圖中可以看出，這樣生成的隨機(jī)數(shù)并不均勻，但是一旦結(jié)合了偏低差序列，那么生成的隨機(jī)數(shù)的分布就會(huì)變得非常均勻了，我們通常用的比較多的偏低差序列有Halton、Sobol、Faure、Niederreiter序列四種，在這四種序列中最根本也是運(yùn)用最多的就是Halton序列，其基本原理就是維的Halton序列以個(gè)數(shù)為基底，繼而將一系列的數(shù)字表示為某個(gè)數(shù)字的基的位數(shù)形式，再然后將這些數(shù)字組成的數(shù)位進(jìn)行反序排列，再在它們的前面加上小數(shù)點(diǎn)后得到的結(jié)果。例如，將維的Halton序列可以表示成，不難看出，其中的每一個(gè) 隨機(jī)數(shù)都會(huì)是一個(gè)維向量，即表示為。它的具體操作步驟如下： 首先選擇個(gè)基，一般的，都是選擇自然界前個(gè)素?cái)?shù)。 任取一個(gè)整數(shù)，使它成為基是的數(shù)位，表示為，這樣于隨機(jī)數(shù)序列中的某個(gè)元素的第個(gè)向量就為，為了更直觀些，下面我們來(lái)舉個(gè)例子：我們?nèi)?，表示?維的隨機(jī)數(shù)序列，取自然界的前三個(gè)素?cái)?shù)為5，取數(shù)字，基于5為底，則可以表示為，，將其反序分別為，10002223，再在數(shù)字前面加上小數(shù)點(diǎn)，便得到了Halton序列，經(jīng)計(jì)算得，再取數(shù)字，仿照上述過(guò)程，依次循環(huán)就可得到整個(gè)序列了。下面介紹一種名為Moro的算法。我們都知道累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密 度函數(shù)的積分。其分布函數(shù)可以表示為下式： （）由（）式可知，累積標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)分布的軸理論上是服從單位1上的均勻分布的，我們可以通過(guò)已知的軸上的得到的值直接從軸上，找到與軸相對(duì)應(yīng)的值，假設(shè)現(xiàn)有一個(gè)服從正態(tài)分布的函數(shù)，它的概率密度函數(shù)是，概率分布函數(shù)是，則可經(jīng)計(jì)算得到的數(shù)學(xué)期望公式為： （）假設(shè)，則有 （） 將上述算法帶入歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式中，則歐式期權(quán)在初始時(shí)刻的價(jià)格為： （）解得近似解為： （）其中為模擬路徑次數(shù)，為Halton低偏差序列。事實(shí)上，針對(duì)于正態(tài)分布，最適合的逆變換應(yīng)該是BoxMuller算法，但是如果將其應(yīng)用在本文討論的低偏差序列中的話就顯得不那么科學(xué)了，它會(huì)打亂序列的均勻性，從而使得低偏差序列效果不明顯。所以，在區(qū)間的均勻分布上面得到的正態(tài)分布，求它的逆變換，通常采用的是由Moro于1995年發(fā)表提出的Moro算法。在Moro算法中，作者將定義域簡(jiǎn)單分成了兩個(gè)部分，第一部分是中心域，用的Beasleyamp。Springer算法，第二部分為，用的是Chebyschev方法求解。Moro算法是非常簡(jiǎn)單及方便的，下表中就對(duì)Moro逆變換和常見(jiàn)的Excel逆變換進(jìn)行了對(duì)比[9]。表41 服從正態(tài)分布函數(shù)逆變換Moro算法值自變量理論值Moro逆變換由上表知，可見(jiàn)，Moro逆變化算法的值還是很準(zhǔn)確的。下面，我們主要來(lái)看一下擬蒙特卡洛算法操作的具體操作步驟：首先，我們假設(shè)有一組低偏差序列數(shù)，就是該序列中的第個(gè)數(shù)，然后我們運(yùn)用剛剛介紹過(guò)的Halton低偏差序列生成法，對(duì)生成它的低偏差序列實(shí)值，接下來(lái)再運(yùn)用Moro算法求解，這樣就可以用（）式求解模擬的期權(quán)值了。 （）最后只要讓?zhuān)恢毖h(huán)求出均值就可以了。我們依舊使用第三章中給出的期權(quán)的實(shí)例，來(lái)更直觀的說(shuō)明改進(jìn)后的蒙特卡洛算法的優(yōu)勢(shì)所在。為了更清楚的看到經(jīng)典的蒙特卡洛算法和將Moro算法融入了之后的蒙特卡洛算法以及運(yùn)運(yùn)用了Halton低偏差序列的蒙特卡洛模擬法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，對(duì)比結(jié)果如下表所示[5]：表42 三種期權(quán)定價(jià)方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果經(jīng)典蒙特卡洛模擬方法融合Moro算法的蒙特卡洛算法融合Haiton低偏差序列的蒙特卡洛算法實(shí)驗(yàn)值誤差值實(shí)驗(yàn)值誤差值實(shí)驗(yàn)值誤差值從上表可以輕易看出，融合了Halton低偏差序列以及Moro算法的改進(jìn)后的蒙特卡洛算法實(shí)驗(yàn)得到的效果更加逼近歐式看漲期權(quán)自身的內(nèi)在的價(jià)值，而且模擬的結(jié)果很穩(wěn)定，波動(dòng)性很小，較于經(jīng)典蒙特卡洛算法更有說(shuō)服力。結(jié) 論 本文研究的是基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，就歐式期權(quán)本身而言，本文主要分析的是歐式看漲期權(quán)，歐式期權(quán)在期權(quán)界也是一種最為基本的期權(quán)，它是到期日可以執(zhí)行的期權(quán)，不同于美式期權(quán)，在持有期至到期日的任何時(shí)間點(diǎn)都可以進(jìn)行交易，也不同于亞式期權(quán)要取其均值，歐式期權(quán)可以說(shuō)是交易量最多，買(mǎi)賣(mài)最為廣泛的一類(lèi)期權(quán)。對(duì)于歐式期權(quán)日益完善的定價(jià)理論，本文運(yùn)用的是世界上最為著名最為經(jīng)典的BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型與蒙特卡洛算法相結(jié)合，得出了期權(quán)定價(jià)模擬辦法，繼而在數(shù)學(xué)工具軟件Matlab上產(chǎn)開(kāi)了程序的實(shí)現(xiàn)，當(dāng)然這些程序仍然存在漏洞，還需要進(jìn)一步完善，接下來(lái)將融合了蒙特卡洛思想的歐式期權(quán)定價(jià)模型與經(jīng)典BS模型進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)了蒙特卡洛算法的可行性以及它的內(nèi)在科學(xué)性。盡管如此，蒙特卡洛算法在模擬時(shí)也是有問(wèn)題的，模擬次數(shù)太多，易致計(jì)算機(jī)死機(jī)，次數(shù)太少結(jié)果就會(huì)不精確，所以我們采用了一系列控制誤差的方法，我們將原始蒙特卡洛算法進(jìn)行改進(jìn)，新創(chuàng)了擬蒙特卡洛模擬法，通過(guò)一系列的實(shí)驗(yàn)得出的模擬數(shù)據(jù)，我們最終得出結(jié)論，融合了Halton低偏差序列以及Moro算法的擬蒙特卡洛模擬法是最為接近期權(quán)定價(jià)的改進(jìn)方法。 盡管找到了更好的方法，但是對(duì)于蒙特卡洛算法，對(duì)于歐式期權(quán)的研究不會(huì)止步不前，本文只是探討了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率模型，但是事實(shí)上金融界是離不開(kāi)風(fēng)險(xiǎn)的，所以我們未來(lái)還應(yīng)在期權(quán)利率方面有更深一步的探討。參考文獻(xiàn)[1] 程松林，劉三明．基于BlackScholes模型的蒙特卡洛模擬期權(quán)定價(jià)分析[J]．上海電機(jī)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，15（3）：198210．[2] 熊炳忠，馬柏林．基于貝葉斯MCMC算法的美式期權(quán)定價(jià)[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2013，30（2）：5662．[3] 周世軍，岳朝龍．蒙特卡洛模擬在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[J]．安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科 學(xué)版），2009，26（1）：2425．[4] 牟曠凝．蒙特卡洛方法和擬蒙特卡洛方法在期權(quán)定價(jià)中應(yīng)用的比較研究[J]．科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10（8）：19251933．[5] 徐博馳．隨機(jī)沖擊環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題[D]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010．[6] 黨開(kāi)宇，吳沖鋒．不同行權(quán)條件下的股票期權(quán)定價(jià)研究[J]．管理工程學(xué)報(bào)，2001，15（4）：7779．[7] 張?zhí)煊溃睚垵桑跈?quán)價(jià)格的擬Monte Carlo仿真工程大學(xué)計(jì)算[J]．重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27（4）：111114．[8] 肖斌．基于隨機(jī)利率模型的歐式期權(quán)定價(jià)研究[D]．哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2012．[9] 徐保震．蒙特卡羅模擬法在金融期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[D]．湖北：武漢理工大學(xué)，2010．[10] 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我還要感謝天津科技大學(xué)，是學(xué)校給我提供了良好的學(xué)習(xí)氛圍，尤其是圖書(shū)館總是能讓我找到開(kāi)啟知識(shí)大門(mén)的鑰匙。理學(xué)院的各位領(lǐng)導(dǎo)、老師也總會(huì)在我迷茫時(shí)，為我指引方向，我的順利畢業(yè)是離不開(kāi)各位的悉心幫助的，在此向他們表示由衷的感謝。 最后要感謝的就是我的家人，我的父母，是他們的理解和關(guān)心給了我莫大的支持與動(dòng)力，使我能安心于學(xué)業(yè)，因此這篇文章的完成也蘊(yùn)含了父母無(wú)盡的心血。其實(shí)我很明白，一個(gè)人的進(jìn)步與自身的努力是分不開(kāi)的，但是外界的原因也占很大比例，我的能力得到提高與老師、家人、同學(xué)的鼓勵(lì)、幫助、關(guān)心是分不開(kāi)的，在這里再道一聲謝謝！我一定會(huì)繼續(xù)努力的。