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【正文】 三下 解決問(wèn)題 構(gòu)建用連乘、連除解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 四上 積的變化規(guī)律 構(gòu)建積的變化規(guī)律中的兩大數(shù)學(xué)模型 四上 商的變化 規(guī)律 構(gòu)建商的變化規(guī)律中的三大數(shù)學(xué)模型 四上 烙餅問(wèn)題 烙餅所需時(shí)間 =每面烙熟時(shí)間數(shù)量（ 2張及以上） 四下 運(yùn)算定律 構(gòu)建 5個(gè)運(yùn)算定律的數(shù)學(xué)模型 四下 三角形邊的關(guān)系 構(gòu)建“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的數(shù)學(xué)模型 四下 三角形的內(nèi)角和 構(gòu)建“三角形內(nèi)角和是 1800”的數(shù)學(xué)模型 四下 植樹(shù)問(wèn)題 構(gòu)建“兩端都種”、“一端種一端不種”和“兩端都不 種”的數(shù)學(xué)模型 五上 多邊形的面積 構(gòu)建平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式 五下 長(zhǎng)方體和正方體 構(gòu)建長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式 五下 打電話 到第 n分鐘所有接到通知的隊(duì)員總數(shù)是（ 2n1）人 六上 折扣、納稅、利率 建立三種數(shù)量關(guān)系式 六上 圓的面積 構(gòu)建圓的面積計(jì)算公式 六下 圓柱、圓錐的體積 構(gòu)建圓柱、圓錐的面積計(jì)算公式 六下 抽屜原理 把多于 kn個(gè)物體任意分放進(jìn) n個(gè)空抽屜里（ k是正整數(shù) ） ，那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少 (k+1)個(gè)物體 然后在做這個(gè)課題的研究過(guò)程中，我的認(rèn)識(shí)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，其中張奠宙教授的觀點(diǎn)對(duì)我的影響力是最大的。他認(rèn)為：“數(shù)學(xué)模型，是指將一類事物或運(yùn)動(dòng)過(guò)程， 21 用數(shù)學(xué)概念、公式以及邏輯關(guān)系從數(shù)量上加以描述，使人們能更深刻 、更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)其數(shù)量關(guān)系，把握其特征。數(shù)學(xué)的發(fā)展是伴隨著對(duì)數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)的擴(kuò)大和深入而進(jìn)行的。人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)，產(chǎn)生了算術(shù)，而算術(shù)正是計(jì)算盈虧、分享獵物等實(shí)際問(wèn)題的模型，實(shí)數(shù)是度量的數(shù)學(xué)模型，幾何學(xué)則是物體外形的數(shù)學(xué)模型等等?！睆埖熘娼淌谠凇稇?yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模》一文中寫(xiě)道：“就許多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，本身就是一種數(shù)學(xué)模型：自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過(guò)程的數(shù)學(xué)模型；分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；元角分的計(jì)算模型是小數(shù)的運(yùn)算 ?? 在這個(gè)意義上，我們每堂數(shù)學(xué)課都在建立數(shù)學(xué)模型。 ” 與技巧。 建模 需要一個(gè)過(guò)程，比如：學(xué)生“提出問(wèn)題或猜想 —— 舉例驗(yàn)證 —— 自我反思 —— 完善規(guī)律 —— 建立模型”，這不僅是一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)、構(gòu)建模型的過(guò)程，更是一個(gè)創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過(guò)程，是學(xué)生漸漸形成自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)（知識(shí)模型）的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，主要的方法有：直觀演示法、 數(shù)型結(jié)合法、示意圖法、 還“原型 ”法、制作法、 描述法、轉(zhuǎn)化法、結(jié)構(gòu)圖法等。 建模中的“巧”，是那樣的另人稱奇、耳目一新的感覺(jué)。如“十棵樹(shù)栽五行，要求每行 4棵，怎么栽？”這樣的問(wèn)題巧 妙 聯(lián)想到五角星（模型）； 當(dāng)年，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉面對(duì)哥斯尼堡 “ 七橋問(wèn)題 ” 時(shí)， 巧妙地將陸地看成點(diǎn)，將橋看成線，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線相連的數(shù)學(xué)一筆畫(huà)問(wèn)題 ；巧用作圖建模的方法解決雞兔同籠的問(wèn)題；巧用小正方形塊數(shù)拼湊大長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的建模方法來(lái)確定塊數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。當(dāng)我們還為這樣的“巧”贊嘆不已時(shí)，應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到建模的“巧”是沒(méi)有現(xiàn)成的什么方法，只能是依賴熟能生巧，希望在量的積累過(guò)程中有瞬時(shí)的頓悟和靈感。但在實(shí)際數(shù)學(xué)建模中，應(yīng)把握以下幾 點(diǎn)：（ 1）建模的主體是學(xué)生；（ 2）建模要求的定位是“經(jīng)歷”，不是掌握；（ 3）建模的形式是多種多樣的，不同的學(xué)生可以建立不同的模型； (4) 模型的 價(jià)值 取向是簡(jiǎn)潔 實(shí)用； (5)建模的要求不能太高；突出教師在建模中的指導(dǎo)作用。 8 篇論文案例。 在課題研究過(guò)程中，課題組教師不斷思考，不斷總結(jié)，提煉聚焦，撰寫(xiě)教學(xué)案例、教學(xué)論文共 8 篇： 序號(hào) 成果名稱 作者 姓名 成果形式 獎(jiǎng)項(xiàng)級(jí)別或發(fā)表報(bào)刊 1 《滲透數(shù)學(xué)思想 促進(jìn)思維發(fā)展 —— 以教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”為例》 陳葉波 論文 慈溪市“強(qiáng)師導(dǎo)學(xué)工程”義務(wù)段名特教師、學(xué)科骨干學(xué)科教學(xué)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)（ ） 22 2 《在繼承中發(fā)展 —— 解決問(wèn)題教學(xué)策略例談》 陳葉波 論文 中國(guó)教育學(xué)會(huì) 23次年會(huì)優(yōu)秀論文評(píng)比 三等獎(jiǎng) （ ） 3 《風(fēng)雨過(guò)后有陽(yáng)光 —— “可能性大小練習(xí)課”成長(zhǎng)記》 陳葉波 案例 《慈溪課改實(shí)驗(yàn)通訊》 2021年12月總第 45期 4 《風(fēng)雨過(guò)后有陽(yáng)光 —— “可能性大小練習(xí)課”成長(zhǎng)記》 陳葉波 案例 《教育研究與評(píng)論》 2021年第 3期 （ ） 5 《滲透數(shù)學(xué)思想 促進(jìn)思維發(fā)展 —— 以數(shù)形結(jié)合思想的課堂運(yùn)用為例》 陳葉波 論文 《輔導(dǎo)員》教學(xué)研究下旬刊 2021年第 5期 6 《以“形”促悟，有效建“型”》 陳葉波 論文 慈溪市中小學(xué)學(xué)科教研論文評(píng)選二等獎(jiǎng)（ ） 7 《“可能 性大小練習(xí)課”課堂實(shí)錄》 陳葉波 課堂實(shí)錄 《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》 2021年第 8期合刊 8 《以形助數(shù) 有效建?！? 陳葉波 論文 《山東教育》 2021年第 31期 9 《以形助數(shù) 有效建?！? 陳葉波 論文 慈溪市 2021－ 2021年度教育教學(xué)優(yōu)秀論文（論著） 評(píng)比一等 獎(jiǎng) 10 《例談小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的應(yīng)用研 究》 陳葉波 論文 《山東教育》 2021 第 7 期 七、研究結(jié)論 要在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生有效地滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，必須對(duì)“數(shù)學(xué)建模教學(xué)”有客觀的認(rèn)識(shí)。應(yīng)該指出的是，上面所說(shuō)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“建模教學(xué)”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的有機(jī)結(jié)合，并不等于小學(xué)數(shù)學(xué)的全部知識(shí)都要進(jìn)行“建模教學(xué)”。那些與實(shí)際聯(lián)系不當(dāng)，不顧數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，不顧學(xué)生年齡特點(diǎn)，超越學(xué)生的接受能力，不考慮教學(xué)效果，一味追求“模型化”的做法，有違“建模教學(xué)”的初衷，應(yīng)該摒棄。只有有目的、有選擇地進(jìn)行建模教學(xué)，才能使“建模教學(xué)”充滿活力，發(fā)揮其應(yīng)有的效益。 （一）建模教學(xué)要處理好“生活”與“數(shù)學(xué)”的關(guān)系 生活畢竟是生活，比較寬松，而數(shù)學(xué)又實(shí)在是太嚴(yán)謹(jǐn)了，弄得不好，也會(huì)產(chǎn)生負(fù)面效應(yīng)。學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活為學(xué)生 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了廣闊的經(jīng)驗(yàn)背景，但由于學(xué)生認(rèn)識(shí)的局限，這些表象有的是正確的，也有模糊的、片面的甚至是錯(cuò)誤的，不能等同于科學(xué)知識(shí)，必須要通過(guò)課堂教學(xué)幫助學(xué)生去偽存真，將感性上升為理性形成科學(xué)的認(rèn)識(shí)。任何事物都是一分為二的，有利有弊，只有揚(yáng)長(zhǎng)避短，恰如其分地將生活現(xiàn)象與數(shù)學(xué)問(wèn)題溝通，才能更好地發(fā)揮其教學(xué)效益。 （二）建模教學(xué)要處理好知識(shí)與能力的關(guān)系 23 建模思想是蘊(yùn)含于知識(shí)教學(xué)之中，而不是獨(dú)立于數(shù)學(xué)教學(xué)之外的。不能把基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)、智力的開(kāi)發(fā)、建模思想的滲透與學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)分割開(kāi)來(lái)，對(duì)立起來(lái)。在教學(xué)中，既要重視知 識(shí)的傳授、智力的開(kāi)發(fā)，又要重視學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力的培養(yǎng)；既要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，又要重視知識(shí)的來(lái)源與應(yīng)用教育；既要突出知識(shí)結(jié)構(gòu)，又要注意縮短數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的距離；既要使學(xué)生成為一個(gè)解題高手，又要使學(xué)生成為一個(gè)具有豐富的觀察生活意識(shí)與解決身邊簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力的生活強(qiáng)者。 （三）建模教學(xué)要適應(yīng)兒童的認(rèn)知水平 兒童從出生到成人，他們的身心經(jīng)歷著一個(gè)發(fā)展的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，每一個(gè)年齡階段都表現(xiàn)出與其他年齡階段相區(qū)別的一些典型的特征，所以，密切數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，要符合小學(xué)生的 認(rèn)知特點(diǎn)與心理發(fā)展的規(guī)律，要根據(jù)學(xué)生不同的年齡特征，逐步向?qū)W生滲透建模思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力。情境的創(chuàng)設(shè)要符合兒童的生活，才能激起兒童的共鳴，收到好的效果。如果把成人的生活閱歷強(qiáng)加在小學(xué)生身上，將成人的生活經(jīng)驗(yàn)與小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)一個(gè)“拉郎配”，其結(jié)果將會(huì)是適得其反，越“聯(lián)系”越糊涂。 （四） 建模教學(xué)不等同于應(yīng)用題教學(xué) 在探索小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用題教學(xué)的關(guān)系上，存在著一種誤區(qū)，即把小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用題教學(xué)等同起來(lái)。其原因是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)建模認(rèn)識(shí)模糊。應(yīng)用題是具有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要正確理 解題意，解題方向是明確的。而數(shù)學(xué)建模，從 “ 實(shí)際素材 ” 上升為 “ 數(shù)學(xué)問(wèn)題 ” ，必須經(jīng)過(guò)二次飛躍。先是將搜集來(lái)的 “ 實(shí)際素材 ” ( 如信息、數(shù)據(jù)等 )經(jīng)過(guò)篩選、整理、集中、概括為一個(gè) “ 實(shí)際問(wèn)題 ” ， 而后將 “ 實(shí)際問(wèn)題 ” 經(jīng)合理假設(shè)、抽象、選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)構(gòu)造，使之成為 “ 數(shù)學(xué)問(wèn)題 ” 。這二次飛躍是從 “ 量 ” 到 “ 質(zhì) ” 的飛躍， 它要求學(xué)生創(chuàng)造 “ 自己的 ” 數(shù)學(xué)知識(shí)，在解決問(wèn)題中探究數(shù)學(xué)真理，它是動(dòng)態(tài)的。 應(yīng)用題教學(xué) 與 數(shù)學(xué)建模二者 之間既有 聯(lián)系 又有 區(qū)別。 如何把 數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)向“ 數(shù)學(xué)建模 ” 過(guò)渡， 是新課程改革的內(nèi)容之一。 八、問(wèn)題與展望 建模 具有兩面性。直觀、形象、簡(jiǎn)潔的一面有利于學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，但固定、模式化的另一面，則限制人的思維。如現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不再十分嚴(yán)格地要求對(duì)公式、定律固定化表述的記憶，而主張學(xué)生 24 通過(guò)個(gè)體的理解用個(gè)性化的語(yǔ)言描述。應(yīng)用題教學(xué)中也不再突出數(shù)量關(guān)系式，而注重解決問(wèn)題策略的多樣性。那么如何揚(yáng)其所長(zhǎng)，避其所短？這將是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)把握的教學(xué)觀。 參考文獻(xiàn) : [1] 中華人民共和國(guó)教育部 .《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （ 2021年版 》 .北京： 北京師 范大學(xué)出版社， 2021. [2] 顧泠沅 邵光華 .《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法》 .[M].上海 ： 上海教育出版社 ， 2021. [3] 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論 [M].北京：開(kāi)明出版社， 1998年 4月： 200226. [4] 王培德 .數(shù)學(xué)思想應(yīng)用及探究 建構(gòu)教學(xué) .[M].北京：人民教育出版社， 2021年 8月：134243 [5] 王麗兵 .讓智慧的光芒在課堂中閃耀 —— 談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中模型思想的培養(yǎng) [J].教學(xué)月 刊（小學(xué)版）， .