【正文】 王柔懷、伍卓群, 常微分方程講義, 北京：人民教育出版社, 1963.四 川 大 學(xué) 教 案【理科】周 次第 十五 周， 第 1 次課章 節(jié)名 稱第二十四講: 167。 Liapunov穩(wěn)定性授 課方 式理論課（√）；實(shí)踐課（　）；實(shí)習(xí)（?。┙獭W(xué)時(shí)　數(shù)2教學(xué)目的及要求1. 了解解對(duì)初值的連續(xù)依賴性與Liapunov穩(wěn)定性的區(qū)別。2. 深刻理解Liapunov穩(wěn)定性這一重要概念及其幾何意義 。3. 掌握線性方程組零解穩(wěn)定性的判別方法。4. 掌握由線性近似判斷微分方程零解的穩(wěn)定性的方法。5. 加深對(duì)Gronwall不等式和常數(shù)變易公式等重要知識(shí)點(diǎn)的理解。教　學(xué)　內(nèi)　容　提　要一、問(wèn)題的背景問(wèn)題：在什么條件下, 簡(jiǎn)化后的皆與實(shí)際解之間的誤差不會(huì)導(dǎo)致“差之毫厘,失之千里”的結(jié)果?穩(wěn)定性問(wèn)題 一個(gè)例子二、Liapunov穩(wěn)定性的概念1 Liapunov穩(wěn)定 Liapunov穩(wěn)定的幾何意義 2 Liapunov漸近穩(wěn)定 Liapunov漸近穩(wěn)定的幾何意義3 Liapunov不穩(wěn)定三、線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的判定1 一般線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的判定2 常系數(shù)線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的判定四、線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的判定五、一個(gè)重要引理 思考題: 證明這一引理六、定理的證明第一步 利用常數(shù)變易公式將方程表示為等價(jià)積分形式.第二步 利用Gronwall不等式對(duì)方程的解進(jìn)行估計(jì), 證明其有界第三步 證明解向右可延拓到區(qū)間第四步 證明零解是漸近穩(wěn)定的.七、本講習(xí)題 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：1 Liapunov穩(wěn)定性的概念以及其幾何意義2 線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的判定難點(diǎn)：加深對(duì)Gronwall不等式和常數(shù)變易公式等重要知識(shí)點(diǎn)的理解作業(yè)、選作題作業(yè)：習(xí)題 3, 4, 6.選作題：設(shè)在上連續(xù),，的解存在唯一,其零解穩(wěn)定,.教學(xué)手段多媒體課件為主、黑板教學(xué)為輔參考資料與備注V. I. Arnold (阿諾德), 常微分方程, 沈家騏、周寶熙、盧亭鶴譯, 北京：科學(xué)出版社，1985.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004.王柔懷、伍卓群, 常微分方程講義, 北京：人民教育出版社, 1963.四 川 大 學(xué) 教 案【理科】周 次第 十五 周， 第 2 次課章 節(jié)名 稱第二十五講: 167。 Liapunov直接法授 課方 式理論課（√）；實(shí)踐課（?。粚?shí)習(xí)（?。┙獭W(xué)時(shí)　數(shù)2教學(xué)目的及要求1. 了解由線性近似判斷微分方程零解的穩(wěn)定性的方法的局限。2. 通過(guò)應(yīng)用實(shí)例體會(huì)Liapunov直接法的思想。3. 掌握Liapunov穩(wěn)定性判據(jù)及其應(yīng)用。4. 了解Liapunov穩(wěn)定性判據(jù)的幾何意義。教　學(xué)　內(nèi)　容　提　要一、Liapunov直接法的思想Liapunov直接法的基本想法: 觀察在零解附近任意一個(gè)解x(t)的軌道是否越走距離零解(即O)越近或始終不遠(yuǎn)離零解二、定正和定負(fù)函數(shù)及全導(dǎo)數(shù)具體例子 全導(dǎo)數(shù)三、Liapunov穩(wěn)定性判據(jù)四、Liapunov直接法的缺點(diǎn)五、Liapunov直接法的幾何意義六、條件弱一點(diǎn)的情形定理七、本講習(xí)題教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：Liapunov穩(wěn)定性的概念及判據(jù)難點(diǎn)：Liapunov直接法作業(yè)、選作題作業(yè):習(xí)題 3, 5, 7.選作題：設(shè)連續(xù)可微且當(dāng)時(shí)有證明方程的零解是穩(wěn)定的, 但不是漸近穩(wěn)定的.教學(xué)手段多媒體課件為主、黑板教學(xué)為輔參考資料與備注V. I. Arnold (阿諾德), 常微分方程, 沈家騏、周寶熙、盧亭鶴譯, 北京：科學(xué)出版社，1985.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004.王柔懷、伍卓群, 常微分方程講義, 北京：人民教育出版社, 1963.四 川 大 學(xué) 教 案【理科】周 次第 十六 周， 第 1 次課章 節(jié)名 稱第二十六講: 167。 平面平衡點(diǎn)分析授 課方 式理論課（√）；實(shí)踐課（?。?；實(shí)習(xí)（?。┙獭W(xué)時(shí)　數(shù)2教學(xué)目的及要求1. 初步掌握平面平衡點(diǎn)分析的基本方法。2. 掌握平面線性系統(tǒng)的軌道的定性性質(zhì)。3. 建立微分方程定性分析的直觀認(rèn)識(shí),為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。4. 了解退化平衡點(diǎn)及相應(yīng)的初步的分析方法以切入現(xiàn)代定性理論。教　學(xué)　內(nèi)　容　提　要一、問(wèn)題的提出二、具有粗的平衡點(diǎn)的線性系統(tǒng)星形結(jié)點(diǎn)或臨界結(jié)點(diǎn)兩向結(jié)點(diǎn)或正常結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)單向結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn)焦點(diǎn)中心三、具有粗的平衡點(diǎn)的系統(tǒng)的性質(zhì)初等平衡點(diǎn)定理中心焦點(diǎn)判定四、本講習(xí)題教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握平面粗的平衡點(diǎn)分析方法難點(diǎn)：了解退化平衡點(diǎn)的相平面性質(zhì)作業(yè)、選作題作業(yè)：習(xí)題 1(1)(3), 2, 4(2).選作題：引入極坐標(biāo)觀察并說(shuō)明原點(diǎn)是系統(tǒng)的穩(wěn)定焦點(diǎn).教學(xué)手段多媒體課件為主、黑板教學(xué)為輔參考資料與備注V. I. Arnold (阿諾德), 常微分方程, 沈家騏、周寶熙、盧亭鶴譯, 北京：科學(xué)出版社，1985.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004.王柔懷、伍卓群, 常微分方程講義, 北京：人民教育出版社, 1963.四 川 大 學(xué) 教 案【理科】周 次第 十六 周， 第 2 次課章 節(jié)名 稱第二十七講: 167。授 課方 式理論課（√）；實(shí)踐課（?。?；實(shí)習(xí)（?。┙獭W(xué)時(shí)　數(shù)2教學(xué)目的及要求1. 掌握極限環(huán)及其穩(wěn)定性的概念。2. 了解PB定理和Bendixson判據(jù)及Dulac判據(jù)判斷極限環(huán)的存在性。3. 了解Poincare映射及與離散動(dòng)力系統(tǒng)的聯(lián)系。4. 初步體會(huì)現(xiàn)代微分方程幾何理論的手段和風(fēng)格。教　學(xué)　內(nèi)　容　提　要一、極限環(huán)及其穩(wěn)定性1 極限環(huán)2 極限環(huán)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定極限環(huán)， 不穩(wěn)定極限環(huán)，半穩(wěn)定極限環(huán)二、極限環(huán)存在性的判定1 PoincareBendixson環(huán)域定理PoincareBendixson環(huán)域定理的幾何意義2 極限環(huán)不存在的判定定理 Bendixson判據(jù)， Dulac 判據(jù)三、后繼函數(shù)法四、離散動(dòng)力系統(tǒng)及其基本概念迭代離散動(dòng)力系統(tǒng)離散半動(dòng)力系統(tǒng)軌道, 正半軌和負(fù)半軌周期點(diǎn) 周期 周期軌不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定周期點(diǎn)不穩(wěn)定周期點(diǎn)五、Feigenbaum分岔現(xiàn)象六、本講習(xí)題教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握極限環(huán)及其穩(wěn)定性 難點(diǎn)：1 判斷極限環(huán)的存在性與不存在性的判定方法 2 Feigenbaum分岔現(xiàn)象作業(yè)、選作題作業(yè)：習(xí)題 2, 4, 6(2), 8.選作題：討論R上的映射族發(fā)生的 Feigenbaum 現(xiàn)象, 并計(jì)算前三個(gè)分岔點(diǎn)，,可用數(shù)值方法求出近似值.教學(xué)手段多媒體課件為主、黑板教學(xué)為輔參考資料與備注V. I. Arnold (阿諾德), 常微分方程, 沈家騏、周寶熙、盧亭鶴譯, 北京：科學(xué)出版社，1985.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004.王柔懷、伍卓群, 常微分方程講義, 北京：人民教育出版社, 1963.四 川 大 學(xué) 教 案【理科】周 次第 十七 周， 第 1 次課章 節(jié)名 稱第二十八講: 167。 平面Hamilton系統(tǒng)授 課方 式理論課（√）；實(shí)踐課（　）；實(shí)習(xí)（　）教　學(xué)時(shí)　數(shù)2教學(xué)目的及要求1. 掌握Hamilton系統(tǒng)和能量函數(shù)的概念。2. 掌握平面Hamilton系統(tǒng)及其在力學(xué)中的應(yīng)用。3. 學(xué)會(huì)“動(dòng)能+勢(shì)能”型Hamilton系統(tǒng)相圖畫法。教　學(xué)　內(nèi)　容　提　要一、一般Hamilton系統(tǒng) 1 n個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng),2 能量函數(shù)有關(guān)能量函數(shù)的重要定理3 能量守恒定律保守系統(tǒng)二、一類特殊的平面Hamilton系統(tǒng)帶一個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng)即為平面Hamilton系統(tǒng).三、 “動(dòng)能+勢(shì)能”型Hamilton系統(tǒng)的平衡點(diǎn)定理 定理的證明思想四、應(yīng)用實(shí)例五、本講習(xí)題教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：1 Hamilton系統(tǒng)和能量函數(shù)的概念 2 “動(dòng)能+勢(shì)能”型Hamilton系統(tǒng)相圖畫法，難點(diǎn)：由勢(shì)能函數(shù)的臨界點(diǎn)得平衡點(diǎn)的定性性質(zhì)作業(yè)、選作題作業(yè)：習(xí)題 1, 4 (2).選作題：證明平面Hamilton系統(tǒng)的任意一個(gè)流在將一個(gè)平面區(qū)域變換為另一個(gè)平面區(qū)域時(shí)保持面積不變.教學(xué)手段多媒體課件為主、黑板教學(xué)為輔參考資料與備注V. I. Arnold (阿諾德), 常微分方程, 沈家騏、周寶熙、盧亭鶴譯, 北京：科學(xué)出版社，1985.丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004.王柔懷、伍卓群, 常微分方程講義, 北京：人民教育出版社, 1963.59