高等數(shù)學定積分微積分學基本定理-在線瀏覽
2024-11-01 09:08本頁面
【正文】 .1xx x求 ??解 21222 222 1 200 20d 1 d ( 1 ) 1 2 ( 1 )22( 1 )1x x x xxx?? ? ? ?????.15 ?? （不變元 ,不變限） 元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限 . 保留原積分變量，因此不必改變積分限 。 0 1 , 4 x t x t?? ? ? ? ?時 時 于是43 20121d ( 3 ) d221x x t tx? ?????3 311 ( 3 )23t t?? 1 2 7 1[ ( 9 ) ( 3 ) ]2 3 3? ? ? ?.322? （變元 ,變限） 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 3 π 350 si n si n d .x x x求 ??解 π 350 sin sin dx x x??3π20 sin | c o s | dx x x? ? 33ππ222π02s in c o s d s in ( c o s ) dx x x x x x? ? ???33π π222 π0 2s in d( s in ) s in d( s in )x x x x?? π π55222π0 222sin sin55xx? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2 2 4( ) .5 5 5? ? ? ?（必須注意偶次根式的非負性） 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 4 1 20 ln( 1 ) x xx???求解 2dt a n , d .1 xxtt x?? ?設 則 ,00 ?? xt 時當π π1 , 0 0 t a n 1 ,44t x t t? ? ? ? ? ?時 且 當 時 , 于 是π1 4200ln( 1 ) d ln( 1 t a n ) d1x x t tx? ?????π40c o s s inln dc o stt tt?? ?π40π2 c os( )4l n dc osttt?? ?π π π4 4 40 0 0πl(wèi)n 2 d ln c o s ( ) d ln c o s d .4t t t t t? ? ? ?? ? ?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁π , d d ,4u t u t? ? ? ?設 則π0,4tu??時π4t ? 時π 04 π0 4πl(wèi)n c o s ( ) d ln c o s ( d )4 t t u u? ? ???40 ln c o s d .uu?? ?因此 , π14200ln( 1 ) d ln 2 d1x xtx? ????π ln 2.8?定理 （定積分分部積分法） 若 u(x),v(x)為 [a, b] 上的連續(xù)可微函數(shù) ,則有定 0,u 于是?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁積分的分部積分公式： ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????證 因為 uv 是 vuvu ??? 在 [ a, b ] 上的一個原函數(shù) , ( ( ) ( ) ) dba u x v x x?? ?( ) ( ) .bau x v x?移項后則得 所以 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaau x v x x u x v x x?? ???( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 5 120 a r c s in d .xx?求解 2da r c s in , , d , d d ,1xu x v x u v xx設則? ? ? ??111222000 2da r c sin d a r c sin1xxx x x xx?????11222201 π 1 ( 1 ) d( 1 )2 6 2 xx?? ? ? ? ??1220π 112 x? ? ?π 3 1.1 2 2? ? ?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 6 π20 s in d .n xx求 ?解 π20 s in dnnJ x x? ?π π1 2 22 200s in c o s ( 1 ) s in c o s dnnx x n x x x??? ? ? ? ?π π22200( 1 ) s in d ( 1 ) s in dnnn x x n x x?? ? ? ???.)1()1( 2 nn JnJn ???? ?于是 21 , 2 .nnnJ J nn ????返回 后頁 前頁 返回后頁前頁π200πd,2Jx???π210 s in d 1 ,J x x???22 1 2 3 1 π ( 2 1 ) ! ! π ,2 2 2 2 2 ( 2 ) ! ! 2mm m mJm m m? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??212 2 2 2 ( 2 ) ! !1,2 1 2 1 3 ( 2 1 ) ! !mm m mJm m m??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 , 2 , .m ?其中 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁若 u(x),v(x) 在 [a, b] 上有 (n+1) 階連續(xù)導函數(shù) ,則 ( 1 )( ) ( ) db na u x v x x??( ) ( 1 )[ ( ) ( ) ( ) ( )nnu x v x u x v x??? ? ? ? ? ?1 ( 1 )( 1 ) ( ) ( ) d .bnna u x v x x???? ?三、泰勒公式的積分型余項 由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式 . ()( 1 ) ( ) ( ) ] bnnau x v x??返回 后頁 前頁 返回后頁前頁( ) ( ) ( ) ,nnf x P x R x??0( 1 )1( ) ( ) ( ) d .!x nnn xR x f t x t tn????00( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,nx U x u t x t v t f t t x? ? ? ?證 設在階連續(xù)導數(shù) , 則 ( ) ( ) ,nP x f x n為 的 階泰勒多項式 余項為其中,x與 之間 則 定理 00( ) ( ) 1f x x U x n ?設 在 的某鄰域 內(nèi)有返回 后頁 前頁 返回后頁前頁.d))((!1)(0)1(? ?? ?xxnnn ttxtfnxR其中注 由推廣的積分第一中值定理
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