【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （秒）。解　?。保?47。（４－１）＝４（秒）　　　　 ４（６－１）＝２０（秒）答：２０秒敲完。例［４］　　同學(xué)們上體育課，有１０個(gè)男生排成一排，相臨兩個(gè)男生相隔１米。問(wèn)這排男生排列的長(zhǎng)度有多少米？分析　　１０個(gè)男生排成一排，有幾個(gè)間隔？和前面一樣，應(yīng)有９個(gè)間隔，也就是９個(gè)１米。解　?。保ǎ保埃保剑梗祝┐穑哼@排男生排列的長(zhǎng)度排有９米。１０米１００米例［５］　　有一條路長(zhǎng)１００米。在路的一側(cè)從頭到尾每隔１０米栽一棵樹(shù)。共栽多少棵樹(shù)？分析　　以１０米為一段，１００米可以分成１０段。由于頭尾都栽，所以栽的棵樹(shù)比分成的段數(shù)多１。解　?。保埃?47。１０＋１＝１１（棵）答：共栽１１棵樹(shù)。例［６］　　一個(gè)圓形的花壇，周長(zhǎng)是１８０米。每隔６米種芍藥花，每相臨兩棵芍藥花之間種兩棵月季花。可以栽多少棵芍藥花？多少棵月季花？分析 1. 花壇的一周以6米為一段，可以分成180247。6=30（段）。由于是圓形，首尾兩棵重合，所以段數(shù)=棵樹(shù)，也就是種30棵芍藥花。2．每?jī)煽蒙炙幓ㄖg種兩棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30個(gè)兩棵。解 芍藥花的棵樹(shù)：180247。6=30（棵）月季花的棵樹(shù)：230=60（棵）答：可以栽30棵芍藥花、60棵月季花。小結(jié) 解上樓梯問(wèn)題就是考慮有幾個(gè)間隔（或幾次），解植樹(shù)問(wèn)題就是考慮有幾段。一、 鋸木頭的時(shí)間、排隊(duì)伍的長(zhǎng)度、時(shí)鐘敲的時(shí)間等，實(shí)際上都是上樓梯問(wèn)題，就是臺(tái)階總數(shù)=每層樓梯的臺(tái)階數(shù)（所達(dá)到的層數(shù)－起點(diǎn)的層數(shù)）。二、 解植樹(shù)問(wèn)題就要弄清有幾段。如：100米的長(zhǎng)度，每10米載一棵樹(shù)，就分成10段。如果排成一排，栽的棵樹(shù)=段數(shù)＋1，即100247。10＋1=11（棵）。如果圍城圓形，栽的棵樹(shù)=段數(shù)，即100247。10=10（棵）。5．雞兔同籠問(wèn)題 基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)； 基本思路： ①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： ②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少； ③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因； ④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。 基本公式： ①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)總頭數(shù)－總腳數(shù)）247。（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)） ②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)）247。（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。 雞兔同籠問(wèn)題的幾種解法雞兔同籠問(wèn)題是我國(guó)古代著名趣題之一。通過(guò)學(xué)習(xí)解雞兔同籠問(wèn)題，可以提高我們的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。下面我來(lái)介紹幾種解雞兔同籠問(wèn)題的方法：例 題大約一千五百年前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)趣題，這就是著名的“雞兔同籠”問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”意思就是：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，問(wèn)雞和兔各有多少只？解法一：列表枚舉法列表枚舉法就是讓我們列出表格，采用依次列舉，逐步嘗試的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)下表：雞35343332……26252423兔0123……9101112腳70727476……88909294用這種方法解題簡(jiǎn)單，容易理解，但過(guò)程太過(guò)笨拙、繁瑣，相信它也不符合你的口味兒吧！解法二：抬 腿 法 這是古人解題的方法，也就是《孫子算經(jīng)》中采用的方法。抬腿，即雞“金雞獨(dú)立”，兔兩個(gè)后腿著地，前腿抬起，腿的數(shù)量就為原來(lái)數(shù)量的一半。94247。2=47只腳。現(xiàn)在雞有一只腳，兔有兩只腳。籠子里只要有一只兔子，腳數(shù)就比頭數(shù)多1。那么腳數(shù)與頭數(shù)的差47－35=12就是兔子的只數(shù)。最后用頭數(shù)減去兔的只數(shù)35－12=23就得出雞的只數(shù)。所以，我們可以總結(jié)出這樣的公式：兔子的只數(shù)=總腿數(shù)247。2－總只數(shù)。解法三：假 設(shè) 法假設(shè)法是雞兔同籠類(lèi)問(wèn)題最常用的方法之一。假設(shè)這35個(gè)頭都是兔子，那么腿數(shù)就應(yīng)該是354=140，就比94還多，那么是哪里多的呢？當(dāng)然是我們把兩條腿的雞看成了四條腿的兔子了。我們都知道一只兔子比一只雞多2條腿，多2條腿就有1只雞，那么多的腿數(shù)當(dāng)中有多少個(gè)2就有多少只雞。我們可以列式為：雞的只數(shù)=（354－94）247。（4－2）?？偨Y(jié)公式為：雞的只數(shù)=（兔的腳數(shù)總只數(shù)－總腿數(shù)）247。（兔的腿數(shù)－雞的腿數(shù)）。當(dāng)然我們也可以把這35個(gè)頭都看成雞的，那么腿數(shù)應(yīng)該是352=70，就比94還少，相信不說(shuō)你也明白為什么少了？對(duì)，因?yàn)槲覀儼?條腿的兔子看成了2條腿的雞，那么每少兩條腿就有1只兔子。所以我們可以這樣列式：兔的只數(shù)=（94－352）247。（4－2）?？偨Y(jié)公式為：兔的只數(shù)=（總腳數(shù)－雞的腳數(shù)總只數(shù)）247。（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）。解法四：方 程 法解法五：砍 腿 法砍腿法是假設(shè)法的深入拓展，它更適合我們小學(xué)生的理解方式，下面我就用這種方法來(lái)解一下這道題。我們首先砍去每只雞、每只兔的兩條腿，這樣每只雞就沒(méi)有腿了，每只兔子就剩下了兩條腿，腿的總數(shù)也就變成了94－352=24（條），那么這24條腿都是砍掉兩條腿后的兔子的腿，所以兔子的只數(shù)就是24247。2=12（只），雞的只數(shù)就是35－12=23（只）。我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)它的計(jì)算過(guò)程和假設(shè)法中先把所有的都看成雞的做法是一樣的。只不過(guò)這種說(shuō)法，我們理解起來(lái)更容易而已?？赐炅松厦娴?種解法，不知你有何感想？你一定會(huì)覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真是一件很有趣的事情，數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)了無(wú)窮的奧妙。我要告訴你：在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些看起來(lái)無(wú)從下手的題，我們不能馬上解決它，那么我們就要積極動(dòng)腦，認(rèn)真思考，嘗試各種方法去解決，這樣你一定能找到解決方法。所以我們面對(duì)困難不能知難而退，反而要迎難而上，只有這樣我們才能從數(shù)學(xué)中獲得更多的學(xué)習(xí)樂(lè)趣。6．盈虧問(wèn)題 基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚?基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量． 知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明：盈虧問(wèn)題的特點(diǎn)是問(wèn)題中每一同類(lèi)量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時(shí)，稱(chēng)之為“虧”，分配有余稱(chēng)之為“盈”；還有些實(shí)際問(wèn)題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時(shí)，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類(lèi)算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問(wèn)題”． 可以得出盈虧問(wèn)題的基本關(guān)系式：(盈虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)(盈盈)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)(虧虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)，不管哪種情況，都是屬于按兩個(gè)數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問(wèn)題”. 基本題型： ①一次有余數(shù)，另一次不足； 基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）247。兩次每份數(shù)的差 ②當(dāng)兩次都有余數(shù)； 基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）247。兩次每份數(shù)的差 ③當(dāng)兩次都不足； 基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）247。兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。 板塊一、直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題【例 1】 三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng)．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？【解析】 比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：（塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊(duì)員（人）．共有磚：（塊）．【鞏固】 明明過(guò)生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買(mǎi)蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個(gè)同學(xué)去買(mǎi)蛋糕？這個(gè)蛋糕的價(jià)錢(qián)是多少？【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差（元），每個(gè)人要多出（元），因此就知道，共有（人），蛋糕價(jià)錢(qián)是（元）．【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？【解析】 老猴子的第一種方案盈9個(gè)桃子，第二種方案盈2個(gè)，所以盈虧總和是（個(gè)），兩次分配之差是（個(gè)），由盈虧問(wèn)題公式得，有小猴子：（只），老猴子有（個(gè)）桃子.【鞏固】 有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個(gè)班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？【解析】 由題意知：第一種方案：每人發(fā)5本多出70本；第二種方案：每人發(fā)7本多出10本；兩種方案分配結(jié)果相差：（本），這是因?yàn)閮纱畏峙渲忻咳怂l(fā)的本數(shù)相差：（本），相差60本的學(xué)生有：（人）．練習(xí)本有：（本）（或）．【例 2】 （年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開(kāi)始分配．若大猴分個(gè)，小猴分個(gè)，猴王可留個(gè)．若大、小猴都分個(gè)，猴王能留下個(gè)．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．【詳解】 當(dāng)大猴分個(gè)，小猴分個(gè)時(shí)，猴王可留個(gè)．若大、小猴都分個(gè)，猴王能留下個(gè)．也就是說(shuō)在大猴分個(gè)，小猴分個(gè)后，每只大猴都拿出個(gè)，分給每只小猴個(gè)后，還剩下個(gè)，所以大猴比小猴多只．【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校新買(mǎi)來(lái)一批書(shū)，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請(qǐng)問(wèn)有多少老師？多少本書(shū)？【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差（本），每個(gè)人要多發(fā)（本），因此就知道，共有老師（人），書(shū)有（本）．【鞏固】 幼兒園給獲獎(jiǎng)的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā)9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？【解析】 由題意知：兩次的分配結(jié)果相差：（塊），這是因?yàn)榈谝淮闻c第二次分配中每人相差：（塊），多少人相差12塊呢？（人），糖果數(shù)是：（塊）（或）．【鞏固】 王老師去琴行買(mǎi)兒童小提琴，若買(mǎi)7把，則所帶的錢(qián)差110元；若買(mǎi)5把，則所帶的錢(qián)還多30元，問(wèn)兒童小提琴多少錢(qián)一把？王老師一共帶了多少錢(qián)？【解析】 本題購(gòu)物的兩個(gè)方案，第一個(gè)方案：買(mǎi)7把差110元，第二個(gè)方案：買(mǎi)5把還多30元，從買(mǎi)7把變成買(mǎi)5把，少買(mǎi)了（把），而錢(qián)的差額為：（元），即140元可以買(mǎi)2把小提琴，可見(jiàn)小提琴的單價(jià)是每把70元，王老師一共帶了（元）.【鞏固】 工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元．運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？【解析】 本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差（元），即損1個(gè)花瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi)，而且要付出120元．本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好，這樣可得運(yùn)費(fèi)（元）．這樣比實(shí)際多得（元）． 　　 就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子，損壞1個(gè)花瓶相差120元．現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個(gè)花瓶．根據(jù)以上分析，可得損壞了（個(gè)）．【例 3】 某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒(méi)有床位；如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，問(wèn)宿舍幾間?住宿生幾人?【解析】 由已知條件 每間5人 少14個(gè)床位 每間7人 多4個(gè)床位比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住人，一共要多出個(gè)床位，根據(jù)兩種方案每間住的人數(shù)的差和床位差，可以求出宿舍間數(shù)，然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù)． 解：(間) (人)，或(人)【鞏固】 學(xué)校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？【解析】 如果30間都是小宿舍，那么只能住（人），而實(shí)際上住了168人．大宿舍比小宿舍每間多?。ㄈ耍源笏奚嵊校ㄩg）．（這是一個(gè)雞兔同籠，放在這里做對(duì)比）【鞏固】 智康學(xué)校三年級(jí)精英班的一部分同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？【解析】 由題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種每人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為：54=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以參與分糖果的同學(xué)的人數(shù)是15247。1=15（位），糖果的粒數(shù)為：415+9=69（粒）.【鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘿卜；如果每天吃6個(gè)，則又少8個(gè)蘿卜．那么小白兔買(mǎi)回的蘿卜有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？【解析】 題中告訴我們每天吃4個(gè)，多出48個(gè)蘿卜；每天吃6個(gè)，少8個(gè)蘿卜．觀察每天吃的個(gè)數(shù)與蘿卜剩余個(gè)數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個(gè)變?yōu)槊刻斐?個(gè)，也就是每天多吃2個(gè)時(shí)，蘿卜從多出48個(gè)到少8個(gè)，也就是所需的蘿卜總數(shù)要相差48＋8＝56（個(gè)）．從這個(gè)對(duì)應(yīng)的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個(gè)2，就是所求的計(jì)劃吃的天數(shù)；有了計(jì)劃吃的天數(shù)，就不難求出共有多少個(gè)蘿卜了．吃的天數(shù)：（48＋8）247。（6－4）＝56247。2＝28（天），蘿卜數(shù)：628－8＝160（個(gè)）或 428＋48＝160（個(gè)）．板塊二、條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問(wèn)題【例 4】 貓媽媽給小貓分魚(yú)，每只小貓分10條魚(yú)，就多出8條魚(yú)，每只小貓分11條魚(yú)則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚(yú)？【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚(yú)，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是（條），由盈虧問(wèn)題公式得，有小貓：（只），貓媽媽有（條）魚(yú)．【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校三年級(jí)基礎(chǔ)班的一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個(gè)就少9個(gè)，如果