【正文】 于：200136=1965（年）【例10】 今年?duì)敔?8歲，三個(gè)孫子的年齡分別是27歲、23歲和16歲．經(jīng)過(guò)多少年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡的和?分析：觀察每過(guò)一年，爺爺?shù)哪挲g與三個(gè)孫子年齡和的差的變化．相等時(shí)的圖示所示：三個(gè)孫子的年齡和是27＋23＋16＝66(歲)，跟爺爺?shù)牟罹嗍?8－66＝12 (歲)．由于每過(guò)一年，三個(gè)孫子的年齡和增大3歲，而爺爺年齡增大1歲．因此每過(guò)一年，爺爺和三個(gè)孫子年齡和的差就縮小2歲．這樣由于他們的差距一共是12歲，所以12247。2=24 200924=1985 答：媽媽12歲是1985年。25=80(歲)，其中年齡最大的老人為80+12=92(歲)，年齡最大的老人今年的歲數(shù)為922=90(歲)．課后練習(xí)：1． 小明今年（1995）的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和，問(wèn)：他今年多少歲？分析：19ab年，11a+2b=+9+7+4=21（歲）2． 父親今年44歲，兒子今年16歲，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍時(shí)，父子的年齡和是多少歲？分析：此題關(guān)鍵要抓住年齡差不變，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍時(shí)，兒子的年齡是一份，父親的年齡是8份，他們的年齡差是8－1＝7份，因?yàn)樗麄兊哪挲g差始終保持不變，年齡差是44－16＝28歲，所以一份是28247。3＝12，所以學(xué)生年齡是3＋12＝15歲，老師年齡是15＋12＝27歲．4． 小紅、小橙、小黃、小綠四人今年分別是16，12，11，9歲．問(wèn)：多少年前，小紅、小橙的年齡和是小黃、小綠年齡和的2倍？分析：現(xiàn)在小紅、小橙的年齡和是16＋12＝28歲，小黃、小綠的年齡和是11＋9＝20歲，他們和的年齡差是28－20＝8歲，當(dāng)小紅、小橙的年齡和是小黃、小綠年齡和的2倍時(shí)，他們的年齡差是1份，即8歲，此時(shí)小紅、小橙的年齡和是28＝16歲，小黃、小綠的年齡和是8歲，又因?yàn)槊恳唤M是兩個(gè)人，所以往前推（28－16）247。 (5＋1)5＝45(歲)， 母親今年的年齡： 45＋6＝51(歲)．6. 爸爸今年30歲，兒子小明和小強(qiáng)分別是5歲和6歲，再過(guò)幾年小明和小強(qiáng)的年齡和與爸爸的年齡相等？ 分析：兩個(gè)兒子的年齡和是5＋6＝11歲，爸爸比他們的年齡和大30－11＝9歲，每過(guò)一年兩個(gè)兒子的年齡和比爸爸的年齡增加2－1＝1歲，所以要過(guò)9年，小明和小強(qiáng)的年齡和才能與爸爸的年齡相等．，最小的一個(gè)20歲，他與最大的人年齡之和比其它兩人年齡之和小8歲，那么這三個(gè)人的年齡各是多少? 分析：最小的一個(gè)與最大的人年齡之和比第二大的與最大的年齡之和小8歲，也就是說(shuō)最小的人比年齡在中間的人小8歲，所以，年齡在中間的人的年齡是：20+8=28（歲），最大的人的年齡就是：802028=32（歲）8. 今年小寧9歲，媽媽33歲，那么再過(guò)多少年小寧的歲數(shù)是媽媽歲數(shù)的一半?60了！”問(wèn)：媽媽12歲時(shí)，時(shí)哪一年？分析：母女年齡差是（6012）247。，乙，丙，丁四人現(xiàn)在的年齡和是64歲，甲21歲時(shí)，乙是17歲；甲是18歲時(shí)，丙的年齡是丁的3倍。（3+1） ==32247。（4＋1）＝10（歲），爸爸的年齡是：52－10＝42（歲），小明與爸爸的年齡差是：42－10＝32（歲）.12. “重陽(yáng)節(jié)”那天，延齡茶社來(lái)了25位老人品茶，他們的年齡恰好是25個(gè)連續(xù)自然數(shù)，兩年以后，這25位老人的年齡之和正好是2000，其中年齡最大的老人今年多少歲？ 分析：兩年之后，這25位老人的平均年齡為2000247。幾年后，祖父的年齡是小明的5倍。祖父今年是多少歲？分析：祖父的年齡是小明的6，5，4倍的時(shí)候，年齡差為5，4，3倍小明的年齡，由于年齡差不變。5=12歲，爺爺?shù)哪挲g是126=72歲。（31）=10（歲）所以小華今年是101=9（歲），最小的是10歲，他與最大的年齡之和比另外二人年齡和大7歲，那么最大的歲數(shù)是多少？分析：（77+7）247。3．歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語(yǔ)來(lái)表示。歸一，指的是解題思路。歸一應(yīng)用題有正歸一應(yīng)用題和反歸一應(yīng)用題。根據(jù)“求一份是多少”的步驟的多少，歸一應(yīng)用題也可分為一次歸一應(yīng)用題，用一步就能求出“一份是多少”的歸一應(yīng)用題；兩次歸一應(yīng)用題，用兩步到處才能求出“一份是多少”的歸一應(yīng)用題。份數(shù)＝一份的數(shù)例 24輛卡車一次能運(yùn)貨物192噸，現(xiàn)在增加同樣的卡車6輛，一次能運(yùn)貨物多少噸？先求1輛卡車一次能運(yùn)貨物多少噸，再求增加6輛后，能運(yùn)貨物多少噸。192247。前5天加工零件345個(gè)，照這樣計(jì)算，這批零件還要幾天加工完？這是一道反歸一應(yīng)用題。照這樣計(jì)算，5臺(tái)磨粉機(jī)6小時(shí)可加工小麥多少千克？這是一道兩次正歸一應(yīng)用題。照這樣計(jì)算，再增加4臺(tái)同樣的機(jī)床生產(chǎn)1600個(gè)零件，需要多少小時(shí)？這是兩次反歸一應(yīng)用題。1600247。4247。后來(lái)又增加了54米的任務(wù)，并要求在6天完工。(126+54)247。7247。先用小水泵抽6小時(shí)，后用大水泵抽8小時(shí)，共抽水624立方米。求大小水泵每小時(shí)各抽水多少立方米？解法一：根據(jù)“小水泵5小時(shí)的抽水量等于大水泵2小時(shí)的抽水量”，可以求出大水泵1小時(shí)的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時(shí)的抽水量。 大水泵1小時(shí)的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時(shí)的抽水量？5247。(6+20)=24立方米 大水泵1小時(shí)能抽水多少立方米？24=60立方米解法二： 小水泵1小時(shí)的抽水量相當(dāng)于大水泵幾小時(shí)的抽水量2247。(8+)=60立方米 小水泵1小時(shí)能抽水多少立方米？60=24立方米例 東方小學(xué)買了一批粉筆，原計(jì)劃29個(gè)班可用40天，實(shí)際用了10天后，有10個(gè)班外出，剩下的粉筆，夠有校的班級(jí)用多少天？先求這批粉筆夠一個(gè)班用多少天，剩下的粉筆夠一個(gè)班用多少天，然后求夠在校班用多少天。10=60天(4020–1020) 247。［27247。18)+27247。8)］2=486個(gè) 4．植樹(shù)問(wèn)題 基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù) 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù) 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù) 封閉曲線上植樹(shù) 基本公式 棵數(shù)=段數(shù)＋1 棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)－1 棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù) 棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 關(guān)鍵問(wèn)題 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系 【例4】 間隔和分段問(wèn)題【例5】 小軍家住在5樓，每上1層樓梯要1分鐘。典型例題例[1] 把1根木頭鋸斷，要2分鐘。而把這根木頭鋸成4段，需要鋸幾次？只要鋸3次，也就是需要3個(gè)2分鐘。例[2] 某人到一座高層樓的8樓去辦事，不巧停電，電梯停開(kāi)。用同樣的速度走到8樓，還要多長(zhǎng)時(shí)間？1234567848秒分析 可以先求出上1層樓梯要多少秒，從圖中知道，48秒上了3層樓梯，上1層樓梯用的時(shí)間是48247。再求出從4樓到8樓用的時(shí)間，從圖中也可以知道，要上4層樓梯，也就是4個(gè)16秒。（4－1）=16（秒）16（8－4）=64（秒）答：還要64秒。那么6電鐘敲6下，幾秒鐘敲完？第1下第２下第３下第４下第５下第６下１２秒分析 時(shí)鐘敲４下，經(jīng)過(guò)了３個(gè)時(shí)間間隔，每個(gè)時(shí)間間隔是１２247。解　　１２247。例［４］　　同學(xué)們上體育課，有１０個(gè)男生排成一排，相臨兩個(gè)男生相隔１米。解　?。保ǎ保埃保剑梗祝┐穑哼@排男生排列的長(zhǎng)度排有９米。在路的一側(cè)從頭到尾每隔１０米栽一棵樹(shù)。由于頭尾都栽，所以栽的棵樹(shù)比分成的段數(shù)多１。１０＋１＝１１（棵）答：共栽１１棵樹(shù)。每隔６米種芍藥花，每相臨兩棵芍藥花之間種兩棵月季花。6=30（段）。2．每?jī)煽蒙炙幓ㄖg種兩棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30個(gè)兩棵。6=30（棵）月季花的棵樹(shù)：230=60（棵）答：可以栽30棵芍藥花、60棵月季花。一、 鋸木頭的時(shí)間、排隊(duì)伍的長(zhǎng)度、時(shí)鐘敲的時(shí)間等，實(shí)際上都是上樓梯問(wèn)題，就是臺(tái)階總數(shù)=每層樓梯的臺(tái)階數(shù)（所達(dá)到的層數(shù)－起點(diǎn)的層數(shù)）。如：100米的長(zhǎng)度，每10米載一棵樹(shù)，就分成10段。10＋1=11（棵）。10=10（棵）。 基本公式： ①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)總頭數(shù)－總腳數(shù)）247。（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。通過(guò)學(xué)習(xí)解雞兔同籠問(wèn)題，可以提高我們的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”意思就是：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，問(wèn)雞和兔各有多少只？解法一：列表枚舉法列表枚舉法就是讓我們列出表格，采用依次列舉，逐步嘗試的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。抬腿，即雞“金雞獨(dú)立”，兔兩個(gè)后腿著地，前腿抬起，腿的數(shù)量就為原來(lái)數(shù)量的一半。2=47只腳。籠子里只要有一只兔子，腳數(shù)就比頭數(shù)多1。最后用頭數(shù)減去兔的只數(shù)35－12=23就得出雞的只數(shù)。2－總只數(shù)。假設(shè)這35個(gè)頭都是兔子，那么腿數(shù)就應(yīng)該是354=140，就比94還多，那么是哪里多的呢？當(dāng)然是我們把兩條腿的雞看成了四條腿的兔子了。我們可以列式為：雞的只數(shù)=（354－94）247?？偨Y(jié)公式為：雞的只數(shù)=（兔的腳數(shù)總只數(shù)－總腿數(shù)）247。當(dāng)然我們也可以把這35個(gè)頭都看成雞的，那么腿數(shù)應(yīng)該是352=70，就比94還少，相信不說(shuō)你也明白為什么少了？對(duì)，因?yàn)槲覀儼?條腿的兔子看成了2條腿的雞，那么每少兩條腿就有1只兔子。（4－2）。（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）。我們首先砍去每只雞、每只兔的兩條腿，這樣每只雞就沒(méi)有腿了，每只兔子就剩下了兩條腿，腿的總數(shù)也就變成了94－352=24（條），那么這24條腿都是砍掉兩條腿后的兔子的腿，所以兔子的只數(shù)就是24247。我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)它的計(jì)算過(guò)程和假設(shè)法中先把所有的都看成雞的做法是一樣的。看完了上面的5種解法，不知你有何感想？你一定會(huì)覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真是一件很有趣的事情，數(shù)學(xué)中充滿了無(wú)窮的奧妙。所以我們面對(duì)困難不能知難而退，反而要迎難而上，只有這樣我們才能從數(shù)學(xué)中獲得更多的學(xué)習(xí)樂(lè)趣。兩次每份數(shù)的差 ②當(dāng)兩次都有余數(shù)； 基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）247。兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。 板塊一、直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題【例 1】 三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng)．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？【解析】 比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：（塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊(duì)員（人）．共有磚：（塊）．【鞏固】 明明過(guò)生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個(gè)同學(xué)去買蛋糕？這個(gè)蛋糕的價(jià)錢是多少？【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差（元），每個(gè)人要多出（元），因此就知道，共有（人），蛋糕價(jià)錢是（元）．【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？【解析】 老猴子的第一種方案盈9個(gè)桃子，第二種方案盈2個(gè)，所以盈虧總和是（個(gè)），兩次分配之差是（個(gè)），由盈虧問(wèn)題公式得，有小猴子：（只），老猴子有（個(gè)）桃子.【鞏固】 有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個(gè)班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？【解析】 由題意知：第一種方案：每人發(fā)5本多出70本；第二種方案：每人發(fā)7本多出10本；兩種方案分配結(jié)果相差：（本），這是因?yàn)閮纱畏峙渲忻咳怂l(fā)的本數(shù)相差：（本），相差60本的學(xué)生有：（人）．練習(xí)本有：（本）（或）．【例 2】 （年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開(kāi)始分配．若大猴分個(gè)，小猴分個(gè)，猴王可留個(gè)．若大、小猴都分個(gè)，猴王能留下個(gè)．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．【詳解】 當(dāng)大猴分個(gè)，小猴分個(gè)時(shí)，猴王可留個(gè)．若大、小猴都分個(gè)，猴王能留下個(gè)．也就是說(shuō)在大猴分個(gè)，小猴分個(gè)后，每只大猴都拿出個(gè)，分給每只小猴個(gè)后，還剩下個(gè)，所以大猴比小猴多只．【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校新買來(lái)一批書(shū)，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請(qǐng)問(wèn)有多少老師？多少本書(shū)？【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差（本），每個(gè)人要多發(fā)（本），因此就知道，共有老師（人），書(shū)有（本）．【鞏固】 幼兒園給獲獎(jiǎng)的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā)9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？【解析】 由題意知：兩次的分配結(jié)果相差：（塊），這是因?yàn)榈谝淮闻c第二次分配中每人相差：（塊），多少人相差12塊呢？（人），糖果數(shù)是：（塊）（或）．【鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問(wèn)兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？【解析】 本題購(gòu)物的兩個(gè)方案，第一個(gè)方案：買7把差110元，第二個(gè)方案：買5把還多30元，從買7把變成買5把，少買了（把），而錢的差額為：（元），即140元可以買2把小提琴，可見(jiàn)小提琴的單價(jià)是每把70元，王老師一共帶了（元）.【鞏固】 工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元．運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？【解析】 本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差（元），即損1個(gè)花瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi)，而且要付出120元．本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好，這樣可得運(yùn)費(fèi)（元）．這樣比實(shí)際多得（元）． 　　 就是因?yàn)橛袚p