【正文】 ) 上為增函數， ∴ 函數 f ( x ) 的增區(qū)間是??????－32，14，減區(qū)間是??????14， 2 . [ 點評 ] 欲求函數單調區(qū)間，需先求函數定義域，然后根據解析式的特征選擇合理的方法．另外，注意在解答題中判斷函數的單調性或求單調區(qū)間時一般用導數法或定義法 . 函數單調性的判斷與應用 討論函數 f ( x ) ＝axx － 1( a 0) 的單調性． [ 思路分析 ] 可根據定義，先設 x1 x2，然后作差、變形、定號、判斷；也可以求 f ( x ) 的導函數，然后判斷 f ′ ( x ) 與零的大小關系；也可利用函數圖像變換求解． [ 規(guī)范解答 ] ∵ f ( x ) ＝axx － 1＝ax － a ＋ ax － 1＝ a ＋ax － 1， ∴ 函數的定義域為 { x | x ≠ 1} ． 解法 1 ： ( 定義法 ) 任取 x1， x2∈ R ，且 x1， x2均不為 1 ， x1 x2， 則 f ( x1) － f ( x2) ＝????????a ＋ax1－ 1－????????a ＋ax2－ 1 ＝ax2－ a － ax1＋ a? x1－ 1 ?? x2－ 1 ?＝a ? x2－ x1?? x1－ 1 ?? x2－ 1 ?. ① 當 x1 x21 時， x1－ 1 0 ， x2－ 1 0 ， x2－ x10 ， a 0 ， ∴ f ( x1) － f ( x2) 0 ，即 f ( x1) f ( x2) ． ② 當 1 x1 x2時， x2－ 1 0 ， x1－ 1 0 ， x2－ x10 ， a 0 ， ∴ f ( x1) － f ( x2) 0 ，即 f ( x1) f ( x2) ． ∴ 函數 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上均為減函數． 解法 2 ： ( 導數法 ) ∵ f ′ ( x ) ＝－ a? x － 1 ?2，又 ∵ a 0 ， ∴ f ′ ( x ) 0 在 ( － ∞ ， 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，即函數 f ( x )在 ( － ∞ ， 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上均為減函數． 解法 3 ： ( 圖像法 ) 由 f ( x ) ＝ a ＋ax － 1可知其圖像對稱中心是(1 ， a ) ， x ＝ 1 ， y ＝ a 是它的兩條漸近線，故其圖像如圖所示， ∴ f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上均為減函數． [ 方法總結 ] 在研究單調性的眾多方法中，定義法和導數法是通法，但定義法運算量較大．而其他方法則比較靈活，需要充 分分析函數解析式的特征，這些方法在選擇、填空題中應用較廣泛．另外，本題的結論容易寫成 “ f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1)∪ (1 ，＋ ∞ ) 上是減函數 ” 這一錯誤形式． ( 文 ) 若 f ( x ) 為 R 上的增函數，則滿足 f (2 － m ) f ( m2) 的實數m 的取值范圍是 ________ ． [ 答案 ] ( － ∞ ，－ 2) ∪ (1 ，＋ ∞ ) [ 解析 ] ( 1) 因為 f ( x ) 為 R 上的增函數，且 f (2 － m ) f ( m2) ， 則有： 2 － m m2，即 m2＋ m － 2 0. 解得： m － 2 或 m 1. 所以 m 的取值范圍為 ： ( － ∞ ，－ 2) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ． ( 理 ) 設函數 f ( x ) 定義在實數集上， f (2 － x ) ＝ f ( x ) ，且當 x ≥ 1時， f ( x ) ＝ ln x ，則有 ( ) A ． f (13) f ( 2) f (12) B ． f (12) f ( 2) f (13) C ． f (12) f (13) f ( 2) D ． f ( 2) f (12) f (13) [ 答案 ] C [ 解析 ] 由 f (2 － x ) ＝ f ( x ) 可知 f ( x ) 的圖像關于直線 x ＝ 1 對稱，當 x ≥ 1 時， f ( x ) ＝ ln x ，可知當 x ≥ 1 時 f ( x ) 為增函數，所以當 x 1 時 f ( x ) 為減函數，因為 |12－ 1 | |13－ 1 | | 2 － 1| ，所以f (12) f (13) f ( 2) ．故選 C. 抽象函數的單調性 已知定義在 R 上的函數 f ( x ) 滿足： ① f ( x ＋ y ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ) ＋ 1 ， ② 當 x 0 時， f ( x ) － 1. (1) 求 f (0) 的值，并證明 f ( x ) 在 R 上是單調增加的； (2) 若 f (1) ＝ 1 ，解關于 x 的不等式： f ( x2＋ 2 x ) ＋ f (1 － x ) 4. [ 思路分析 ] ( 1) 利用抽象函數判斷單調性，要充分利用所給條件和單調性的定義相結合求解． ( 2) 函數的單調性與不等式有直接的聯系，對函數單調性的考查常常與解不等式、求函數值域、圖像等相結合． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 令 x ＝ y ＝ 0 得 f ( 0) ＝－ 1. 在 R 上任取 x1 x2， 則 x1－ x20 ， f ( x1－ x2) － 1 ，又 f ( x1) ＝ f [( x1－ x2) ＋ x2] ＝ f ( x1－ x2) ＋ f ( x2) ＋ 1 f ( x2) ， 所以，函數 f ( x ) 在 R 上是單調增加的． ( 2) 由 f ( 1) ＝ 1 ，得 f ( 2) ＝ 3 ， f ( 3) ＝ 5. 由 f ( x2＋ 2 x ) ＋ f (1 － x ) 4 得 f ( x2＋ x ＋ 1) f ( 3) ， 又函 數 f ( x ) 在 R 上是增加的，故 x2＋ x ＋ 1 3 ， 解之，得 x － 2 或 x 1 ，故解集為 { x | x － 2 或 x 1} ． [ 方法總結 ] 解有關抽象函數不等式問題的步驟： ( 1) 確定函數 f ( x ) 在給定區(qū)間上的單調性 ( 或奇偶性 ) ； ( 2) 將函數不等式轉化為 f ( A ) f ( B ) 的形式； ( 3) 運用 函數的單調性 “ 去掉 ” 函數的抽象符號 “ f ” ，轉化成一般的不等式或不等式組； ( 4) 解不等式或不等式組求得解集． 提醒： 解此類問題易忽視 A ， B 的取值范圍，即忽視 f ( x )所在的單調區(qū)間的約束． 已知奇函數 f ( x ) 對于任意的正實數 x1， x2( x1≠ x2) ，恒有 ( x1－ x2)( f ( x1) － f ( x2) ) 0 ，則一定正確的是 ( ) A ． f ( 4) f ( 6) B ． f ( － 4) f ( － 6) C ． f ( － 4) f ( － 6) D ． f ( 4) f ( － 6) [ 答案 ] C [ 解析 ] 因為 f ( x ) 對于任意的正實數 x1， x2( x1≠ x2) ，恒有( x1－ x2)( f ( x1) － f ( x2) ) 0 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數，又因為 f ( x ) 為奇函數