北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)92兩直線的位置關(guān)系與距離公式-wenkub
2022-11-29 18:06:36 本頁(yè)面
【正文】 4 － y0) ，并且滿足 ????? 4 x0＋ y0＋ 3 ＝ 0 ，3 ? － 2 － x0? － 5 ? 4 － y0? － 5 ＝ 0 ， 即????? 4 x0＋ y0＋ 3 ＝ 0 ，3 x0－ 5 y0＋ 31 ＝ 0 ，解得????? x0＝－ 2 ，y0＝ 5 ， 因此直線 l的方程為y － 25 － 2＝x － ? － 1 ?－ 2 － ? － 1 ?， 即 3 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 距離公式的應(yīng)用 已知點(diǎn) P (2 ，－ 1) ． (1) 求過(guò) P 點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為 2 的直線 l 的方程； (2) 求過(guò) P 點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的 直線 l 的方程，最大距離是多少？ [ 思路分析 ] 設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求系數(shù)即可． [ 規(guī)范解答 ] (1) ① 當(dāng) l的斜率 k 不存在時(shí)顯然成立， ∴ l的方程為 x ＝ 2 ； ② 當(dāng) l的斜率 k 存在時(shí)， 設(shè) l： y ＋ 1 ＝ k ( x － 2) ，即 kx － y － 2 k － 1 ＝ 0. 由點(diǎn)到直線距離公式得|－ 2 k － 1|1 ＋ k2＝ 2 ， ∴ k ＝34， ∴ l： 3 x － 4 y － 10 ＝ 0. 故所求 l的方程為 x ＝ 2 或 3 x － 4 y － 10 ＝ 0. ( 2) 作圖可得過(guò) P 點(diǎn)與原點(diǎn) O 距離最大的直線是過(guò) P 點(diǎn)且與PO 垂直的直線，由 l⊥ OP ，得 k1kOP＝－ 1 ， 所以 k1＝－1kOP＝ 2. 由直線方程的點(diǎn)斜式得 y ＋ 1 ＝ 2( x － 2) ． 即 2 x － y － 5 ＝ 0. 即直線 2 x － y － 5 ＝ 0 是過(guò) P 點(diǎn)且與原點(diǎn) O 距離最大的直線，最大距離為|－ 5|5＝ 5 . [ 方法總結(jié) ] 用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程要化為一般式，還要注意公式中分子含有絕對(duì)值的符號(hào)，分母含有根式的符號(hào)．而求解兩平行直線的距離問題也可以在其中一條直線上任取一點(diǎn)，再求這一點(diǎn)到另一直線的距離． 與直線 2 x ＋ 3 y ＋ 5 ＝ 0 平行，且距離等于 13 的直線方程是 ______________ ． [ 答案 ] 2 x ＋ 3 y ＋ 18 ＝ 0 或 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 [ 解析 ] ∵ 所求直線 l與已知直線 l0： 2 x ＋ 3 y ＋ 5 ＝ 0 平行， ∴ 可設(shè) l為 2 x ＋ 3 y ＋ C ＝ 0 ，由 l與 l0的距離為 13 ， 得| C － 5|22＋ 32＝ 13 ， 解得 C ＝ 18 或 C ＝－ 8 ， ∴ 所求直線 l的方程為 2 x ＋ 3 y ＋ 18 ＝ 0 或 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0. 對(duì)稱問題 光線從 A ( － 4 ，－ 2) 點(diǎn)射出，到直線 y ＝ x 上的 B點(diǎn)后被直線 y ＝ x 反射到 y 軸上 C 點(diǎn)，又被 y 軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn) D ( － 1,6) ，求 BC 所在的直線方程． [ 思路分析 ] 設(shè) A 關(guān)于直線 y ＝ x 的對(duì)稱點(diǎn)為 A ′ ， D 關(guān)于 y軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D ′ ，則直線 A ′ D ′ 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 與 C . [ 規(guī)范解答 ] 作出草圖，如圖所示．設(shè) A 關(guān)于直線 y ＝ x 的對(duì)稱點(diǎn) A ′ ， D 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D ′ ，則易得 A ′ ( － 2 ，－ 4) ，D ′ ( 1,6) ．由入射角等于反射角可得 A ′ D ′ 所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 與C ，故 BC 所在的直線方程為y － 66 ＋ 4＝x － 11 ＋ 2，即 10 x － 3 y ＋ 8 ＝ 0. [ 方法總結(jié) ] 解決這類對(duì)稱問題要抓住兩條：一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上． 求直線 l1： y ＝ 2 x ＋ 3 關(guān)于直線 l ： y ＝ x ＋ 1 對(duì)稱的直線 l2的方程． [ 分析 ] 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱，利用方程組求解． [ 解析 ] 解法 1 ：由????? y ＝ 2 x ＋ 3y ＝ x ＋ 1得直線 l1與 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為( － 2 ，－ 1) ， 在 l1上取一點(diǎn) A (0,3) ，則 A 關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn) B ( x1， y1) 一定在 l2上， 由
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