北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)33《定積分與微積分基本定理》-文庫吧
2025-10-15 18:07 本頁面
【正文】 [ 答案 ] 9 [ 解析 ] 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及求導(dǎo)運算． ∵ x 0 ， y ′ ＝－ x2＋ 81 ＝ (9 － x )(9 ＋ x ) ，令 y ′ ＝ 0 ，得 x＝ 9 ； 當(dāng) x ∈ ( 0,9) 時， y ′ 0 ， x ∈ (9 ，＋ ∞ ) ， y ′ 0. y 先增后減， ∴ x ＝ 9 時函數(shù)取最大值． 課堂典例講練 已知 f ( x ) ＝ x ln x . (1) 求函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖像在 x ＝ e 處的切線方程； (2) 設(shè)實數(shù) a 0 ，求函數(shù) F ( x ) ＝f ? x ?a在 [ a, 2 a ] 上的最小值． [ 思路分析 ] (1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程． (2) 要注意對 a 與極值點進行討論分析． 利用導(dǎo)數(shù)研究最值 [ 規(guī)范解答 ] ( 1) f ( x ) 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝ ln x ＋ 1 ， ∵ f ( e ) ＝ e ，且 f ′ ( e ) ＝ 2 ， ∴ 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ e 處的切線方程為 y ＝ 2( x － e) ＋ e ，即y ＝ 2 x － e. (2) F ′ ( x ) ＝1a(ln x ＋ 1) ， 令 F ′ ( x ) ＝ 0 得 x ＝1e. 當(dāng) x ∈ (0 ，1e) 時， F ′ ( x ) 0 ， F ( x ) 是減少的； 當(dāng) x ∈ (1e，＋ ∞ ) 時， F ′ ( x ) 0 ， F ( x ) 是增加的． ① 當(dāng) a ≥1e時， F ( x ) 在 [ a, 2 a ] 上是增加的， F ( x )m in＝ F ( a ) ＝ ln a ； ② 當(dāng) a 1e2 a ，即12e a 1e時， F ( x ) 在 [ a ，1e] 上是減少的，在 [1e，2 a ] 上是增加的， F ( x )m in＝ F (1e) ＝－1e a； ③ 當(dāng) 2 a ≤1e，即 0 a ≤12e時， F ( x ) 在 [ a, 2 a ] 上是減少的． ∴ F ( x )m in＝ F (2 a ) ＝ 2ln2 a . 綜上可知 F ( x ) 的最小值為 F ( x )m in＝????????? 2ln2 a ， a ∈ ? 0 ，12e]－1e a， a ∈ ?12e，1e?ln a ， a ∈ [1e，＋ ∞ ? [ 方法總結(jié) ] 1. 根據(jù)最值的定義，求在閉區(qū)間 [ a ， b ] 上連續(xù)，開區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷使 f ′ ( x ) ＝ 0 成立的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點的函數(shù)值進行比較，就可判定最大 ( 小 ) 值． 2 ．定義在開區(qū)間 ( a ， b ) 上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax3＋ x2＋ bx ( 其中常數(shù) a ， b ∈ R ) ， g ( x ) ＝ f ( x )＋ f ′ ( x ) 是奇函數(shù)． ( 1) 求 f ( x ) 的表達式； ( 2) 討論 g ( x ) 的單調(diào)性，并求 g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值與最小值． [ 解析 ] ( 1) 由題意得 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 x ＋ b . 因此 g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ′ ( x ) ＝ ax3＋ (3 a ＋ 1) x2＋ ( b ＋ 2) x ＋ b . 因為函數(shù) g ( x ) 是奇函數(shù)，所以 g ( － x ) ＝－ g ( x ) ，即對任意實數(shù) x ，有 a ( － x )3＋ (3 a ＋ 1 ) ( － x )2＋ ( b ＋ 2) ( － x ) ＋ b ＝－ [ ax3＋ (3 a ＋1) x2＋ ( b ＋ 2) x ＋ b ] ， 從而 3 a ＋ 1 ＝ 0 ， b ＝ 0 ，解得 a ＝－13， b ＝ 0. 因此 f ( x ) ＝－13x3＋ x2. ( 2) 由 ( 1) 知 g ( x ) ＝－13x3＋ 2 x ， 所以 g ′ ( x ) ＝－ x2＋ 2. 令 g ′ ( 0) ＝ 0 ，解得 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， 則當(dāng) x － 2 或 x 2 時， g ′ ( x ) 0 ， 從而 g ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－ 2 ] ， [ 2 ，＋ ∞ ) 上是減少的； 當(dāng)－ 2 x 2 時， g ′ ( x ) 0 ，從而 g ( x ) 在 [ － 2 ， 2 ] 上是增加的． 由前面討論知， g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值與最小值只能在 x ＝ 1 ， 2 ， 2 時取得， 而 g ( 1) ＝53， g ( 2 ) ＝4 23， g ( 2) ＝43. 因此 g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值為 g ( 2 ) ＝4 23，最小值為 g ( 2) ＝43. 利用導(dǎo)數(shù)解恒成立問題 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x － ln( x ＋ a ) 的最小值為 0 ，其中a 0. (1) 求 a 的值； (2) 若對任意的 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，有 f ( x ) ≤ kx2恒成立，求實數(shù)k 的最小值． [ 思路分析 ] (1) 先求導(dǎo)，得到函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，得到最小值
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