北師大版高考數(shù)學一輪總復習33定積分與微積分基本定理-在線瀏覽
2025-01-21 18:07本頁面
【正文】 1e) ＝－1e a； ③ 當 2 a ≤1e，即 0 a ≤12e時， F ( x ) 在 [ a, 2 a ] 上是減少的． ∴ F ( x )m in＝ F (2 a ) ＝ 2ln2 a . 綜上可知 F ( x ) 的最小值為 F ( x )m in＝????????? 2ln2 a ， a ∈ ? 0 ，12e]－1e a， a ∈ ?12e，1e?ln a ， a ∈ [1e，＋ ∞ ? [ 方法總結(jié) ] 1. 根據(jù)最值的定義，求在閉區(qū)間 [ a ， b ] 上連續(xù)，開區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)可導的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷使 f ′ ( x ) ＝ 0 成立的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點的函數(shù)值進行比較，就可判定最大 ( 小 ) 值． 2 ．定義在開區(qū)間 ( a ， b ) 上的可導函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax3＋ x2＋ bx ( 其中常數(shù) a ， b ∈ R ) ， g ( x ) ＝ f ( x )＋ f ′ ( x ) 是奇函數(shù)． ( 1) 求 f ( x ) 的表達式； ( 2) 討論 g ( x ) 的單調(diào)性，并求 g ( x ) 在區(qū)間 [ 1,2] 上的最大值與最小值． [ 解析 ] ( 1) 由題意得 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 x ＋ b . 因此 g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ′ ( x ) ＝ ax3＋ (3 a ＋ 1) x2＋ ( b ＋ 2) x ＋ b . 因為函數(shù) g ( x ) 是奇函數(shù)，所以 g ( － x ) ＝－ g ( x ) ，即對任意實數(shù) x ，有 a ( － x )3＋ (3 a ＋ 1 ) 北京高考 ) 設 L 為曲線 C ： y ＝ln xx在點 ( 1,0) 處的切線． ( 1) 求 L 的方程； ( 2) 證明：除切點 ( 1,0) 之外，曲線 C 在直線 L 的下方． [ 解析 ] ( 1) 設 f ( x ) ＝ln xx，則 f ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 . 所以 f ′ ( 1) ＝ 1. 所以 L 的方程為 y ＝ x － 1. ( 2) 令 g ( x ) ＝ x － 1 － f ( x ) ，則除切點之外，曲線 C 在直線 L的下方等價于 g ( x ) 0 ( ? x 0 ， x ≠ 1) ． g ( x ) 滿足 g ( 1 ) ＝ 0 ，且 g ′ ( x ) ＝ 1 － f ′ ( x ) ＝x2－ 1 ＋ ln xx2 . 當 0 x 1 時， x2－ 1 0 ， ln x 0 ，所以 g ′ ( x ) 0 ，故 g ( x ) 單調(diào)遞減； 當 x 1 時， x2－ 1 0 ， ln x 0 ，所以 g ′ ( x ) 0 ，故 g ( x ) 單調(diào)遞增． 所以， g ( x ) g ( 1) ＝ 0( ? x 0 ， x ≠ 1) ． 所以除切點之外，曲線 C 在直線 L 的下方 . 導數(shù)在實際問題中的應用 某集團為 了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費 t ( 百萬元 ) 可增加銷售額約為－ t2＋ 5 t ( 百萬元 )(0 ≤ t ≤ 5) ． (1) 若該公司將當年的廣告費控制在三百萬元之內(nèi)，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？ ( 2) 現(xiàn)該公司準備共投入 300 萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經(jīng)預測，每投入技術改造費 x ( 百萬元 ) ，可增加的銷售額約為－13x3＋ x2＋ 3 x ( 百萬元 ) ．請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大？ ( 注：收益＝銷售額－投入 ) ． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 設投入 t ( 百萬元 ) 的廣告費后增加的收益為 f ( t )( 百萬元 ) ，則有 f ( t ) ＝ ( － t2＋ 5 t ) － t ＝－ t2＋ 4 t ＝－ ( t － 2)2＋ 4 (0 ≤ t ≤ 3) ， ∴ 當 t ＝ 2 百萬元時， f ( t ) 取得最大值 4 百萬元． 即投入 2 百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大． ( 2) 設用于技術改造的資金為 x ( 百萬元 ) ，則用于廣告促銷的資金為 (3 － x )( 百萬元 ) ，又設由此獲得的收益是 g ( x ) ，則有g ( x ) ＝ ( －13x3＋ x2＋ 3 x ) ＋ [ － (3 － x )2＋ 5( 3 － x )] － 3 ＝－13x3＋ 4 x＋ 3 (0 ≤ x ≤ 3) ， ∴ g ′ ( x ) ＝－ x2＋ 4. 令 g ′ ( x ) ＝ 0 解得 x ＝－ 2( 舍去 ) 或 x ＝ 2 ， 當 0 ≤ x 2 時， g ′ ( x ) 0 ，當 2 x ≤ 3 時， g ′ ( x ) 0 ， 故 g ( x ) 在 [ 0,2] 上是增函數(shù)，在 [ 2,3] 上是減函數(shù)． 所以當 x ＝ 2 時， g ( x ) 取最大值，即將 2 百萬元用于技術改造， 1 百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大． [ 方法總結(jié) ] 1. 導數(shù)在實際問題中的應用 在求實際問題中的最值時，一般要先恰當?shù)倪x擇變量，建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，然后利用導數(shù)加以解決．注意檢驗結(jié)果與實際是否相符． 2 ．實際問題中的最值 根據(jù)實際意義，函數(shù)存在最值，而函數(shù)只有一個極值，則函數(shù)的極值就是最值． 已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的成本為 c ＝ 25
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