動(dòng)力學(xué)蒙特卡洛方法(kmc)及相關(guān)討論-在線瀏覽
2025-03-04 01:38本頁面
【正文】 函數(shù)是經(jīng)典諧振子體系的配分函數(shù)。聲子譜可以通過Hessian矩陣對(duì)角化或者密度泛函微擾法(DFPT)求出，而就是的勢(shì)壘，可以通過NEB或者drag方法求出。事實(shí)上這個(gè)方程有兩點(diǎn)需要注意。這是因?yàn)門ST本質(zhì)上是一個(gè)經(jīng)典理論，所以充分考慮了統(tǒng)計(jì)效應(yīng)后不會(huì)出現(xiàn) [1]。這樣會(huì)大大增加計(jì)算量，因此在絕大部分計(jì)算中均設(shè)前置因子為常數(shù)，不隨躍遷過程而變化。KMC幾種不同的實(shí)現(xiàn)算法到目前為止，進(jìn)行KMC模擬的所有理論基礎(chǔ)均已具備。KMC在固體物理中的應(yīng)用往往利用點(diǎn)陣映射將原子與格點(diǎn)聯(lián)系起來。比如空位(團(tuán))/吸附原子(島)遷移等等。很多情況下體系中的原子雖然對(duì)理想格點(diǎn)均有一定的偏離，但是并不太大()，因此這種原子點(diǎn)陣映射是有效的。每條躍遷途徑只與其近鄰的體系環(huán)境有關(guān)，這樣可以極大的減少躍遷途徑的數(shù)目，從而簡(jiǎn)化計(jì)算 [1]。比如化學(xué)分子反應(yīng)爐或者生物分子的生長(zhǎng)等等，這些情況下根本不存在點(diǎn)陣。KMC的實(shí)現(xiàn)方法有很多種，這些算法大致可以分為拒絕(rejection)和無拒絕(rejectionfree)兩種范疇。本文只選擇幾種最為常用的方法加以介紹。每一步只需要產(chǎn)生兩個(gè)在之間平均分布的隨機(jī)數(shù)和。設(shè)體系處于態(tài)，將每條躍遷途徑想象成長(zhǎng)度與躍遷速率成正比的線段。如果落在線段中，這個(gè)線段所代表的躍遷途徑就被選中，體系移動(dòng)到態(tài)，同時(shí)體系時(shí)間根據(jù)方程(5)前進(jìn)。 需要指出的是，雖然一般步驟4中的根據(jù)方程(5)生成，但是如果將其換為并不會(huì)影響模擬結(jié)果。II. 第一反應(yīng)法第一反應(yīng)法(first reaction method, FRM)在思路上比直接法更為自然。每條途徑均可以根據(jù)方程(4)給出一個(gè)指數(shù)分布的發(fā)生時(shí)間，也即從當(dāng)前算起第一次發(fā)生的時(shí)間?？偨Y(jié)其算法如下：1. 設(shè)共有條反應(yīng)途徑，生成個(gè)隨機(jī)數(shù)； 2. 根據(jù)公式，給出每條路徑的預(yù)計(jì)發(fā)生時(shí)間； 3. 找出的最小值； 4. 體系移動(dòng)到態(tài)，同時(shí)模擬時(shí)間前進(jìn)； 5. 重復(fù)上述過程。通常情況下KMC模擬需要步來達(dá)到較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如果每一步都需要生成個(gè)隨機(jī)數(shù)，則利用這種方法需要一個(gè)高質(zhì)量的偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，這一點(diǎn)在比較大時(shí)尤為重要。如果這次躍遷還可以滿足上述假設(shè)條件，再重復(fù)上述過程。這無疑會(huì)大大提高效率以及時(shí)間跨度。試探接受/拒絕方式因此有必要進(jìn)行詳細(xì)的介紹。具體算法如下：1. 設(shè)共有條反應(yīng)途徑，選擇反應(yīng)速率最大值，設(shè)為。 這種方法的長(zhǎng)處在于每一步只需要生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)。某些情況下，這種低效率問題可以通過如下方法改進(jìn)：將全部途徑按照的大小分為幾個(gè)亞組，每個(gè)亞組選定一個(gè)上限。事實(shí)上低勢(shì)壘在KMC中是個(gè)普遍的問題。V. 恒定步長(zhǎng)法與上述四種方法不同，恒定步長(zhǎng)法(constant time step method, CTSM)中體系的前進(jìn)時(shí)間是個(gè)給定的參數(shù)\cite{dawnkaski}。具體算法如下：1. 給定恒定時(shí)間步長(zhǎng)； 2. 將所有途徑(共有個(gè))設(shè)為長(zhǎng)度恒為的線段，生成在均勻分布的隨機(jī)數(shù)，選擇途徑； 3. 生成在均勻分布的隨機(jī)數(shù)，如果 ，則體系躍遷至新態(tài)，否則保持在態(tài)； 4. 模擬時(shí)間前進(jìn)； 5. 重復(fù)上述過程。其中第一個(gè)條件保證了所有的遷移途徑發(fā)生概率都小于1，第二個(gè)條件則保證體系演化的效率不會(huì)過于低下。決定于具體體系以及模擬溫度。低勢(shì)壘問題前面已經(jīng)指出，低勢(shì)壘的途徑需要特別注意。這個(gè)問題被稱之為低勢(shì)壘問題。這一點(diǎn)可以從方程(5)中看出。體系會(huì)頻繁的訪問這些態(tài)，而其他的對(duì)于體系演化更為重要的高勢(shì)壘途徑被選擇的概率非常低，這顯然會(huì)降低KMC的模擬效率。這樣，KMC模擬的絕大部分時(shí)間內(nèi)吸附原子都在臺(tái)階處來回往復(fù)，而不會(huì)選擇離開臺(tái)階在平臺(tái)上擴(kuò)散。一種解決辦法是人為地將這些低勢(shì)壘加高以降低體系訪問這些組態(tài)的幾率，但是無法預(yù)測(cè)這種干擾是否會(huì)造成體系對(duì)于真實(shí)情況的嚴(yán)重偏離。如果考察體系的勢(shì)能面，這類低勢(shì)壘的途徑一般處在一個(gè)超勢(shì)阱之中。如果可以明確的知道超勢(shì)阱所包含的組態(tài)以及從超勢(shì)阱逸出的所有途徑，我們就可以按照Boltzmann分布合理的選擇其中一條途徑，使得體系向前演化。對(duì)于第一點(diǎn)，Mason提出可以利用Zobrist密鑰法標(biāo)定訪問過于頻繁的組態(tài) [7]；Novotny則提出通過建立及對(duì)角化一個(gè)描述體系在這些組態(tài)間演化的傳遞矩陣來解決第二點(diǎn) [8]。實(shí)體動(dòng)力學(xué)蒙特卡洛方法 OKMC上述的KMC都假設(shè)任何時(shí)候原子均處于其理想點(diǎn)陣格子上。這類結(jié)構(gòu)缺陷的運(yùn)動(dòng)在材料的輻射損傷和老化過程中扮演著非常重要的角色。傳統(tǒng)的KMC算法很難有效的處理這類問題，一方面是因?yàn)闀r(shí)間跨度太大，另一方面這類缺陷各自均可視為獨(dú)立的實(shí)體(object)，其運(yùn)動(dòng)更近似于系統(tǒng)激發(fā)，因此單個(gè)或幾個(gè)原子運(yùn)動(dòng)的積累效果很多情況下并不能有效地反應(yīng)這些實(shí)體的整體運(yùn)動(dòng)。OKMC在算法上與普通的KMC完全一樣。所有的實(shí)體在一個(gè)真空的箱子中按照其物理實(shí)質(zhì)離散化運(yùn)動(dòng)，比如位錯(cuò)環(huán)的最小移動(dòng)距離是其Burgers矢量大小，方向則為Burgers矢量方向；空位的移動(dòng)距離為第一近鄰或第二近鄰的原子間距，等等。此外，OKMC中對(duì)于躍遷速率的確定也和普通的KMC有所區(qū)別。普通的KMC假定為常數(shù)，不同途徑的由決定。最后需要注意的是在OKMC的模型中，實(shí)體有空間范圍
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