【正文】 ∞ )為增函數(shù) , f(x)在 (－ a－ 2a , a－ 2a )為減函數(shù)。(x)在 (－∞ ,0), (0,1)和 (1,+ ∞ )均大于 0, 所以 f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ ).為增函數(shù)； (ⅱ )當(dāng) 0a2 時(shí) , f 39。 （ 3）： (Ⅰ )f(x)的定義域?yàn)?(－∞ ,1)∪ (1,+∞ ).對(duì) f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f 39。 點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對(duì)于較復(fù)雜問(wèn)題有很好的效果。對(duì)于半徑為 R 的球，若將 R 看作 (0，＋∞ )上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類似于 ○1 的式子： ○2 ； ○2 式可以用語(yǔ)言敘述為： 。xu .給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。 例 4．寫(xiě)出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （ 1） y=cosu,u=1+ 2X （ 2） y=lnu, u=lnx 解析：（ 1） y=cos(1+ 2X )； （ 2） y=ln(lnx)。 xxxxxy ?????????? ??? （ 4） y’=x xxxx 2 22 s in )39。 ?????? ?????? ?? xxxxy （ 3）先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn) . xxxxxy s in212c os2s in ???? .c os211)(s i n21s i n21 39。 點(diǎn)評(píng)：掌握切的斜率、 瞬時(shí)速度，它門(mén)都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。 其余各段時(shí)間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤(pán)上，待學(xué)生回答完第一時(shí)間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況。 第 5 頁(yè) 共 27 頁(yè) 如果圖形由曲線 y1＝ f1(x)， y2＝ f2(x)（不妨設(shè) f1(x)≥ f2(x)≥ 0），及直線 x＝ a， x＝ b（ ab）圍成，那么所求圖形的面積S＝ S 曲邊梯形 AMNB－ S 曲邊梯形 DMNC＝ ? ??ba ba dxxfdxxf )()( 21。 這里， a 與 b 分別叫做 積分下限 與 積分上限 ，區(qū)間 [a， b]叫做 積分區(qū)間 ，函數(shù) f(x)叫做 被積函數(shù) ， x 叫做 積分變量 ， f(x)dx 叫做 被積式。f 0)( ?x ，則 )(xf 為減函數(shù)；如果在某區(qū)間 內(nèi)恒有 39。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解 —— 求導(dǎo) —— 回代。 CuCu ? 法則 3 兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等 于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方： ??????vu‘ =2 39。39。39。39。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f（ x）在點(diǎn) p（ x0 ， f（ x0 ）） 處的切線的斜率。 說(shuō)明： （ 1） 函數(shù) f（ x）在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，是指 0??x 時(shí)，xy??有極限。 第 2 頁(yè) 共 27 頁(yè) 定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問(wèn)題中非常廣泛，因而 07 年的高考預(yù)測(cè)會(huì)在這方面考察，預(yù)測(cè) 07 年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1）新課標(biāo)第 1 年考察，難度不會(huì)很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于中低檔題； （ 2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。 （ 6）數(shù)學(xué)文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。 （ 2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ① 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) y=c， y=x， y=x2， y=x3， y=1/x， y=x 的導(dǎo)數(shù) ； ② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求 簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如 f（ ax+b））的導(dǎo)數(shù) ； ③ 會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表 。 （ 3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 ① 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ； ② 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性 。具體要求見(jiàn)本《標(biāo)準(zhǔn)》中 數(shù)學(xué)文化 的要求。 三．要點(diǎn)精講 1．導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù) y=f(x),如果自變量 x 在 x0 處有增量 x? ，那么函數(shù) y 相應(yīng)地有增量 y? =f（ x0 + x? ） － f（ x0 ），比值xy??叫做函數(shù) y=f（ x）在 x0 到 x0 + x? 之間的平均變化率，即xy??=x xfxxf ? ??? )()( 00。如果xy??不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn) x0 處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。也就是說(shuō)，曲線 y=f（ x）在點(diǎn) p（ x0 ， f（ x0 ））處的切線的斜率是 f’（ x0 ）。39。 uvvuuv ?? 若 C 為常數(shù) ,則 39。39。39。法則： y＇ |X = y＇ |U 178。f 0)( ?x ，則 )(xf 為第 4 頁(yè) 共 27 頁(yè) 常數(shù)； （ 2）曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正； （ 3） 一般地，在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f )(x 在 [a， b]上必有最大值與最小值。 基本的積分公式： ?dx0 ＝ C； ? dxxm ＝ 111 ?? mxm＋ C（ m∈ Q， m≠－ 1）； ?x1dx＝ ln x ＋ C； ? dxex ＝ xe ＋ C； ? dxax ＝ aaxln ＋ C； ? xdxcos ＝ sinx＋ C； ? xdxsin ＝－cosx＋ C（ 表中 C 均為常數(shù)）。 四．典例解析 題型 1：導(dǎo)數(shù)的概念 例 1．已知 s= 221gt，（ 1）計(jì)算 t 從 3 秒到 秒 、 秒 、 秒 … .各段內(nèi)平均速度；（ 2）求 t=3 秒是瞬時(shí)速度。 （ 2）從（ 1）可見(jiàn)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度ts??隨 t? 變化而變化， t? 越小，ts??越接近于一個(gè)定 值，由極限定義可知，這個(gè)值就是 0??t 時(shí)，ts??的極限， V=0lim??x ts?? =0lim??x ?? ??? t sts )3()3( 0lim??x tgtg???? 22 321)3(21 = g21 0lim??x（ 6+ )t? =3g=(米 /秒 )。 題型 2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例 3．（ 1） 求 )11(32 xxxxy ???的導(dǎo)數(shù)； （ 2）求 )11)(1( ???xxy的導(dǎo)數(shù)； （ 3）求2cos2sin xxxy ??的導(dǎo)數(shù)； （ 4） 求 y=xxsin2的導(dǎo)數(shù)； （ 5） 求 y＝x xxxx 9532 ??? 的導(dǎo)數(shù)。39。(s in*s in)39。 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì) y=（ 3x22) 展開(kāi)求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到 39。 題型 3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例 5．（ 1） （ 06 安徽卷） 若曲線 4yx? 的一條切線 l 與直線 4 8 0xy? ? ? 垂直，則 l 的方程為 （ ） A． 4 3 0xy? ? ? B． 4 5 0xy? ? ? C． 4 3 0xy? ? ? D． 4 3 0xy? ? ? （ 2） （ 06全國(guó) II）過(guò)點(diǎn)（ － 1， 0）作拋物線 2 1y x x? ? ? 的切線，則其中一條切線為 （ ） （ A） 2 2 0xy? ? ? （ B） 3 3 0xy? ? ? （ C） 10xy? ? ? （ D） 10xy? ? ? 解 析 ： （ 1） 與直線 4 8 0xy? ? ? 垂直的直線 l 為 40x y m? ? ? ，即 4yx? 在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 4，而 34yx?? ，所以 4yx? 在 (1， 1)處導(dǎo)數(shù)為 4，此點(diǎn)的切線為 4 3 0xy? ? ? ，故選 A； （ 2） 21yx???，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 00( , )xy ，則切線的斜率為 2 0 1x? ，且20 0 0 1y x x? ? ? ，于是切線方程為 20 0 0 01 ( 2 1 ) ( )y x x x x x? ? ? ? ? ?，因?yàn)辄c(diǎn)（－ 1， 0）在切線上，可解得 0x ＝ 0 或－ 4，代入可驗(yàn)正 D 正確，選 D。 （ 2） （ 06 湖南卷） 曲線 1yx?和 2yx? 在它們交點(diǎn)處的兩條切線與 x 軸所圍成的三角形面積是 。 題型 4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào) 性、極值和最值 例 7．（ 1） （ 06 江西卷）對(duì)于 R 上可導(dǎo)的任意函數(shù) f（ x），若滿足（ x－ 1） fx?（） ?0，則必有（ ） A． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） B. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） C． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） D. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） （ 2） （ 06 天津卷）函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間 ),( ba ，導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) )(xf 在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) （ 3） （ 06 全國(guó)卷 I）已知函數(shù) ? ? 11 axxf x ex ??? ?。(x)= ax2+2－ a(1－ x)2 e－ ax。(x)0, f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) .； (ⅲ )當(dāng) a2 時(shí) , 0a－ 2a 1, 令 f 39。 (Ⅱ )(ⅰ )當(dāng) 0a≤ 2 時(shí) , 由 (Ⅰ )知 : 對(duì)任意 x∈ (0,1)恒有 f(x)f(0)=1； (ⅱ )當(dāng) a2 時(shí) , 取 x0= 12 a－ 2a ∈ (0,1),則由 (Ⅰ )知 f(x0)f(0)=1； (ⅲ )當(dāng) a≤ 0 時(shí) , 對(duì)任意 x∈ (0,1),恒有 1+x1－ x 1 且 e－ ax≥ 1， 得： f(x)= 1+x1－ xe－ ax≥ 1+x1－ x 1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng) a∈ (－∞ ,2]時(shí) ,對(duì)任意 x∈ (0,1)恒有f(x)1。 解析：（ 1） 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x? ? ? ? ?，令 ( ) 0fx? ? 可得 x＝ 0 或 2（ 2 舍去），當(dāng)－ 1?x?0 時(shí)， ()fx? ?0，當(dāng) 0?x?1 時(shí)， ()fx? ?0，所以當(dāng) x＝ 0 時(shí)， f（ x）取得最大值為 2。 （Ⅰ）當(dāng) 1a? 時(shí)， 39。()fx + 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù) ()fx 在 ( ,0)?? 上單調(diào)遞增；在 (0, 1)a? 上單調(diào)遞減；在( 1, )a? ?? 上單調(diào)遞增。 所以 , 函 數(shù) 在 1??x 處 取 得 極 小 值 , 在 1?x 取 得 極 大 值 , 故1,1 21 ??? xx , 4)1(,0)1( ??? ff 。 點(diǎn)評(píng)：該題是導(dǎo)數(shù)與平