【正文】 ln ??（元 /年） 因此，在第 10 個年頭，這種商品的價格約為 元 /年的速度上漲． 例 9 日常生活中的飲水通常是經(jīng) 過凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將 1噸水凈化到純凈度為 %x 時所需費用（單位：元）為 5284( ) ( 8 0 1 0 0 )100c x xx? ? ?? 求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（ 1） 90% （ 2） 98% 解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 39。 xye? ( ) logaf x x? 39。1ny nx ?? sinyx? 39。 39。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x? ? ? 3． ? ?39。39。 解：法一（略） 法二： 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l im l im l im 3 ( 1 ) 611x x x xxxyxxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 2）求函數(shù) f(x)= xx ?? 2 在 1x?? 附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)． 解： xx xxxy ???? ???????????? 32)1()1( 2 200( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) l im l im ( 3 ) 3xxy x xfxxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 公式 ? ? exx aa log1log ?? 公式一 ? ?xx 1ln ?? 公式二 ? ? aaa xx ln?? 公式三 ? ? xx ee ?? 公式四 【典型例題】 例 5 （ 1） 242sin xxx ??? ；（ 2） )1ln(1ln ???? xx xxy ；（ 3）xxy sin1 sin1??? 答案：（242c os22s in xxxxx ??? ）； 2)1( ln?x x ； secx。， 上述兩個問題中：（ 1） 4)2(39。若設(shè)12 xxx ??? , )()( 12 xfxff ??? (這里 x? 看作是對于 x1的一個 “ 增量 ” 可用x1+ x? 代替 x2, 同樣 )()( 12 xfxfyf ????? ) 則 平 均 變 化 率 為?????? xfxy x xfxxfxx xfxf ? ?????? )()()()( 111212 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 概念 導(dǎo)數(shù)的概念 平均變化率的概念 導(dǎo)數(shù)的公式 極值與最值 單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)的運算法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 【典型例題】 例 1． 已知函數(shù) f(x)= xx ?? 2 的圖象上的一點 )2,1( ??A 及臨近一點)2,1( yxB ?????? ,則 ???xy ． 解： )1()1(2 2 xxy ???????????? ， ∴ xx xxxy ???? ???????????? 32)1()1( 2 例 2． 求 2xy? 在 0xx? 附近的平均變化率。 解： 2020 )( xxxy ????? ，所以x xxxxy ? ??????2020 )( xxx xxxxx ???? ?????? 0202020 22 所以 2xy? 在 0xx? 附近的平均變化率為 xx ??02 。 ?f ，（ 2） oo ttV 2)(39。 例 6:（ 1）求曲線 1)( 2 ??? xxfy 在點 P(1,2)處的切線方程 . （ 2）求函數(shù) 23xy? 在點 )3,1( 處的導(dǎo)數(shù) . 解：（ 1） 2 2 21 00[ ( 1 ) 1 ] ( 1 1 ) 2| l im l im 2x xxx x xy xx? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???, 所以，所求切線的斜率為 2，因此，所求的切線方程為 )1(22 ??? xy 即02 ??yx 。( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x? ? ? 2． ? ? 39。 39。( ) ( )cf x cf x? 常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 cosyx? cosyx? 39。 1( ) l o g ( ) ( 0 1 )lnaf x x f x a axa? ? ? ?且 ( ) lnf x x? 39。39。 25284( 9 0 ) 5 2 .8 4(1 0 0 9 0 )c ??? ， 所以，純凈度為 90%時，費用的瞬時變化率是 元 /噸． 因為 39。 ( ) 2 2 2 1f x x x? ? ? ? 當(dāng) 0)(` ?xf ，即 x1 時，函數(shù) 32)( 2 ??? xxxf 單調(diào)遞增； 當(dāng) 0)(` ?xf ，即 x1 時，函數(shù) 32)( 2 ??? xxxf 單調(diào)遞減。 解決優(yōu)化問題的方法： 首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義 域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù) 0或 1，這個基本單元通常被稱為比特（ bit）。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于 r 與 R 之間，由于磁道之間的寬度必需大于 m ，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達mrR?。已知每出售 1 mL 的飲料，制造商可獲 利 分 ,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？ 解：由于瓶子的半徑為 r ，所以每瓶飲料的利潤是 ? ? 33 2 240 . 2 0 . 8 0 . 8 , 0 633 ry f r r r r r? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? 令 )( 2` ??? ）π （ rrrf 解得 r=2(r=0 舍去 ) 當(dāng) )2,0(?r 時， 0)(` ?rf ；當(dāng) )6,2(?r 時， 0)(` ?rf ． 當(dāng)半徑 2r? 時， 0)(` ?rf 它表示 )(rf 單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當(dāng)半徑 2r? 時， 0)(` ?rf 它表示 )(rf 單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． 半徑為 2 cm 時，利潤最小，這時 0)2( ?f ，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值． 半徑為 6cm 時，利潤最大． 換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當(dāng) r=3 時， 0)3( ?f ，即瓶子的半徑為 3cm 時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng) 3r? 時，利潤才為正值． 當(dāng) )2,0(?r 時 ， 0)(` ?rf ， )(rf 為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm 時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為 2 cm 時，利潤最小． [基礎(chǔ)鞏固 ] 習(xí)題一 、已知函數(shù) ? ? ? ?xxfa ?? 2log 1在其定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)? ? ? ?21log xxg a ?? 的單調(diào)減區(qū)間是（ ） A. ? ?0,?? B. ? ?0,1? C. ? ???,0 D. ? ?1,0 習(xí)題二 、函數(shù) xxxy sincos ?? 在下面的哪個區(qū)間上是增函數(shù)（ ） A. ?????? 23,2 ?? B. ? ???2, C. ?????? 25,23 ?? D. ? ???3,2 習(xí)題三 、設(shè) ? ? xxxf sin? ， 1x 、 ???????? 2,22 ??x，且 ? ?1xf ＞ ? ?2xf ，則下列結(jié)論必成立的是（ ） A. 1x ＞ 2x B. 1x + 2x ＞ 0 C. 1x ＜ 2x D. 21x ＞ 22x 習(xí)題四 、方程 2log2 ?? xx 和 2log3 ?? xx 的根分別是 ? 、 ? ，則有（ ） A. ? ＜ ? B. ? ＞ ? C. ? =? D. 無法確定 ? 與 ?的大小 習(xí)題五 、若 axy? 與xby ??在 ? ???,0 上都是減函數(shù)，對函數(shù) bxaxy ?? 3 的單調(diào)性描述正確的是（ ） A. 在 ? ????? , 上是增函數(shù) B. 在 ? ???,0 上是增函數(shù) C. 在 ? ????? , 上是減函數(shù) D. 在 ? ?0,?? 上是增函數(shù)，在 ? ???,0 上是減函數(shù) 習(xí)題六 、不等式 ? ?32log 2 ?? xxa ≤ 1? 在 Rx? 上恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A. ? ???,2 B. ? ?2,1 C. ?????? 1,21 D. ?????? 21,0 習(xí)題七 、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) 1??axy 與 1?? xay （ a 0 且 a ≠ 1）的圖象可能是 （ A） （ B） （ C） （ D） 習(xí)題八 、函數(shù) ? ? ? ? ? ? bxbxaaxxf ?????? 3481 23 的圖象關(guān)于原點中心對稱，則 ??xf A. 在 ? ?34,34? 上為增函數(shù) B. 在 ? ?34,34? 上為減函數(shù) C. 在 ? ???,34 上為增函數(shù)，在 ? ?34,??? 上為減函數(shù) D. 在 ? ?34,??? 上為增函數(shù)，在 ? ???,34 上為減函數(shù) 習(xí)題九 、 ?? cossin ??t 且 ?? 33 cossin ? ＜ 0，則 t 的取值范圍是（ ） A. ? ?0,2? B. ? ?2,2? C. ? ? ? ?2,10,1 ?? D. ? ? ? ???? ,30,3 ? 習(xí)題十 、已知函數(shù) ? ? dcxbxaxxf ???? 23 的圖象如圖所示， y 則 （ ） A. ? ?0,???b B. ? ?1,0?b C. ? ?2,1?b D. ? ???? ,2b 0 1 2 x 習(xí)題十一 、函數(shù) ? ?2pxpxxf ???在（ 1， +? ）上是增函數(shù)，則實數(shù) p 的取值范圍是 ____________________. 習(xí)題十二、 已知 ? ? ? ?xxxf aa lo glo g 2 ??? 對任意 ??????? 21,0x都有意義，則實數(shù) a的取值范圍是 ________________________________ 習(xí)題十三 、已知 a ＞ 1， m ＞ p ＞ 0，若方程 mxx a ?? log 的解是 p ，則方程max x ?? 的解是 ____________________. 習(xí)題十四 、若函數(shù) ? ? )4(log ???xaxxf a（ a 0 且 a ≠ 1）的值域為 R ，則實數(shù)a 的取值范圍是 ________________. 習(xí)題十五 、若定義在區(qū)間 D 上的函數(shù) ??xf 對 D 上的任意 n 個值 1x ， 2x ，?， nx ，總 滿足 ? ? ? ? ? ?? ?nxfxfxfn ??? 211≤ ?????? ?? n xxxf n?21，則稱 ??xf 為 D 上的凸函數(shù) .已知函數(shù) xy sin? 在區(qū)間 ? ??,