【正文】 過程： 2 221()2t V G G GdV a b dt bdzt t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? () 由于 dz 是維納過程，所以 G 也遵循 Ito 過程。1964 年 Paul Samuelson 對 的模型進行了修正。若 tS 表示股票價格，那么 ttdSS 表示股票的回報， 提出的隨機微分方程是 ttdS dt dzS ???? () 這個模型克服了原先模型中可能使股票價格 tS 出現(xiàn)負(fù)值的不合理情況。這兩個量依賴于投資人的個人愛好，所以美足不足的是它在實際交易中不能運用。 BlackScholes 方程 14 基本假設(shè) : (1).原生資產(chǎn)價格演化遵循幾何 Brown運動 ttdS dt dzS ???? () (2).無風(fēng)險利率 r 是常數(shù)且對所有到期日都相同。 (4).不支付交易費和稅收。 (6).允許使用全部所得賣空衍生證券。 (8).在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。 證明：設(shè) ( , )C C S t? 是歐式看漲期權(quán)價格，它在期權(quán)的到期日 tT? 時， ( , ) ( )C S t S X ???， 這里 X 是期權(quán)的敲定價，現(xiàn)在要求期權(quán)在有效時間內(nèi)的價值。 形成投資組合 CS?? ?? ， (? 是原生資產(chǎn)的份額 )，選取適當(dāng)?shù)?? 使得在 (, )t t dt? 時段內(nèi)， ? 是無風(fēng)險的。那么由于 ? 是無風(fēng)險的，因此在時刻 t dt? ，投資組合的回報是 t dt tt rdt?? ?? ?? 即 ()t t t t tdC dS r dt r C S dt? ? ? ? ? ? ? () 由于 ( , )ttC C S t? ， 其中 tS 是由隨機微分方程 ()確定的方程，因此有 Ito 公式 15 22221()2t C C C CdC S S dt S dzt S S S? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 把它代入式 ()得 22221( ) ( )2C C C CS S S dt S S dzt S S S? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?. ()r C S dt? ?? () 由于等式右端是無風(fēng)險的，由此等式左端隨機項 dz 的系數(shù)必為 0，即選取 CS???? () 把它帶入式 ()，并消去 dt 得到 22221 02C C Cr S S r Ct S S?? ? ?? ? ? ?? ? ? 這就是刻畫歐式看漲期權(quán)價格變化的偏微分方程 ——BlackScholes 方程。 證明： 為了確定在合約有效期內(nèi) [0,T]內(nèi)期權(quán)的價值，就是要在區(qū)域 ? ?: 0 , 0S t T? ? ? ? ?? 上求解定解問題： 22221 02C C Cr S S r Ct S S?? ? ?? ? ? ?? ? ? () | ( )tTC S X ?? ?? () 作自變數(shù)代換 lnxS? Tt?? ? () 定解問題 ()()轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程 Cauchy問題 (初值問題 )： 22 221( ) 0C C Cr r Cxx? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? () 0| ( )xC e X ??? ?? () 求解：做函數(shù)變換： 221 ()2r ?? ?? ? ? () 16 因為 ? ?? ?22xxxxxx x x x xC e u uC e u uC e u u x????????????????????????? ? ??? 代入 () 2 2 2 222[ ] [ ( ) ] 02 2 2 2x x xu u r u r r u? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 取 212 r? ???， 2 221 ()22rr ?? ?? ? ? ?. 則 ()變?yōu)? 222 02uux??????? ? () 相應(yīng)的初始值為： 00| | ( )x x xu e C e e X??? ? ?? ? ? ?? ? ? () 令 ( , ) ( , ) ( )u x X x d? ? ? ?????? ? ? ?? 其中 ()??為初值， 22()21( , )2xX x e ??????? ?? ? ??為方程 ()的基本解。 二項式模型和 BlackScholes 的模型的關(guān)系 介紹這兩個模型之間的關(guān)系，也就是介紹他們之間參數(shù)的關(guān)系。由于處于風(fēng)險中性的世界中，所以股票的期望收益是無風(fēng)險利率 r 。這章介紹的的數(shù)值方法分別是二叉樹圖方法和有限差分法。 使用二叉樹圖模型時的股票價格完整數(shù)圖如圖 3 所示。 而前面各個時刻的期權(quán)價格均可以通過 u ， d 和 q 的值推導(dǎo)出來，這樣我們就能求出零時刻的期權(quán)值。 圖 4 三期的股票和三期的期權(quán)價格二叉樹圖 解：由題意得 0 100S ? ? 105X? ? ? (1 ) 0 .7 5rdq ud????? 因為該期權(quán)是看漲期權(quán)，所以當(dāng) T=3 時期權(quán)價格 33m ax( , 0)jjC S X??， 由此可求得 T ， 31 ? ， 32 0C? ， 33 0C? 。 同理得 21 ? ， 22 0C? ， 10 ? ， 11 ? ， 00 ? 。 現(xiàn)在用 C 語言表示這個過程 (程序見附錄 ) 21 運行程序出現(xiàn)： 圖 5 C 語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)： 圖 6 輸入上述要求的值 得出結(jié)果： 圖 7 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格 這個程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時間 T ，股票零時刻價格 00S ，利率r ，股票價格上升比例 u ，股票價格下降比例 d ，最后期權(quán)執(zhí)行價格 X ，自己可以針對任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當(dāng)期的期權(quán)價格 00C 。 例 ： 考慮一個不付紅利股票的 5 個月期歐式看跌期權(quán)，股票價格為 50 元，執(zhí)行價格為 50，無風(fēng)險利率為每年 10%,波動率為每年 40%，為構(gòu)造一個二叉樹，我們把期權(quán) 22 的有效期分為十個時間段，每個時間段長度為半個月， (= 年 )，則 ?? ，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 解：由于期數(shù)較大，手工計算會比較麻煩，編寫 C 語言程序去實現(xiàn)這個結(jié)果 (程序見附錄 )[9][10]： 運行程序出現(xiàn)： 圖 8 C 語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)： 圖 9 輸入上述要求的值 得出結(jié)果： 圖 10 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格 23 由圖可讀出期權(quán)的價格為 00 ? 。 表 1 t 取不同值時，期權(quán) 的現(xiàn)值 t 00C 3 5 10 從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) t 取得越大， 離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價值越小。為了說明這種方法，我們考慮用它來估算一個不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)?？紤] 1?N 個時間點 Ttt ,2,0 ??? 步驟 3：假定 maxS 為股票的最高價格。網(wǎng)格上的點 ),( ji對應(yīng)于時間為 ti? ，股票價格為 Sj? 。 步驟 4：運用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對上述偏微分方程進行計算，對于網(wǎng)格 24 內(nèi)部的點 ),( ji ， /PS??可被近似為 , 1 ,i j i jPPPSS? ?? ??? () 或 , , 1i j i jPPPSS??? ??? () 被稱為向前差分近似 (forward difference approximation)；或稱為向后差分近似 (backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個對稱的差分方程 , 1 , 12i j i jPPPSS???? ??? () 對于 /Pt??，采用向前差分近似使得 ti? 時刻的價格與 ti ??)1( 的價格發(fā)生關(guān)聯(lián) 1, ,i j i jPPPtt? ?? ??? () 在點 )1,( ?ji 的 /PS??向后差分近似 , 1 ,i j i jPPS? ?? 在點 ),( ji ，對 22/PS??的有限差分近似為 2 , 1 , , , 1 , 1 , 1 ,21( ) / ( )i j i j i j i j i j i j i jP P P P P P PPP SS S S S S S? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? () 步驟 5：將上面多式結(jié)合，且 SjS ?? ，得 1 , , , 1 , 1 , 1 , 1 ,2 2 2 ,2 2122i j i j i j i j i j i j i j ijP P P P P P Prj S j S rPt S S?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? () 其中 1, 2, 1j M? ?… ， ， 10,1 Ni ?? … ， 經(jīng)過合并得： , 1 , , 1 1 ,i j i j jj jj iijP P P Pa b c? ? ?? ? ? () 222222112211122jjja rj t j tb j t r tc rj t j t???? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? () T 時刻看跌期權(quán)的價值為 ? ?max ,0TXS? ，其中 TS 為 T 時刻的股票價格，因此： 25 ? ?, m a x , 0NjP X j S? ? ? () 0,1, 2, Mj ? … ， 當(dāng)股票價格為零時，看跌期權(quán)的價值為 X ，因此： ,0iPX? () 0,1i N? … ， 當(dāng)股票價格趨于無窮大時，看跌期權(quán)的價值是趨于零。利用 ()和邊界條件，可以寫出 ( 1)Nt??時刻的 1M? 個聯(lián)立方程： 1 , 1 1 , 1 , 1 ,N j N j N j jj Njja b cP P P P? ? ? ? ?? ? ? () 1, 2, 1j M? ?… ， 且 1,0NPX? ? 1, 0NMP? ? 因此解出每個 1,NjP? 的值，依次類推，最后可計算出 0,jP ，當(dāng) jS? 等于初始資產(chǎn)價格時，該格點對應(yīng)的 P 就是所要求的期權(quán)價值。 內(nèi)含和外推有限差分方法在期權(quán)定價中的優(yōu)勢主要在于：當(dāng)格點有規(guī)律很均勻時，把一個偏微分方程化成差分方程式相對比較簡單的。外推方法計算比較直接方便，無需像內(nèi)含方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應(yīng)用。而下文所提供的 CrankNicolson 差分格式則是求 這兩種方法的平均值。 CrankNicolson方法的優(yōu)點是它比內(nèi)含的和外推的有限差分方法收斂更快。 解：令 M 、 N 和 S? 的值分別取 20， 10 和 5，根據(jù)已知的 50S? , 50X? , ?? . ? 根據(jù)以上數(shù)值編寫出 matlab 程序語言 (程序見附錄 )[12][13] 按要求輸入數(shù)值： 圖 11 輸入程序已知的值