【正文】 目 錄1．和差倍問題 ……………………………………………………… 32．年齡問題的三個基本特征 ……………………………………… 73．歸一問題的基本特點 …………………………………………… 204．植樹問題 ………………………………………………………… 245．雞兔同籠問題 …………………………………………………… 296．盈虧問題 ………………………………………………………… 337．牛吃草問題 ……………………………………………………… 638．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 …………………………………………… 709．平均數(shù) …………………………………………………………… 7710．抽屜原理 …………………………………………………………8711．定義新運算 ………………………………………………………9312．數(shù)列求和 …………………………………………………………10213．二進制及其應用 …………………………………………………11014．加法乘法原理和幾何計數(shù) ………………………………………12815．質(zhì)數(shù)與合數(shù) ………………………………………………………1371約數(shù)與倍數(shù) ………………………………………………………16417．數(shù)的整除 …………………………………………………………17418．余數(shù)及其應用 ……………………………………………………18619．余數(shù)、同余與周期 ………………………………………………20520．分數(shù)與百分數(shù)的應用 ……………………………………………21421．分數(shù)大小的比較 …………………………………………………23822．分數(shù)拆分 …………………………………………………………25023．完全平方數(shù) ………………………………………………………26224．比和比例 …………………………………………………………26825．綜合行程 …………………………………………………………28926．工程問題 …………………………………………………………30127．邏輯推理 …………………………………………………………32428．幾何面積 …………………………………………………………35029．立體圖形 …………………………………………………………38430．時鐘問題—快慢表問題 …………………………………………3961．和差倍問題 和差問題 和倍問題 差倍問題 已知條件 幾個數(shù)的和與差 幾個數(shù)的和與倍數(shù) 幾個數(shù)的差與倍數(shù) 公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 公式 ①(和－差)247。2=較小數(shù) 較小數(shù)＋差=較大數(shù) 和－較小數(shù)=較大數(shù) ②(和＋差)247。2=較大數(shù) 較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù) 和247。(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 和－小數(shù)=大數(shù) 差247。(倍數(shù)1)=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)＋差=大數(shù) 關(guān)鍵問題 求出同一條件下的 和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù) 和差倍問題應用題一籃蘋果比一籃桔子重40千克，蘋果重量是桔子的5倍，蘋果、桔子各有多少千克？山坡上有一群羊，其中有綿羊和山羊。已知綿羊比山羊的3倍多55只，已知綿羊比山羊多345只，兩種羊各有多少只？育才小學參加科技小組的同學比參加合唱隊的4倍少45人，參加科技小組的同學比合唱隊的人數(shù)多105人，求參加科技小組同學和參加合唱隊的人數(shù)各有多少人？小芳課外書的本數(shù)是小強課外書本數(shù)的3倍。如果小芳借給小強10本書，小強書的本數(shù)等于小芳的3倍。小芳和小強各有課外書多少本？甲倉庫存大米500袋，乙倉庫存大米200袋，現(xiàn)從兩個倉庫里運走同樣袋數(shù)的大米，結(jié)果甲倉庫剩下大米正好是乙倉庫剩下大米的3倍。問從兩個倉庫里各運走多少袋大米？一個車間，女工比男工少35人，男女工各調(diào)出17人后，男工人數(shù)是女工人數(shù)的2倍。原有男工、女工各多少人？甲、乙兩數(shù)的差及商都等于6，那么甲、乙兩數(shù)的和等于多少？某車間男工人數(shù)是女工人數(shù)的2倍，若調(diào)走18個男工，那么女工人數(shù)是男工人數(shù)的兩倍，這個車間有女工多少人？有兩缸金魚，如果從甲缸中取出5條放入乙缸，兩缸內(nèi)的金魚數(shù)相等。已知原來甲缸的金魚數(shù)是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金魚多少條？兩筐重量相等的蘋果，甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克以后，甲筐余下的千克數(shù)是乙筐的3倍，兩筐蘋果各有多少千克？1一天，A、B、C三個釣魚協(xié)會的會員去郊外釣魚，已知A比B多釣6條，C釣的魚是A的2倍，比B多釣22條，他們一共釣了多少條魚？1某小隊隊員提一籃蘋果和梨子到敬老院去慰問，每次從籃里取出2個梨子、5個蘋果送給老人，最后剩下11個蘋果，梨子正好分完。這時他們才想起原來蘋果數(shù)是梨子的3倍。問籃內(nèi)原有蘋果、梨子各多少個？1將較大數(shù)的小數(shù)點向左移動一位，就等于較小數(shù)。較大的數(shù)是多少？較小的數(shù)是多少？ 1已知兩個數(shù)的商是4，這兩個數(shù)的差是39，那么這兩個數(shù)中較小的一個數(shù)是多少？ 1甲、乙兩數(shù)的差是9，甲數(shù)的1/6和乙數(shù)的1/4相等，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？ 1 育紅小學原來參加室外活動的人數(shù)比室內(nèi)的人數(shù)多480人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的50人改為室外活動，這樣室外活動的人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的5倍，參加室內(nèi)、室外活動的共有多少人？ 1四個數(shù)依次相差1/80，它們的比是1：3：5：7，求這四個數(shù)的和。 1 小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明的2倍？ 1有兩筐蘋果，如果從第一筐拿出9個放到第二筐，兩筐蘋果個數(shù)相等；如果從第二筐拿出12個放到第一筐，則第一筐蘋果的個數(shù)等于第二筐的2倍。原來每筐各有幾個蘋果？ 某車間男工人數(shù)是女工人數(shù)的兩倍，若調(diào)走18個男工，那么女工數(shù)是男工人數(shù)的兩倍。這個車間的女工有多少人？ 2 大、小兩個水池都未注滿水，如果從小池抽水將大池注滿，則小池還剩水10噸；如果從大池抽水將小池注滿，則大池還剩水20噸，兩池水共有多少噸？ 2．年齡問題的三個基本特征：①兩個人的年齡差是不變的； ②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的； ③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的； 年 齡 問 題教學目標：本講主要學習三種類型的年齡問題：理解掌握可以轉(zhuǎn)化為和差問題的年齡問題；理解掌握可以轉(zhuǎn)化為和倍問題的年齡問題；理解掌握可以轉(zhuǎn)化為差倍問題的年齡問題．理解特殊形式的年齡問題，解決實際問題。本章內(nèi)容主要圍繞年齡問題進行展開分析，通過本章知識的學習，要求同學們能熟練運用和差、和倍、差倍的知識以及圖示法計算有關(guān)年齡問題．知識點講解：根據(jù)以上題目，我們得出年齡問題的三大規(guī)律： 兩人的年齡差是不變的； 兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量； 隨著時間的推移，兩人的年齡都是增加相等的量．解答年齡問題的一般方法是：　　幾年后年齡=大小年齡差247。倍數(shù)差小年齡，　　幾年前年齡=小年齡大小年齡差247。倍數(shù)差.【例1】 姐姐、妹妹二人的年齡和是33歲，四年后姐姐比妹妹大5歲．那么今年姐姐和妹妹各是多少歲?分析：四年后姐姐比妹妹大5歲，意味著今年姐姐比妹妹大5歲，由于今年二人的年齡和是33歲，所以用和差問題的方法：姐姐的年齡：(33＋5)247。2＝19(歲)， 妹妹的年齡：(33－5)247。2＝14(歲)前鋪：小傲爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲；五年后，？分析: 五年后，爸比媽大6歲，、“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”的和差問題。所以爸爸年齡：（72+6）247。2=39（歲），媽媽的年齡：396=33（歲）【例2】 甲、乙、丙三人平均年齡為42歲，若將甲的歲數(shù)增加7，乙的歲數(shù)擴大2倍，丙的歲數(shù)縮小2倍，則三人歲數(shù)相等，丙的年齡為多少歲？ 分析：甲增加7歲后，三人總年齡是423+7＝133歲，并且這時丙是甲的2倍，甲是乙的2倍，丙是乙的4倍，所以這時乙的年齡是(423+7)247。(1+2+4)=(423+7) 247。7=19 (歲)，所以丙的年齡是194=76(歲)[鞏固] 今年甲、乙、丙、丁四個人的年齡之和是64歲，甲21歲時，乙17歲；今年甲18歲，丙的年齡是丁的3倍．問丁今年的年齡?分析：由“甲21歲時，乙17歲”可以推知甲比乙大4歲，因此當甲18歲時，乙就是14歲．由于甲、乙、丙、丁四個人的年齡之和是64歲，甲，18歲，乙14歲，故丙和丁的年齡和就是64－14－18＝32(歲)．因為丙的年齡是丁的3倍，剩下的問題是個和倍問題．以丁的年齡作為1倍量，丙的年齡就是3倍量，從而兩個人的年齡和32歲，就是4倍量，因此1倍量的大小即丁的年齡是：32247。4＝8(歲)．【例3】 姐姐與妹妹3年后的年齡和是33歲，妹妹今年的年齡等于兩人的年齡差，姐姐今年多少歲？分析：今年姐姐和妹妹的年齡和是：33（32）=27（歲），妹妹今年的年齡等于兩人的年齡差，實際上姐姐是妹妹年齡的2倍，也就是姐妹二人的年齡和是妹妹今年年齡的3倍，所以，妹妹的年齡是：27247。3=9（歲），姐姐今年是：279=18（歲）.[拓展]哥哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當年年齡的3倍，哥哥當年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲．問：哥哥現(xiàn)在多少歲？分析：假設(shè)弟弟當年年齡是1份，那么哥哥現(xiàn)在的年齡就是3份，因為哥哥當年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，因為弟弟當年年齡，弟弟現(xiàn)在年齡（＝哥哥當年年齡），哥哥現(xiàn)在年齡這三個數(shù)是等差的，所以弟弟現(xiàn)在年齡（＝哥哥當年年齡）就剛好是2份，那么兄弟現(xiàn)在的年齡和是3＋2＝5份，一份就是30247。5＝6，哥哥現(xiàn)在是63＝18歲．【例4】 兄弟倆都有點傻，以為只有自己過一年長一歲而別人不會長大．有一天，哥哥對弟弟說：“再過3年我的年齡就是你的2倍．”弟弟說：“不對，再過3年我和你一樣大．”這時他們倆各幾歲？分析：通過“弟弟說：‘不對，再過3年我和你一樣大．’”知道哥哥比弟弟大3歲，再通過“哥哥對弟弟說：‘再過3年我的年齡就是你的2倍．’”哥哥現(xiàn)在比弟弟大6歲，這樣得出弟弟是6歲，哥哥是6＋3＝9歲．[拓展] 甲對乙說：“我在你這么大歲數(shù)的時候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的一半．”乙對甲說：“我到你這么大歲數(shù)的時候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的2倍減7．”問：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲？　　分析: 從已知條件中可以看出甲比乙年齡大，甲乙年齡差這是一個不變的量．甲對乙說“我在你這么大歲數(shù)的時候”，意思是說幾年以前．這幾年就是甲乙的年齡差．因此，甲整句話可理解為：乙今年的歲數(shù)，減去年齡差，正好是甲今年歲數(shù)的一半．即，乙今－年齡差＝甲今的一半 （1）乙對甲說“我到你這么大歲數(shù)的時候”，意思是說幾年后．因此，乙整句話可理解為：甲今年的歲數(shù)，加上年齡差，正好是乙今年歲數(shù)的2倍減去7．即 甲今＋年齡差＝2乙今－7 （2）　　把甲乙的對話用下圖表示為：　　由（1）得甲今＝2乙今－2年齡差 （3）　　由（2）得 甲今＝2乙今－7－年齡差 （4）　　由（3）（4）年齡差＝7（歲）　　從上圖不難看出，甲現(xiàn)在的年齡是乙?guī)啄昵澳挲g的2倍，1倍相當于2個年齡差，2倍相當于4個年齡差，乙現(xiàn)在的年齡相當3個年齡差．乙?guī)啄旰蟮哪挲g和甲現(xiàn)在的年齡相等，所以乙?guī)啄旰笙喈?個年齡差．甲幾年后的年齡比乙?guī)啄旰蟮哪挲g多一個年齡差，正好是7歲，從而得出年齡差是7歲．乙現(xiàn)在年齡： 73＝21（歲），甲現(xiàn)在年齡： 74＝28（歲）【例5】 三名男青年王強、張勝、李明和三名女青年芳芳、麗麗、蓉蓉這六個人是三對兄妹，哥哥比妹妹都大5歲，王強比芳芳大1歲，王強與麗麗的年齡和為48歲，張勝與麗麗的年齡和為52，他們六人中各對兄弟妹分別是誰和誰？(只寫出答案，不列式)分析：由于哥哥比妹妹大5歲，兩人年齡之和一定是奇數(shù)，所以王強與麗麗又不是兄妹，張勝與麗麗也不是兄妹．又因為王強只比芳芳大一歲，因而也不是兄妹，所以王強與蓉蓉是兄妹，從而張勝與芳芳是兄妹，剩下李明與麗麗是兄妹．用圖表法解釋如下：【例6】 全家4口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲．四年前他們?nèi)业哪挲g和為58歲，而現(xiàn)在是73歲．問：現(xiàn)在各人的年齡是多少？分析：73－58＝15≠44，我們知道四個人四年應該增長了44＝16歲，但實際上只增長了15歲，為什么呢？是因為在4年前，弟弟還沒有出生，那么弟弟今年應該是幾歲呢？我們可以這樣想：父親、母親、姐姐三個人4年增長了12歲，15－12＝3，3就是弟弟的年齡！那么很快能得到姐姐是3＋2＝5歲，父母今年的年齡和是73－3－5＝65歲，根據(jù)和差問題，就可以得到父親是（65＋3）247。2＝34歲，母親是65－34＝31歲．【例7】 今年小華9歲，爸爸33歲，那么再過多少年小華的歲數(shù)是爸爸歲數(shù)的一半?分析：今年小華比爸爸小33－9＝24歲，那么小華永遠比爸爸小24歲．幾年后小華是爸爸歲數(shù)的一半時，即爸爸年齡是小華的2倍時，爸爸仍比小華大24歲．這是個差倍問題．以小華的年齡作為1倍量，爸爸年齡是2倍量，所以爸爸比小華大的歲數(shù)也是1倍量，即1倍量代表著24歲．所以小華24歲時年齡是爸爸年齡的一半，因此再過24－9＝15(年)小華的歲數(shù)是爸爸的一半．[拓展]媽媽今年35歲，恰好是女兒年齡的7倍，多少年后，媽媽的年齡恰好是女兒的3倍？分析：女兒今年的年齡35247。7=5（歲），母女年齡差是：355=30（歲），當媽媽的年齡是女兒的3倍時，女兒的年齡是：30247。（31）=15（歲），所以要經(jīng)過：155=10（年）【例8】 今年是1996年。父母的年齡和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。4年后，父親的年齡是