【文章內容簡介】 （秒）。解　?。保?47。（４－１）＝４（秒）　　　　 ４（６－１）＝２０（秒）答：２０秒敲完。例［４］　　同學們上體育課，有１０個男生排成一排，相臨兩個男生相隔１米。問這排男生排列的長度有多少米？分析　?。保皞€男生排成一排，有幾個間隔？和前面一樣，應有９個間隔，也就是９個１米。解　?。保ǎ保埃保剑梗祝┐穑哼@排男生排列的長度排有９米。１０米１００米例［５］　　有一條路長１００米。在路的一側從頭到尾每隔１０米栽一棵樹。共栽多少棵樹？分析　　以１０米為一段，１００米可以分成１０段。由于頭尾都栽，所以栽的棵樹比分成的段數多１。解　?。保埃?47。１０＋１＝１１（棵）答：共栽１１棵樹。例［６］　　一個圓形的花壇，周長是１８０米。每隔６米種芍藥花，每相臨兩棵芍藥花之間種兩棵月季花?？梢栽远嗌倏蒙炙幓ǎ慷嗌倏迷录净?？分析 1. 花壇的一周以6米為一段，可以分成180247。6=30（段）。由于是圓形，首尾兩棵重合，所以段數=棵樹，也就是種30棵芍藥花。2．每兩棵芍藥花之間種兩棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30個兩棵。解 芍藥花的棵樹：180247。6=30（棵）月季花的棵樹：230=60（棵）答：可以栽30棵芍藥花、60棵月季花。小結 解上樓梯問題就是考慮有幾個間隔（或幾次），解植樹問題就是考慮有幾段。一、 鋸木頭的時間、排隊伍的長度、時鐘敲的時間等，實際上都是上樓梯問題，就是臺階總數=每層樓梯的臺階數（所達到的層數－起點的層數）。二、 解植樹問題就要弄清有幾段。如：100米的長度，每10米載一棵樹，就分成10段。如果排成一排，栽的棵樹=段數＋1，即100247。10＋1=11（棵）。如果圍城圓形，栽的棵樹=段數，即100247。10=10（棵）。5．雞兔同籠問題 基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來； 基本思路： ①假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： ②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少； ③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因； ④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現(xiàn)的差。 基本公式： ①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數總頭數－總腳數）247。（兔腳數－雞腳數） ②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數總頭數）247。（兔腳數一雞腳數） 關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。 雞兔同籠問題的幾種解法雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一。通過學習解雞兔同籠問題，可以提高我們的分析問題、解決問題的能力。下面我來介紹幾種解雞兔同籠問題的方法：例 題大約一千五百年前，我國古代數學名著《孫子算經》中記載了一道數學趣題，這就是著名的“雞兔同籠”問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”意思就是：籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳，問雞和兔各有多少只？解法一：列表枚舉法列表枚舉法就是讓我們列出表格，采用依次列舉，逐步嘗試的方法來解決這個問題。詳細過程見下表：雞35343332……26252423兔0123……9101112腳70727476……88909294用這種方法解題簡單，容易理解，但過程太過笨拙、繁瑣，相信它也不符合你的口味兒吧！解法二：抬 腿 法 這是古人解題的方法，也就是《孫子算經》中采用的方法。抬腿，即雞“金雞獨立”，兔兩個后腿著地，前腿抬起，腿的數量就為原來數量的一半。94247。2=47只腳。現(xiàn)在雞有一只腳，兔有兩只腳。籠子里只要有一只兔子，腳數就比頭數多1。那么腳數與頭數的差47－35=12就是兔子的只數。最后用頭數減去兔的只數35－12=23就得出雞的只數。所以，我們可以總結出這樣的公式：兔子的只數=總腿數247。2－總只數。解法三：假 設 法假設法是雞兔同籠類問題最常用的方法之一。假設這35個頭都是兔子，那么腿數就應該是354=140，就比94還多，那么是哪里多的呢？當然是我們把兩條腿的雞看成了四條腿的兔子了。我們都知道一只兔子比一只雞多2條腿，多2條腿就有1只雞，那么多的腿數當中有多少個2就有多少只雞。我們可以列式為：雞的只數=（354－94）247。（4－2）?？偨Y公式為：雞的只數=（兔的腳數總只數－總腿數）247。（兔的腿數－雞的腿數）。當然我們也可以把這35個頭都看成雞的，那么腿數應該是352=70，就比94還少，相信不說你也明白為什么少了？對，因為我們把4條腿的兔子看成了2條腿的雞，那么每少兩條腿就有1只兔子。所以我們可以這樣列式：兔的只數=（94－352）247。（4－2）。總結公式為：兔的只數=（總腳數－雞的腳數總只數）247。（兔的腳數－雞的腳數）。解法四：方 程 法解法五：砍 腿 法砍腿法是假設法的深入拓展，它更適合我們小學生的理解方式，下面我就用這種方法來解一下這道題。我們首先砍去每只雞、每只兔的兩條腿，這樣每只雞就沒有腿了，每只兔子就剩下了兩條腿，腿的總數也就變成了94－352=24（條），那么這24條腿都是砍掉兩條腿后的兔子的腿，所以兔子的只數就是24247。2=12（只），雞的只數就是35－12=23（只）。我們仔細觀察會發(fā)現(xiàn)它的計算過程和假設法中先把所有的都看成雞的做法是一樣的。只不過這種說法，我們理解起來更容易而已?？赐炅松厦娴?種解法，不知你有何感想？你一定會覺得學習數學真是一件很有趣的事情，數學中充滿了無窮的奧妙。我要告訴你：在我們的數學學習中經常會遇到一些看起來無從下手的題，我們不能馬上解決它，那么我們就要積極動腦，認真思考，嘗試各種方法去解決，這樣你一定能找到解決方法。所以我們面對困難不能知難而退，反而要迎難而上，只有這樣我們才能從數學中獲得更多的學習樂趣。6．盈虧問題 基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量． 基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量． 知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”． 可以得出盈虧問題的基本關系式：(盈虧)兩次分得之差人數或單位數(盈盈)兩次分得之差人數或單位數(虧虧)兩次分得之差人數或單位數，不管哪種情況，都是屬于按兩個數的差求未知數的“盈虧問題”. 基本題型： ①一次有余數，另一次不足； 基本公式：總份數＝（余數＋不足數）247。兩次每份數的差 ②當兩次都有余數； 基本公式：總份數＝（較大余數一較小余數）247。兩次每份數的差 ③當兩次都不足； 基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）247。兩次每份數的差 基本特點：對象總量和總的組數是不變的。 關鍵問題：確定對象總量和總的組數。 板塊一、直接計算型盈虧問題【例 1】 三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？【解析】 比較兩種搬磚法中各個量之間的關系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數：（塊），每人相差1塊，結果總數就相差9塊，所以有少先隊員（人）．共有磚：（塊）．【鞏固】 明明過生日，同學們去給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差（元），每個人要多出（元），因此就知道，共有（人），蛋糕價錢是（元）．【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？【解析】 老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧總和是（個），兩次分配之差是（個），由盈虧問題公式得，有小猴子：（只），老猴子有（個）桃子.【鞏固】 有一批練習本發(fā)給學生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個班有多少學生，多少練習本呢？【解析】 由題意知：第一種方案：每人發(fā)5本多出70本；第二種方案：每人發(fā)7本多出10本；兩種方案分配結果相差：（本），這是因為兩次分配中每人所發(fā)的本數相差：（本），相差60本的學生有：（人）．練習本有：（本）（或）．【例 2】 （年“走進美妙的數學花園”初賽）猴王帶領一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分個，小猴分個，猴王可留個．若大、小猴都分個，猴王能留下個．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．【詳解】 當大猴分個，小猴分個時，猴王可留個．若大、小猴都分個，猴王能留下個．也就是說在大猴分個，小猴分個后，每只大猴都拿出個，分給每只小猴個后，還剩下個，所以大猴比小猴多只．【鞏固】 學而思學校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差（本），每個人要多發(fā)（本），因此就知道，共有老師（人），書有（本）．【鞏固】 幼兒園給獲獎的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā)9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？【解析】 由題意知：兩次的分配結果相差：（塊），這是因為第一次與第二次分配中每人相差：（塊），多少人相差12塊呢？（人），糖果數是：（塊）（或）．【鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？【解析】 本題購物的兩個方案，第一個方案：買7把差110元，第二個方案：買5把還多30元，從買7把變成買5把，少買了（把），而錢的差額為：（元），即140元可以買2把小提琴，可見小提琴的單價是每把70元，王老師一共帶了（元）.【鞏固】 工人運青瓷花瓶250個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元．運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？【解析】 本題中“損壞一個倒賠100元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞1個花瓶相差（元），即損1個花瓶不但得不到20元的運費，而且要付出120元．本例可假設250個花瓶都完好，這樣可得運費（元）．這樣比實際多得（元）． 　　 就是因為有損壞的瓶子，損壞1個花瓶相差120元．現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個花瓶．根據以上分析，可得損壞了（個）．【例 3】 某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人?【解析】 由已知條件 每間5人 少14個床位 每間7人 多4個床位比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住人，一共要多出個床位，根據兩種方案每間住的人數的差和床位差，可以求出宿舍間數，然后根據已知條件可求出住宿生人數． 解：(間) (人)，或(人)【鞏固】 學校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？【解析】 如果30間都是小宿舍，那么只能?。ㄈ耍鴮嶋H上住了168人．大宿舍比小宿舍每間多?。ㄈ耍?，所以大宿舍有（間）．（這是一個雞兔同籠，放在這里做對比）【鞏固】 智康學校三年級精英班的一部分同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？【解析】 由題目條件知道，同學的人數與糖果的粒數不變，比較兩種分配方案，第一種每人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于兩種方案分配數不同，兩次分配數之差為：54=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以參與分糖果的同學的人數是15247。1=15（位），糖果的粒數為：415+9=69（粒）.【鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？【解析】 題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘿卜；每天吃6個，少8個蘿卜．觀察每天吃的個數與蘿卜剩余個數的變化就能看出，由每天吃4個變?yōu)槊刻斐?個，也就是每天多吃2個時，蘿卜從多出48個到少8個，也就是所需的蘿卜總數要相差48＋8＝56（個）．從這個對應的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個2，就是所求的計劃吃的天數；有了計劃吃的天數，就不難求出共有多少個蘿卜了．吃的天數：（48＋8）247。（6－4）＝56247。2＝28（天），蘿卜數：628－8＝160（個）或 428＋48＝160（個）．板塊二、條件關系轉換型盈虧問題【例 4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是（條），由盈虧問題公式得，有小貓：（只），貓媽媽有（條）魚．【鞏固】 學而思學校三年級基礎班的一部分同學分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果