北師大版高考數(shù)學一輪總復習92兩直線的位置關系與距離公式-wenkub
2022-11-29 18:06:36 本頁面
【正文】 4 － y0) ，并且滿足 ????? 4 x0＋ y0＋ 3 ＝ 0 ，3 ? － 2 － x0? － 5 ? 4 － y0? － 5 ＝ 0 ， 即????? 4 x0＋ y0＋ 3 ＝ 0 ，3 x0－ 5 y0＋ 31 ＝ 0 ，解得????? x0＝－ 2 ，y0＝ 5 ， 因此直線 l的方程為y － 25 － 2＝x － ? － 1 ?－ 2 － ? － 1 ?， 即 3 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 距離公式的應用 已知點 P (2 ，－ 1) ． (1) 求過 P 點且與原點距離為 2 的直線 l 的方程； (2) 求過 P 點且與原點距離最大的 直線 l 的方程，最大距離是多少？ [ 思路分析 ] 設出直線方程，利用點到直線距離公式求系數(shù)即可． [ 規(guī)范解答 ] (1) ① 當 l的斜率 k 不存在時顯然成立， ∴ l的方程為 x ＝ 2 ； ② 當 l的斜率 k 存在時， 設 l： y ＋ 1 ＝ k ( x － 2) ，即 kx － y － 2 k － 1 ＝ 0. 由點到直線距離公式得|－ 2 k － 1|1 ＋ k2＝ 2 ， ∴ k ＝34， ∴ l： 3 x － 4 y － 10 ＝ 0. 故所求 l的方程為 x ＝ 2 或 3 x － 4 y － 10 ＝ 0. ( 2) 作圖可得過 P 點與原點 O 距離最大的直線是過 P 點且與PO 垂直的直線，由 l⊥ OP ，得 k1kOP＝－ 1 ， 所以 k1＝－1kOP＝ 2. 由直線方程的點斜式得 y ＋ 1 ＝ 2( x － 2) ． 即 2 x － y － 5 ＝ 0. 即直線 2 x － y － 5 ＝ 0 是過 P 點且與原點 O 距離最大的直線，最大距離為|－ 5|5＝ 5 . [ 方法總結 ] 用點到直線的距離公式時，直線方程要化為一般式，還要注意公式中分子含有絕對值的符號，分母含有根式的符號．而求解兩平行直線的距離問題也可以在其中一條直線上任取一點，再求這一點到另一直線的距離． 與直線 2 x ＋ 3 y ＋ 5 ＝ 0 平行，且距離等于 13 的直線方程是 ______________ ． [ 答案 ] 2 x ＋ 3 y ＋ 18 ＝ 0 或 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 [ 解析 ] ∵ 所求直線 l與已知直線 l0： 2 x ＋ 3 y ＋ 5 ＝ 0 平行， ∴ 可設 l為 2 x ＋ 3 y ＋ C ＝ 0 ，由 l與 l0的距離為 13 ， 得| C － 5|22＋ 32＝ 13 ， 解得 C ＝ 18 或 C ＝－ 8 ， ∴ 所求直線 l的方程為 2 x ＋ 3 y ＋ 18 ＝ 0 或 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0. 對稱問題 光線從 A ( － 4 ，－ 2) 點射出，到直線 y ＝ x 上的 B點后被直線 y ＝ x 反射到 y 軸上 C 點，又被 y 軸反射，這時反射光線恰好過點 D ( － 1,6) ，求 BC 所在的直線方程． [ 思路分析 ] 設 A 關于直線 y ＝ x 的對稱點為 A ′ ， D 關于 y軸的對稱點為 D ′ ，則直線 A ′ D ′ 經過點 B 與 C . [ 規(guī)范解答 ] 作出草圖，如圖所示．設 A 關于直線 y ＝ x 的對稱點 A ′ ， D 關于 y 軸的對稱點為 D ′ ，則易得 A ′ ( － 2 ，－ 4) ，D ′ ( 1,6) ．由入射角等于反射角可得 A ′ D ′ 所在直線經過點 B 與C ，故 BC 所在的直線方程為y － 66 ＋ 4＝x － 11 ＋ 2，即 10 x － 3 y ＋ 8 ＝ 0. [ 方法總結 ] 解決這類對稱問題要抓住兩條：一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上． 求直線 l1： y ＝ 2 x ＋ 3 關于直線 l ： y ＝ x ＋ 1 對稱的直線 l2的方程． [ 分析 ] 轉化為點關于直線 的對稱，利用方程組求解． [ 解析 ] 解法 1 ：由????? y ＝ 2 x ＋ 3y ＝ x ＋ 1得直線 l1與 l2的交點坐標為( － 2 ，－ 1) ， 在 l1上取一點 A (0,3) ，則 A 關于直線 l的對稱點 B ( x1， y1) 一定在 l2上， 由
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