【正文】 x ) 0 ， ∴ h ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上是減函數． ∴ h ( x ) h ( 1) ＝－ 2 0 ， 即 g ′ ( x ) 0 ， ∴ g ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上也是減函數． g ( x ) g ( 1) ＝－ 1 ， ∴ 當 a ≥ － 1 時， f ( x ) x2在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立． [ 點評 ] 在已知函數 f ( x ) 是增函數 ( 或減函數 ) 求參數的范圍時，可令 f ′ ( x ) ≥ 0[ 或 f ′ ( x ) ≤ 0] 恒成立，解出參數的范圍，然后再檢驗該參數的端點值能否使 f ′ ( x ) ＝ 0 恒成立，若能成立，則去掉參數的該值；若不能使 f ′ ( x ) ＝ 0 恒成立，則參數的范圍即為所求．也可由 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立，從中分離出要求的參數，再進一步通過求最值確定參數的范圍 . 運用導數證明不等式問題 設 a 為實數，函數 f ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R . (1) 求 f ( x ) 的單調區(qū)間與極值； (2) 求證：當 a ln2 － 1 且 x 0 時， ex x2－ 2 ax ＋ 1. [ 思路分析 ] (1) 求單調區(qū)間與極值可利用 f ( x ) 與 f ′ ( x ) 的關系求解； (2) 可構造函數 g ( x ) ＝ ex－ x2＋ 2 ax － 1 ，通過研究 g ( x )的性質進行證明． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 解：由 f ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R 知 f ′ ( x )＝ ex－ 2 ， x ∈ R . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ln2 ，于是當 x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x )的變化情況如下表： x ( － ∞ ， ln2) ln2 ( ln2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 單調遞減 ↘ 2( 1 － ln2 ＋ a ) 單調遞增 故 f ( x ) 的單調遞減區(qū)間是 ( － ∞ ， ln2 ] ，單調遞增區(qū)間是[ ln2 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) 在 x ＝ ln2 處取得極小值，極小值為 f ( ln2) ＝ el n 2－ 2ln2＋ 2 a ＝ 2( 1 － ln2 ＋ a ) ． ( 2) 證明：設 g ( x ) ＝ ex－ x2＋ 2 ax － 1 ， x ∈ R ， 于是 g ′ ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R . 由 ( 1) 知當 a ln2 － 1 時， g ′ ( x ) 的最小值為 g ′ ( ln2) ＝ 2( 1 － ln2 ＋ a ) 0. 于是對任意 x ∈ R ， 都有 g ′ ( x ) 0 ， 所以 g ( x ) 在 R 內單調遞增． 于是當 a ln2 － 1 時，對任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) g ( 0) ． 而 g ( 0) ＝ 0 ，從而對任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， g ( x ) 0 ， 即 ex－ x2＋ 2 ax － 1 0 ，故 ex x2－ 2 ax ＋ 1. [ 方法總結 ] 利用導數方法證明不等式 f ( x ) g ( x ) 在區(qū)間 D上恒成立的基本方法是構造函數 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數 h ( x ) 0 ，其中一個重要技巧就是找到函數 h ( x ) 什么時候可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口． ( 2020第二章 函數與基本初等函數 第 二 章 第三節(jié) 導數在函數最值及生活實際中的應 用 高考目標導航 課前自主導學 課堂典例講練 3 課后強化作業(yè) 4 高考目標導航 考綱要求 1. 會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值 ( 其中多項式函數一般不 超過三次 ) ． 2 ．會利用導數解決某些實際問題 . 命題分析 應用導數求函數的最值是高考的重點內容，題型以解答題為主．除考查導數的知識外還與其它知識如不等式、數列、解析幾何等聯系，難度為中高檔題． 預測 2020 年高考仍然突出導數的工具性，重點考查導數與函數的單調性、極值、最值等問題，突出轉化與化歸、分類討論和數形結合等思想方法的考查 . 課前自主導學 知 識 梳 理 1. 函數的最大值與最小值 ( 1) 函 數的最大值與最小值：在閉區(qū)間 [ a ， b ] 上連續(xù)的函數f ( x ) ，在 [ a ， b ] 上 ______ __ 有最大值與最小值；但在開區(qū)間 ( a ，b ) 內連續(xù)的函數 f ( x ) ___ _____ 有最大值與最小值． ( 2) 求最大值與最小值的步驟：設函數 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上連續(xù)，在 ( a ， b ) 內可導，求 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值與最小值的步驟如下： ① 求 f ( x ) 在 ( a ， b ) 內的 _ _______ 值； ② 將 f ( x ) 的各 ________ 值與 ________ 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 2 ． 解決優(yōu)化問題的基本思路 [ 答案 ] 1.( 1) 必 不一定 ( 2) ① 極 ② 極 f ( a ) ， f ( b ) 2 ．用函數表示的數學問題 基 礎 自 測 1. 函數 f ( x ) ＝ 2 x4－ 3 x2＋ 1 在區(qū)間 [12， 2] 上的最大值和最小值分別是 ( ) A ． 21 ，－18 B ． 1 ，－