【正文】 nse which is the most representative of these options. This paper is concerned on European option based on Monte Carlo algorithm, and prepares the relevant procedures by using Matlab software. The anizations of our study are as follows. The first chapter focuses on the article39。金融衍生產(chǎn)品，顧名思義，它是金融產(chǎn)業(yè)的派生物，是一種金融工具。它在國際上的分類也是有很多種的，目前主要是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài) 、原生資產(chǎn)和交易方法分類的，本文主要研究的是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài)的分類，大致可分為遠期、期貨、期權(quán)以及互換四類，而在這四類中，大多數(shù)人更關(guān)注期權(quán)。 然而在 BlackScholes 模型中，無風險利率、紅利率、股票波動率均為常數(shù)，這顯然不符合現(xiàn)實，現(xiàn)實中的期權(quán)不僅形式多變，而且利率也是隨機的，其標的資產(chǎn)的市場價格更是受各方面因素的影響，所以說 BlackScholes 模型是具有局限性的，并且毫無疑問大量事實表明通過 BlackScholes 模型得到的期權(quán)價格與市場實際價格是有一定差異的，在對 BlackScholes 模型改進的過程中，有幾種最為主要的期權(quán)研究方法相應而出，分別為：蒙特卡洛法、倒向隨機微分方程法、鞅方法、二叉樹法以及有限差分法。值得一提的是，相較于其他數(shù)值方法，蒙特卡洛方法的收斂速度與維度無關(guān)且計算速度快，同時又降低了成本?，F(xiàn)如今，在金融史上最具歷史性意義的金融期權(quán)的定價模型最初是由布萊克 (Fisher Black)及斯科爾斯 (Myron Scholes) 在 1973年發(fā)表于美國的著名政治經(jīng)濟學雜志上的一篇文章中提到的，文章名稱為期權(quán)定價與公司債務。這樣就使得 BlackScholes模型能夠適用于更加廣泛的金融行業(yè)衍生產(chǎn)品，并且可以適用于更加寬松同時更加普遍的經(jīng)濟金融環(huán)境中。然而，在我國境內(nèi)，目前關(guān)于金融期權(quán)定價理論方面的研究仍處于剛剛起步的階段。程松林，劉三明 [1]專家結(jié)合 BlackScholes模型，用蒙特卡洛方法模擬了期權(quán) 定價的相關(guān)問題，進而更加深入的討論了關(guān)于金融期權(quán)定價的理論研究模型。牟曠凝 [4]則是探討了擬蒙特卡洛方法相較原始蒙特卡洛方法應用于金融期權(quán)定價問題的優(yōu)勢。近 十幾年來隨著倒向隨機方程研究的快速發(fā)展，也使得倒向隨機微分方程在金融領域的應用受到越來越廣泛的關(guān)注。 解決歐式期權(quán)定價問題主要應用是數(shù)值方法，解決歐式期權(quán)定價問題的數(shù)值法主要有三種 ,分別是由 Cox、 Ross和 Robinstein于 1979年提出的二叉樹圖法，有限差 分方法以及蒙特卡洛模擬算法。但是事實上，在美國，國家國防部早在 1949年之前就已經(jīng)在非常多的機密的工程中多次使用過這種 方法了。同濟大學的姜禮尚教授等人對美式期權(quán)的二叉樹法的收斂性問題也做出了研究，同時，他對于多個資產(chǎn)的美式期權(quán)定價問題也都有相應的研究。 本文研究內(nèi)容及研究結(jié)構(gòu) 本文基于蒙特卡洛算法，將歐式期權(quán)定價隨機化，文章共分為五個章節(jié)。主要介紹了期權(quán)的發(fā)展趨勢，說明采用蒙特卡洛方法的優(yōu)勢及意義，同時講解了文章的研究背景及研究意義，論述國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，最后明確天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 3 了本文的研究內(nèi)容以及相應結(jié)構(gòu)安排。例如，蒙特卡洛算法、期權(quán)、歐式期權(quán)、 期權(quán)定價 的相關(guān)概念，同時，介紹了一系列的生成隨機數(shù)組的方法以及針對于歐式期權(quán)適用的 BlackScholes 模型，為后面的章節(jié)提供充分的理論基礎。 利用蒙特卡洛算法生成歐式期權(quán)定價公式，進而得到基于蒙特卡洛算法下的歐式 期權(quán)價格。由此根據(jù)期權(quán)在資產(chǎn)不同價格下的價值得到期權(quán)在到期日的價值分布，再取期權(quán)在到期日價值的均值作為期權(quán)的價格。 第五章為本文結(jié)論章節(jié)。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 4 2 基礎知識 蒙特卡洛算法 蒙特卡洛算法簡介 蒙特卡洛算法是金融學中極為重要的一類數(shù)值方法。 中心極限定理是研究隨機變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并應用正態(tài)分布的良好性 質(zhì)解決實際問題。 大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。設 1? ， 2? ， ?? ， n? 為獨立分布的隨機變量序列，若 ? ? ?????KE ， nK ,2,1 ????則有 11lim1 ??????? ????? ??nK Kn nP，顯然，若 1? ， 2? ， ?? ， n? 是由 同一總體中得到的抽樣，那么由此大數(shù)定律可知樣本均值 ??nK Kn 11 ? ，當 n 很大時，以概率 1 收斂于總體均值 ? 。舉個例子，如果考慮在一個平面上，有一個邊長為1 的正方形存在，并且在正方形內(nèi)部存在 一個不規(guī)則形狀的“圖形”，而如何精確地計算出這個不規(guī)則“圖形”的面積就是蒙特卡洛算法要解決的問題了。由于蒙特天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 5 卡洛算法的誕生，在 19 世紀，人們便是用這個方法演變出的投針試驗估算出了圓周率 ? 。數(shù)學軟件 Matlab計算圓周率代碼如下： Number=9000000。 Y=rand(Number,1)。 for i=1:length(X) if(X(i))^2+(Y(i))^2 Num(i)=4。 end end mean(Num) ans = 蒙特卡洛算法的基本原理 蒙特卡洛算法大致可表述為：（ 1）建立一個與求解問題相關(guān)的概率模型，使得所需求得的解的值或者它的函數(shù)能夠表示為所建模型的數(shù)學期望。因此，可以簡單地認為，蒙特卡洛算法是用隨機試驗的方法計算積分的，即為將所要計算的積分看作服從某種特殊分布密度函數(shù) ??XF 的隨機變量 ??xf 的數(shù)學期望。將該式子解釋的更為通俗一些就是說，我們通過某個試驗，得到 N 個觀察值，分別為 1X ， 2X ， ...，NX ，這在概率統(tǒng)計學中表示為從分布密度函數(shù) ??xf 中，抽取 N 個樣本 1X ， 2X ， ...，NX ，然后計算出 N 個隨機變量的值 ? ?1Xf ， ? ?2Xf ， ...， ? ?NXf ，再將上述這些 函數(shù)值累加起來，并最終計算出他們的算術(shù)平均值作為 A 的蒙特卡洛估計 ? ????N1i iN XfN1A? （ ） 所以說，由以上描述不難看出，蒙特卡洛算法的關(guān)鍵所在就是隨機抽樣。 為了更好的闡述蒙特卡洛算法，我們可以將上述問題表示為以下形式 ? ?? ?? ? ? ? ? ?xdFxfXfEA ??? （ ） 其中， A 是所要求的值， X 是一個隨機變量， ??xf 是一個依賴于隨機變量 X 的統(tǒng)計量， ??xF 是 X 的分布函數(shù)。 事實上，在使用蒙特卡洛算法模擬時，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機變量，其中最基本和最重要的隨機變量便是在區(qū)間 ]1,0[ 上的產(chǎn)生的均勻分布的隨 機變量。其他各類分布的隨機變量都是借助于隨機數(shù)來實現(xiàn)的，由此可見，隨機數(shù)是抽樣計算的基本工具。在計算工具方面，例如表格工具 Excel 中的 Random 指令，數(shù)學工具 Matlab 中的 Randn 函數(shù)等等。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 7 蒙特卡洛算法的效率 我們現(xiàn)在假設所求量 ? 是隨機變量 ? 的數(shù)學期望 ???E ，那么近似確定 ? 的蒙特卡洛算法是對 ? 進行 n 次重復抽樣，產(chǎn)生獨立且同分布的隨機變量序列 1? ， 2? ，?? ， n? ，并計算出樣本均值 ???n1K Kn n1 ?? （ ） 由（ ）式的結(jié)論根據(jù)強大數(shù)定理理論，我們可以得出 ? ? 1limpnn ???? ??，因此，當 n 大到無窮時，可用 n? 作為所需要求得的估算量 ? 的估計值。設隨機變量 ? 的方差 ? ? ??? 2??D ，對于標準的正態(tài)分布的上 2/? 分位數(shù) 2/Z? ，有 ????? ??? ?????????? ???????? ??? ?? 12e x p21p 2/ 2/22/ dttnZZZn （ ） 這表明，置信水平 ?1 所對應的漸進置信區(qū)間可以表示為nZ ?? ? ?? 2/n。 由以上數(shù)據(jù)及公式，我們不難看出，蒙特卡洛算法的誤差是由 ? 和 n 同時決定的。若兩個隨機變量 1? ， 2? 的數(shù)學期望 ? ? ? ? ??? ?? 21 EE ， 21 ??? ，那么無論從 1? 或 2? 中抽樣均可得到 ? 的蒙特卡洛估計值。因而，若要提高蒙特卡洛算法的效率，不能單純的考慮增加模擬的次數(shù) n 或是減少方差 2? ，應當在減小方差的同時兼顧抽取一個樣本所耗費的機時，使方差 2? 與天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 8 機時 t 的乘積盡量的小。除此之外，其收斂速度與待解決的問題的維數(shù)是不相關(guān)的。這是普通的數(shù)值方法幾乎都難以攻克的問題。利用高級計算機進行計算時，使用該方法的程序結(jié)構(gòu)較為簡單，分塊性強，更容易令其實現(xiàn)。在維數(shù)相對較低的情況下，其相應收斂速度相對較慢，而且其誤差是在一定的置信水平下估計的，所以它的誤差是具有一定的概率性的，此外，它的計算結(jié)果事實上是依賴于系統(tǒng)的大小的，對于大系統(tǒng)大概率事件或者是小系統(tǒng)小概率事件的問題，經(jīng)計算研究發(fā)現(xiàn)其計算結(jié)果往往比真實值還要偏低。就期權(quán)的本質(zhì)而言，它其實指的是在未來的一定的時期內(nèi)可以隨意自由進行買賣 的權(quán)利，是買方向期權(quán)賣方支付一定數(shù)量的金額（權(quán)利金）后，擁有的 在未來的一段時間內(nèi)（特指美式期權(quán)）或未來的某一特定日期（特指歐式期權(quán)），以事先規(guī)定好的價格（履約價格）向期權(quán)賣方購買或出售一定數(shù)量的特定標的物的權(quán)利，但是并不負有期權(quán)必須買進或賣出的義務。在本文表21 中，詳細的闡述了在期權(quán)交易過程中，雙方權(quán)利與義務的關(guān)系。本文重點介紹的是歐式期權(quán)，它是按 照交割時間來進行劃分的。 歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日 之前不能行使權(quán)利，而如果過了期限，合約則會自動作廢。目前國內(nèi)的外匯期權(quán)交易幾乎都是采用的歐式期權(quán)合同方式。美式期權(quán)的結(jié)算日是在履行合約后的一天到兩天。 亞式期權(quán)從本質(zhì)上看就是創(chuàng)新后的歐式期權(quán)，它不同于歐式期權(quán)，取合約履行日標的資產(chǎn)的價格，而是期權(quán)合約期內(nèi)某段時間標的資產(chǎn)的價格的平均值，同時這段時間被稱為平均期，在對期權(quán)標的資產(chǎn)進行平均時，采用的方法就是算術(shù)平均法或者幾何平均法。因此，目前狀況是國際上大部分的期權(quán)交易都是歐式期權(quán)。所謂看漲期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價格來購買標的資產(chǎn)。 期權(quán)價值 不管是哪類期權(quán)，都會有自身的內(nèi)在價值存在。而在同時，期權(quán)根據(jù)其內(nèi)在價值的大小又分為了實值期權(quán)、虛值期權(quán)還有兩平期權(quán)三種。 兩平期權(quán)，也很好理解，與實值 期權(quán)概念相似，只不過就是期權(quán)的持有人在天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 10 對于期權(quán)立即執(zhí)行后，致使期權(quán)價值獲利為零，此時持有者處于一種不賠不賺的狀態(tài)，故將其稱為兩平期權(quán)。 總結(jié)一下，本文以賣權(quán)舉例：首先，由于標的物的市場價格低于其執(zhí)行價格，賣方買進標的物時的價格就會偏低，因而再賣出時價格就是上升，從而獲利，正是這種原因?qū)е铝藢嵵蒂u權(quán)的出現(xiàn)。最后，由于買進標的物時候的市場價格大于賣出時候的執(zhí)行價格，若賣方履約，則買方處于一種被動狀態(tài)，不得不履行約定，致使虧損，這種情況便是虛值期權(quán)。針對于這三種情況，我們都必須提高警惕，期權(quán)市場誰都說不好，也許今天還是實值期權(quán)，明天可能就變成了虛值期權(quán)了。 表 22 實值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)的關(guān)系 S 與 K 的關(guān)系 買權(quán) 賣權(quán) SK 實值 虛值 S=K 兩平 兩平 SK 虛值 實值 期權(quán)價值，實則還有一種時間價值，但鑒于本文研究的是歐式期權(quán)，時間價值則是與美式期權(quán)緊密相關(guān)的，故在此就不多做介紹了。 標的資產(chǎn)價格 S 。 期權(quán)的執(zhí)行價格 K 。執(zhí)行價格在期權(quán)合約里往往都有相當明確的規(guī)定，是期權(quán)交易所依照特殊的標準以增減的形式給出，這就導致了同一個標的資產(chǎn)確有很多個不同的價格。不過，對于投資者而言，在選擇執(zhí)行價格時只要遵 循一個原則就好了，就是選擇最接近標的資產(chǎn)活躍區(qū)間價格的期權(quán)執(zhí)行價格。標的資產(chǎn)的波動率增加意味著期權(quán)的價格也會隨之增加，同時波動率的增加也意味著期權(quán)持有者也就是買方獲利會更多。單就剩余時間這一條而言，剩余的時間越多，期權(quán)執(zhí)行時的價格就越高。相反的，剩余時間越少，離到期日越近，期權(quán)價格變動越快。無風險利率指的就是投放資金于一項不含任何風險的活動，而取得的利息率。無風險利率是與期權(quán)