北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)33定積分與微積分基本定理-wenkub
2022-11-29 18:07:04 本頁(yè)面
【正文】 (2 a ) ＝ 2ln2 a . 綜上可知 F ( x ) 的最小值為 F ( x )m in＝????????? 2ln2 a ， a ∈ ? 0 ，12e]－1e a， a ∈ ?12e，1e?ln a ， a ∈ [1e，＋ ∞ ? [ 方法總結(jié) ] 1. 根據(jù)最值的定義，求在閉區(qū)間 [ a ， b ] 上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過(guò)程簡(jiǎn)化，即不用判斷使 f ′ ( x ) ＝ 0 成立的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大 ( 小 ) 值． 2 ．定義在開(kāi)區(qū)間 ( a ， b ) 上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)必為最值點(diǎn)． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax3＋ x2＋ bx ( 其中常數(shù) a ， b ∈ R ) ， g ( x ) ＝ f ( x )＋ f ′ ( x ) 是奇函數(shù)． ( 1) 求 f ( x ) 的表達(dá)式； ( 2) 討論 g ( x ) 的單調(diào)性，并求 g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值與最小值． [ 解析 ] ( 1) 由題意得 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 x ＋ b . 因此 g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ′ ( x ) ＝ ax3＋ (3 a ＋ 1) x2＋ ( b ＋ 2) x ＋ b . 因?yàn)楹瘮?shù) g ( x ) 是奇函數(shù)，所以 g ( － x ) ＝－ g ( x ) ，即對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，有 a ( － x )3＋ (3 a ＋ 1 ) ( － x )2＋ ( b ＋ 2) ( － x ) ＋ b ＝－ [ ax3＋ (3 a ＋1) x2＋ ( b ＋ 2) x ＋ b ] ， 從而 3 a ＋ 1 ＝ 0 ， b ＝ 0 ，解得 a ＝－13， b ＝ 0. 因此 f ( x ) ＝－13x3＋ x2. ( 2) 由 ( 1) 知 g ( x ) ＝－13x3＋ 2 x ， 所以 g ′ ( x ) ＝－ x2＋ 2. 令 g ′ ( 0) ＝ 0 ，解得 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， 則當(dāng) x － 2 或 x 2 時(shí)， g ′ ( x ) 0 ， 從而 g ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－ 2 ] ， [ 2 ，＋ ∞ ) 上是減少的； 當(dāng)－ 2 x 2 時(shí)， g ′ ( x ) 0 ，從而 g ( x ) 在 [ － 2 ， 2 ] 上是增加的． 由前面討論知， g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值與最小值只能在 x ＝ 1 ， 2 ， 2 時(shí)取得， 而 g ( 1) ＝53， g ( 2 ) ＝4 23， g ( 2) ＝43. 因此 g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值為 g ( 2 ) ＝4 23，最小值為 g ( 2) ＝43. 利用導(dǎo)數(shù)解恒成立問(wèn)題 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x － ln( x ＋ a ) 的最小值為 0 ，其中a 0. (1) 求 a 的值； (2) 若對(duì)任意的 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，有 f ( x ) ≤ kx2恒成立，求實(shí)數(shù)k 的最小值． [ 思路分析 ] (1) 先求導(dǎo)，得到函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，得到最小值后解出 a 的值； (2) 將 f ( x ) ≤ kx2轉(zhuǎn)化為 f ( x ) － kx2≤ 0 ，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，從而求出 k 的最小值． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) f ( x ) 的定義域?yàn)?( － a ，＋ ∞ ) ． f ′ ( x ) ＝ 1 －1x ＋ a＝x ＋ a － 1x ＋ a. 由 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1 － a － a . 當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － a, 1 － a ) 1 － a (1 － a ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ↘ 極小值 因此， f ( x ) 在 x ＝ 1 － a 處取得最小值， 故由題意 f (1 － a ) ＝ 1 － a ＝ 0 ，所以 a ＝ 1. (2) 當(dāng) k ≤ 0 時(shí)，取 x ＝ 1 ，有 f (1) ＝ 1 － ln20 ， 故 k ≤ 0 不合題意． 當(dāng) k 0 時(shí)，令 g ( x ) ＝ f ( x ) － kx2， 即 g ( x ) ＝ x － ln( x ＋ 1) － kx2. g ′ ( x ) ＝xx ＋ 1－ 2 kx ＝－ x [2 kx － ? 1 － 2 k ? ]x ＋ 1. 令 g ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝ 0 ， x2＝1 － 2 k2 k － 1. ① 當(dāng) k ≥12時(shí)，1 － 2 k2 k≤ 0 ， g ′ ( x ) 0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒成立，因此 g ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞減． 從而對(duì)于任意的 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，總有 g ( x ) ≤ g ( 0) ＝ 0 ， 即 f ( x ) ≤ kx2在 [0 ，＋ ∞ ) 上恒成立． 故 k ≥12符合題意． ② 當(dāng) 0 k 12時(shí)，1 － 2 k2 k0 ，對(duì)于 x ∈ (0 ，1 － 2 k2 k) ， g ′ ( x ) 在 (0 ，1 － 2 k2 k) 內(nèi)單調(diào)遞增． 因此當(dāng)取 x0∈ (0 ，1 － 2 k2 k) 時(shí)， g
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