【正文】 dmk)的解為x≡M39。kMkbk （modm）。iMi≡1 （modmi），i＝1，2，…，k 。孫子定理對近代數(shù)學(xué)如環(huán)論，賦值論都有重要影響。同理，15c是7除余c，3與5除得盡的數(shù)，總加起來 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的數(shù)，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，這數(shù)加減105(105=3*5*7)仍有這樣性質(zhì)，可以多次減去105而得到最小的正數(shù)解。 　　孫子問題的解法，以現(xiàn)代的說法，是找出三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15。 　　即題目的答案為 702+213+152 　　=140+63+30 　　=233 　　2332105=23 　　公式：70a+21b+15c105n 　?。ㄖ袊Ｓ喽ɡ鞢RT）設(shè)m1,m2,...,mk是兩兩互素的正整數(shù)，即gcd(mi, mj) =1, i≠j, i,j = 1,2,...,k 　　則同余方程組： 　　x≡b1 mod m1 　　x≡b2 mod m2 　　... 　　x≡bk mod mk 　　模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意義下，存在唯一的x,滿足： 　　x≡bi mod [m1,m2,...,mk], i = 1,2,...,k 　　中國剩余定理”算理及其應(yīng)用： 　　為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。）把70、215這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。后來我國數(shù)學(xué)家又研究了這個問題，運用了像上面分析的方法那樣進(jìn)行解答。則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。然后，401＋452＋364=274，因為，27460，所以，274－604=34，就是所求的數(shù)。則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。使21被8除余1，用215=105；然后，1122＋1204＋1055=1229，因為，1229168，所以，1229－1687=53，就是所求的數(shù)。題中11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。為了使88被5除余1，用882=176；使55被8除余1，用557=385；使40被11除余1，用408=320。 　　例4：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人 ？（幸福123老師問的題目）題中5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。為了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。 　　例5：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人 ？ 題中5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。為了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。不懂論壇上有沒人發(fā)過。例一，一個數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個數(shù)最小是多少？解法：題目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。下面一步試下46能不能滿足第一個條件“一個數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍數(shù)，再怎么加都會滿足“被6除余4，被7除余4”的條件。沒有同余的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加4，直到所得的數(shù)除5余3。比“中國剩余定理”更好理解，我覺的速度上會比那個繁瑣的公式化的解題更快。⑵等積變形（位移、割補）① 三角形內(nèi)等底等高的三角形② 平行線內(nèi)等底等高的三角形③ 公共部分的傳遞性④ 極值原理（變與不變）⑶三角形面積與底的正比關(guān)系 S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1S3=S2S4（所謂蝴蝶模型）⑷相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例）① 。 S=（a+b）2⑸燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；(6)共角定理(7)差不變原理知52=3，則圓點比方點多3。(9)組合圖形的思考方法① 化整為零② 先補后去③ 正反結(jié)合 ④ 有時要求的無法求，可以用反面的方法，求外圍然后減去 求面積，直接求 間接求：整體—部分；總 不好求，放到一個大的圖形中去求，方法:這個大的圖形的面積好求，或者這個大的圖形可以放到再一個大的圖形中求，而這個更大的圖形的面積好求 容斥法求解 (10) 長方形 a bd c a d b c ac = bd a＋c = b＋d（11）正方形： 說到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然 弦圖：看到斜著放的正方形，就應(yīng)該想到弦圖 □□變成5個小正方形作一個面積為5的正方形（12）海倫公式 三角形的三邊長分別為：a、b、c。(6) 打洞題目周長（1）規(guī)則圖形：（2）不規(guī)則圖形：平移，注意別有漏的，必要的時候要分析線段之間的關(guān)系、要加加減減，圖形計數(shù)：容易數(shù)不全，方法：會分類特別的：（6+5+4+3+2+1）（4+3+2+1）圖形分割和拼接（1）割：從數(shù)量和對稱點入手（特別是當(dāng)要求面積一樣時）（2）拼：看每條邊的長度，相同長度的往一起拼，當(dāng)然有時候可以是一條長邊等于多條短邊（3）剪、拼：前后面積相等、要計算規(guī)劃一些特殊圖形完美長方形、弦圖(對角線把長方形分成相等的兩部分記一些圖形規(guī)律勾股定理（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方， 記的數(shù)據(jù)：5； 113；根號2(1) 在平面幾何中應(yīng)用：直線形，曲線形（兩園相切：園心相連過切點；兩園相交）折疊：（1）利用對稱，用盡量少得未知數(shù)表述圖中的線段 （2）勾股定理解方程；(2) 立體幾何中的應(yīng)用：對角線AD2 = ( AC2 + BC2 ) + BD2ABCD8．曲線形圖形（圓、扇形的周長與面積；平移、割補、旋轉(zhuǎn)） 公式總結(jié)： 如果有多種動物，可根據(jù)動物的特點先分成兩種砍足法畫圖法捆綁法（打包法）換算法6．牛吃草問題原有草量=（牛吃速度草長速度）時間7．平均數(shù)問題無論什么平均，一定記得總的數(shù)量247。兩次分配差 （盈—盈）247。兩次分配差特別注意：一定的數(shù)量平均分給固定的對象時才能直接套公式，即：（1）涉及三個量：被分配的總數(shù)、接受分配的人或物、分配原則（平均）； 原則：要保證“被分配的總數(shù)”、“接受分配的人或物”不變 方法：想辦法把變的量變成不變的（2）基本的盈虧問題可以用殷老師的畫圖的方法；9．和差問題10．和倍問題11．差倍問題12．逆推問題 還原法，從結(jié)果入手倒推法（列圖表、線段圖）吹氣球法 逆推 223。歸納13．代換問題 列表消元法 等價條件代換五、行程問題普通行程問題最基本的概念：路程和=速度和相遇時間，所有的問題都來自于： （1） S變：往返問題（ST圖），環(huán)形跑道（一圈的概念）ST圖，即柳卡圖，但遇到數(shù)字不好解的，考慮有沒有其他方法（2） V變：流水行程（水速），變速問題（差量） 解題時要考慮速度比，或者假設(shè)速度不變會怎樣（比如S變?yōu)槎嗌伲?） T變：走走停停（分段），平均速度（總S/總T）252。 三人以上相遇或追及：殺人，轉(zhuǎn)換成兩兩相遇252。 中點問題（陷阱）252。2，順?biāo)俣群湍嫠俣群褪莾杀兜拇?；水?（順?biāo)俣饶嫠俣龋?47。速度一定，路程和時間成正比。7．鐘面上的相遇與追及問題。60分 = 格/分； 分針?biāo)俣龋?小時1格247。65= 11段 （2） 解題思路：數(shù)格子數(shù)（路程差）〉找速度差〉求時間 數(shù)格子的方向：由快到慢 應(yīng)記得數(shù)：直線〉直線 重合〉重合65= ③ 相遇：找格數(shù)和（即路程和）、速度和；④ 壞鐘問題：壞鐘 好鐘 65格 60格 ？格 560格注意唯一反比：時間和速度8．結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的一些類型。10．發(fā)車間隔問題間隔 = ？1（甲和車） = ？2（乙和車） = ？3（車自己）V車X t解方程組就可以了11．接送問題（1）柳卡圖（2）畫清楚圖12．火車過橋：S變（看車尾或車頭），火車過橋的路程等于車長加橋長火車過人和火車過橋問題的區(qū)別13．扶梯問題 可以把它理解為牛吃草問題， 速度 時間 總量 （1） （2） 算出沒分鐘電梯上行或下行的速度，進(jìn)而求總量，即走了多少級；14．獵狗追兔 方法1：題目中的兩句話告訴了獵狗和兔子的速度比； 方法2：假設(shè)獵狗 a“米”/步, 兔b“米”/步 c步/“秒” d步/“秒” 相遇或追及距離：將步轉(zhuǎn)換成米，就可以求出相遇或追擊時間，然后求出要求的步數(shù)；六、計數(shù)問題252。迎春杯必考一道，近年來和圖形結(jié)合著考的比較多252。 看到題目要求求有多少種、多少個等題，就是加乘原理或者說是排列組合這種題型，先分類，如何分類：從條件比較特殊的入手，分類不能重復(fù)，一般是找有多種選擇的條件來分類；252。 要注意是分類的，還是分步的；分類之后一定是分步，單純的分步可以理解是只有一類情況；252。 有時候一種方向試試不好做，可以反過來想一想；1．枚舉法：分類、有序枚舉，做到不重不漏；往往數(shù)量不大，范圍比較明確、一定當(dāng)說的比較寬泛，沒有辦法的時候，找規(guī)律幾何計數(shù)，特別數(shù)數(shù)三角形，常常用枚舉；2．標(biāo)數(shù)法：最短路線，就是加法原理、染色、派工作3．加法原理：分類4．乘法原理：分步5．排列組合：其實就是加乘原理，實際上是種工具，排列考慮順序，組合不考慮順序插板法例（1）方程x+y+z=10 有多少組正整數(shù)解？（2）方程x+y+z=10 有多少組非負(fù)整數(shù)解？（3）方程x+y+z=10 有多少組x, y , z都不小于2的整數(shù)解？插空法例：打包法排除法除法定序6．容斥原理：方法/工具：（1）文氏圖；（2）列