【導(dǎo)讀】,稱為函數(shù)f從x1到x2的平均變化率?？醋魇菍τ趚1的一個“增量”可用。例1．已知函數(shù)f=xx??2的圖象上的一點)2,1(??一般的，定義在區(qū)間（a，b）上的函數(shù))(xf，)(baxo，?處的導(dǎo)數(shù)，記作)('oxf或。附近的平均變化率，并求出在該點處。所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為)1(22???ttth，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線)(th在0t、1t、2t附近。時，曲線在0t處的切線0l平行于x軸，附近曲線比較平坦，幾乎沒有升。時，曲線在2t處的切線2l的斜率0)(2`?常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。與時間t有如下函數(shù)關(guān)系20%)51()(??物價．假定某種商品的10?p，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的。速度大約是多少（精確到）？

　　

【正文】 的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！保? xy 1?和 2xy? 在它們的交點 坐標(biāo)是 (1， 1)， 兩條切線 方程分別是 y=－ x+2 和 y=2x－ 1，它們 與 x 軸所圍成的三角形的面積是43。 ，當(dāng) x?1 時， f?（ x） ?0，函數(shù) f（ x）在（ 1，＋ ?）上是增函數(shù)；當(dāng) x?1 時， f?（ x） ?0， f（ x）在（－ ?， 1）上是減函數(shù)，故 f（ x）當(dāng) x＝ 1 時取 得最小值，即有 f（ 0）?f（ 1）， f（ 2） ?f（ 1），故選 C； )(xf 的定義域為開區(qū)間 ),( ba ，導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù))(xf 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有極小值 的 點 即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點，只有 1 個，選 A。 7.(Ⅰ )f(x)的定 義域為 (－∞ ,1)∪ (1,+∞ ).對 f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f 39。(x)= ax2+2－ a(1－ x)2 e－ ax。 (ⅰ )當(dāng) a=2 時 , f 39。(x)= 2x2(1－ x)2 e－ 2x, f 39。(x)在 (－∞ ,0), (0,1)和 (1,+ ∞ )均大于 0, 所以 f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ ).為增函數(shù)； (ⅱ )當(dāng) 0a2 時 , f 39。(x)0, f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) .； (ⅲ )當(dāng) a2 時 , 0a－ 2a 1, 令 f 39。(x)=0 ,解得 x1= － a－ 2a , x2= a－ 2a ； 當(dāng) x 變化時 , f 39。(x)和 f(x)的變化情況如下表 : x (－∞ , － a－ 2a ) (－a－ 2a ,a－ 2a ) (a－ 2a ,1) (1,+∞ ) f 39。(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在 (－∞ , － a－ 2a ), ( a－ 2a ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) , f(x)在 (－ a－ 2a , a－ 2a )為減函數(shù)。 (Ⅱ )(ⅰ )當(dāng) 0a≤ 2 時 , 由 (Ⅰ )知 : 對任意 x∈ (0,1)恒有 f(x)f(0)=1； (ⅱ )當(dāng) a2 時 , 取 x0= 12 a－ 2a ∈ (0,1),則由 (Ⅰ )知 f(x0)f(0)=1； (ⅲ )當(dāng) a≤ 0 時 , 對任意 x∈ (0,1),恒有 1+x1－ x 1 且 e－ ax≥ 1， 得： f(x)= 1+x1－ xe－ ax≥ 1+x1－ x 1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng) a∈ (－∞ ,2]時 ,對任意 x∈ (0,1)恒有f(x)1。 點評：注意求函數(shù)的單調(diào)性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對應(yīng)原函數(shù)增減。 8. 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x? ? ? ? ?，令 ( ) 0fx? ? 可得 x＝ 0 或 2（ 2 舍去），當(dāng)－ 1?x?0 時，()fx? ?0，當(dāng) 0?x?1 時， ()fx? ?0，所以當(dāng) x＝ 0 時， f（ x）取得最大值為 2。選 C； ? ?39。 ( ) 6 ( 1)f x x x a? ? ?，令 39。( ) 0fx? ，解得 120, 1x x a? ? ?。 （Ⅰ）當(dāng) 1a? 時， 39。2( ) 6f x x? ， ()fx在 ( , )???? 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 1a? 時， ? ?39。 ( ) 6 1f x x x a? ? ?????， 39。( ), ( )f x f x 隨 x 的變化情況如下表： x ( ,0)?? 0 (0, 1)a? 1a? ( 1, )a? ?? 39。()fx + 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù) ()fx 在 ( ,0)?? 上單調(diào)遞增；在 (0, 1)a? 上單調(diào)遞減；在( 1, )a? ?? 上單調(diào)遞增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng) 1a? 時，函數(shù) ()fx沒有極值；當(dāng) 1a? 時，函數(shù) ()fx在 0x?處取 得極大值，在 1xa??處取得極小值 31 ( 1)a?? 。 點評： 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。 10. (Ⅰ )令 033)23()( 23 ?????????? xxxxf 解得 11 ??? x或 ； 當(dāng) 1??x 時 , 0)( ?? xf ， 當(dāng) 11 ??? x 時 , 0)( ?? xf ， 當(dāng) 1?x 時 ， 0)( ?? xf 。 所以 , 函 數(shù) 在 1??x 處 取 得 極 小 值 , 在 1?x 取 得 極 大 值 , 故 1,1 21 ??? xx , 4)1(,0)1( ??? ff 。 所以 , 點 A、 B 的坐標(biāo)為 )4,1(),0,1( BA ? 。 （ Ⅱ ） 設(shè) ),( nmp ， ),( yxQ ， ? ? ? ? 4414,1,1 22 ????????????? nnmnmnmPBPA ， 21??PQk，所以21????mx ny。 又 PQ 的中點在 )4(2 ?? xy 上，所以 ?????? ???? 4222 nxmy， 消去 nm, 得? ? ? ? 928 22 ???? yx 。 11． 證明 : （ I）．先用數(shù)學(xué)歸納法 證明 01na??， ｎ＝ 1,2,3,? (i).當(dāng) n=1 時 ,由已知顯然結(jié)論成立 。 (ii).假設(shè)當(dāng) n=k 時結(jié)論成立 ,即 01ka??。 因為 0x1 時 ， 39。 ( ) 1 cos 0f x x? ? ?,所以 f(x)在 (0,1)上是增函數(shù) 。 又 f(x)在 [0,1]上連續(xù) ， 從而 1( 0 ) ( ) ( 1 ) , 0 1 sin 1 1kkf f a f a ?? ? ? ? ? ? n=k+1時 ,結(jié)論成立 。 由 (i)、 (ii)可知， 01na??對一切正整數(shù)都成立 。 又因為 01na??時， 1 si n si n 0n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?，所以 1nnaa? ? ，綜上所述 101nnaa?? ? ? 。 （ II）．設(shè)函數(shù) 31( ) sin6g x x x x? ? ?， 01x??， 由（ I）知，當(dāng) 01x??時， sinxx? ， 從而 2 2 239。 2 2( ) c o s 1 2 s in 2 ( ) 0 .2 2 2 2 2x x x x xg x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 g (x)在 (0,1)上是增函數(shù) 。 又 g (x)在 [0,1]上連續(xù) ,且 g (0)=0， 所以 當(dāng) 01x??時， g (x)0 成立 。 于是 31( ) 0 , si n 06n n n ng a a a a? ? ? ?即．故 31 16nnaa? ?。 點評：該題是數(shù)列知識和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。 OO1為 x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為 2 2 23 ( 1 ) 8 2x x x? ? ? ? ?（單位：m） 。 于是底面正六邊形的面積為（單位： m2） ： 2 2 2 2 23 3 33 ( 1 ) 6 ( 8 2 ) ( 8 2 )42x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 帳篷的體積為（單位： m3） ： 233 3 1 3( ) ( 8 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 6 1 2 )2 3 2V x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ????? 求導(dǎo)數(shù)，得 23( ) (1 2 3 )2V x x? ??； 令 ( ) 0Vx? ? 解得 x=2(不合題意，舍去 ),x=2。 當(dāng) 1x2 時， ( ) 0Vx? ? ,V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2x4 時， ( ) 0Vx? ? ,V(x)為減函數(shù)。 所以當(dāng) x=2 時 ,V(x)最大。 答 ： 當(dāng) OO1為 2m 時，帳篷的體積最大。 點評：結(jié)合空間幾何體的體積求最值，理解導(dǎo)數(shù)的工具作用。 13.（ I）因為 39。2( ) 3 2 ,f x x x??所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 因為過 (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因為函數(shù) 2()h x x x??當(dāng) 0x? 時單調(diào)遞增，而 221132n n n nx x x x??? ? ? 21142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx????， 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ?因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因為122 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ?令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因為 21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2 nn n nx x x ?? ? ? 故 1211( ) ( ) .22nnnx???? 點評： 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 14.221( ln )39。( ) ( 1 )x x bxfx xx?? ???? 由于直線 2 3 0xy? ? ? 的斜率為 12?，且過點 (1,1) ， 故 (1) 1, 139。(1) ,2ff???? ????即 1, 1,22ba b???? ? ???? 解得 1a? ， 1b? 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ln 11xxx??，所以 22l n 1 ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 2 l n )11x k k xf x xx x x x??? ? ? ???。 考慮函數(shù) ( ) 2lnh x x?? 2( 1)( 1)kxx??( 0)x? ，則 22( 1 ) ( 1 ) 239。( ) k x xhx x? ? ??。 (i)設(shè) 0k? ，由 222( 1 ) ( 1 )39。( ) k x xhx x? ? ??知，當(dāng) 1x? 時， 39。( ) 0hx? 。而 (1) 0h ? ，故 當(dāng) (0,1)x? 時， ( ) 0hx? ，可得21 ( ) 01 hxx ??； 當(dāng) x?（ 1， +? ）時， h（ x） 0，可得211x? h（ x） 0 從而當(dāng) x0,且 x? 1 時， f（ x） （1ln?xx+xk） 0，即 f（ x） 1ln?xx+xk. （ ii）設(shè) 0k x?（ 1，k?11）時，（ k1）（ x2 +1） +2x0,故 h’ （ x） 0,而 h（ 1） =0，故當(dāng) x?（ 1，k?11）時， h（ x） 0，可得211x?h（ x） 0,與題設(shè)矛盾。 （ iii）設(shè) k? h’ （ x） 0,而 h（ 1） =0，故當(dāng) x?（ 1， +? ）時， h（ x） 0，可得211x? h（ x） 0,與題設(shè)矛盾。 綜合得， k的取值范圍為（ ? ， 0] 15. 解： (1) 55( ) 2 s in ( ) 2 s in 24 1 2 6 4f ? ? ? ?? ? ? ?。 (2) 10( 3 ) 2 s in2 1 3f ???? ? ?， 5sin13???，又 [0, ]2???， 12cos13???， 6( 3 2 ) 2 s in ( ) 2 c o s25f ?? ? ? ?? ? ? ? ?， 3cos 5???， 又 [0, ]2???， 4sin5???， 16c o s( ) c o s c o s si n si n 65? ? ? ? ? ?? ? ? ?.