基于蒙特卡洛方法求數(shù)值積分與r-在線瀏覽
2024-09-17 11:01本頁面
【正文】 條件滿足，則記錄落入積分區(qū)間一次。 假如所需計(jì)算積分為，其中被積函數(shù)在[a,b]內(nèi)可積，任意選擇一個(gè)有簡(jiǎn)單辦法可以進(jìn)行抽樣的概率密度函數(shù)p(x)，使其滿足條件：ll記 則所求積分為因而Monte Carlo近似求積算法為： (1) 產(chǎn)生服從分布率p(x)的隨機(jī)數(shù) (2) 計(jì)算均值,即有從數(shù)學(xué)角度上看定積分可以看成其中g(shù)(x)是某個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，因此積分值I可看成隨機(jī)變量Z=f(x)/g(x)的數(shù)學(xué)期望值為了減少模擬實(shí)驗(yàn)的方差應(yīng)適當(dāng)選取g(x),使Var（I）盡可能小，如果被積函數(shù)f(x)0,可取g(x)=cf(x),當(dāng)c=1/I時(shí)就有Var(I)=(x)相似的密度函數(shù)g(x)，使f(x)/g(x)接近于常數(shù)，故而Var(I)接近于0，以達(dá)到降低模擬實(shí)驗(yàn)的方差，這種減少方差的模擬試驗(yàn)法為重要抽樣法。它首先把樣本空間D分成一些不交的小區(qū)間，然后在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的抽樣數(shù)由其貢獻(xiàn)大小決定。考慮積分將[0,1]分成m個(gè)小區(qū)間： 則記為第i個(gè)小區(qū)間的長度，i=1,2,...,m，在每個(gè)小區(qū)間上的積分值可用均值法估計(jì)出來，然后將其相加即可給出的一個(gè)估計(jì)。并且在上式右邊第一項(xiàng)的運(yùn)算中對(duì)(fg)積分的方差應(yīng)當(dāng)要比第二項(xiàng)對(duì)f積分的方差小。解析求出分布函數(shù)G(x)。由此我們可以看出選擇g(x)所受到的限制比重要抽樣法要小些。它利用相關(guān)點(diǎn)間的關(guān)系可以是正關(guān)聯(lián)的，也可以是負(fù)關(guān)聯(lián)的這個(gè)特點(diǎn)。這樣就可以使上式所示的方差減小。R程序s1function(n){ ffunction(x) exp(x) a0 b1 xrunif(n)yrunif(n) msum(yf(x)) j=m/nvar1/n*var(yf(x)) lislist(j,var)return(lis)}s1(10^4)s1(10^5)s1(10^6)s1(10^7) 對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為，得到精確值和模擬值。 平均值法的模擬次數(shù)和模擬值n模擬值方差 重要性抽樣法 R程序z1function(n){ x 1(sqrt(1r)) ffunction(x) exp(x) gfunction(x) (2*(1x)) rrunif(n) s=mean(f(x)/g(x))var1/n*var(f(x)/g(x))lislist(s,var) return(lis)}z1(10^4)z1(10^5)z1(10^6)z1(10^7)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為，得到精確值和模擬值。 對(duì)偶變量法的模擬次數(shù)和模擬值n模擬值方差 控制變量法R程序k1function(n){ffunction(x) exp(x)rrunif(n)gfunction(x) 2*(1x)umean(g(r))l(cov(f(r),g(r)))/var(g(r)) jmean(f(r))+l*mean(g(r)u)var1/n*var(f(r)+g(r))lstlist(j,var)return(lst)}k1(10^4)k1(10^5)k1(10^6)k1(10^7)對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為，得到精確值和模擬值。 隨機(jī)投點(diǎn)法的模擬次數(shù)和模擬值n模擬值方差精確值為 平均值法R程序p2function(n){ ffunction(r) exp(x) a2 b4 rrunif(n) h(ba)*f(a+(ba)*r) ymean(h) var1/n*var(h)lislist(y,var) return(lis)}p2(10^4)p2(10^5)p2(10^6)p2(10^7) 對(duì)模擬次數(shù)n調(diào)試了4次，分別為，得到精確值和模擬值。 分層抽樣法的模擬次數(shù)和模擬值取值n=10,m=20n=100,m=200n=1000M=2000n=10000M=20000模擬值方差精確值為 對(duì)偶變量法R程序d2function(n){a2b4ffunction(x) exp(x)rruni
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