高等數(shù)學(xué)一微積分-在線瀏覽
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【正文】 n 1 c o s( 1 ) l i m ( 2) l i m ( 3) l i m ( 4) l i m ( s i n )x x x nx k x xnx x x n?? ? ? ? ?? 知識點： 重要極限 0s i nl i m 1xxx?? ( ) 0sin ( )lim 1()uxuxux?? 0sinli m 1nnanaa?? 解：0 0 00t a n s in 1 s in 1( 1 ) lim lim lim 1 1 1c o s lim c o sx x xxx x xx x x x x? ? ??? ? ? ? ? ( 2 ) 0 0 ,u k x x u? ? ?令 ， 等 價 于 0 0 0s i n s i nl i m l i m l i m 1s i nx x uk x k xk k k kx k xuu? ? ?? ? ? ? ? ? ? 20220( 3 ) lim l2 s in1c2imosxxxxxx????202si n2lim2 ( )2xxx??20sin2211lim22xxx????????????? (4)sinlim ( sin ) limnnnnnn?????? ? ? ?? ? ?li m( s in )nnn??? 注意： 等價無窮小 0x ? 時 ， ~ s i n , ~ t a n , ~ a r c s i nx x x x x x ， 21 c o s ~2xx? 0na ?時，si n ~nnaa ( ) 0ux ?時，s in ( ) ~ ( )u x u x 例 10 . （ 1 ）0( 1 )limc o s 1xxxex???（ 06 年 1 月 ） （ 2 ）? ?2x01 sin 3lim( 1 c o s 2 ) ln( 1 )xexxx???? （ 3 ）lim [ ln ( 2 ) ln ]xx x x? ? ??? （ 05 年 .10 月） 知識點： 用等價無窮小代換求極限 設(shè), 39。? ? ? ?都是無窮小 ， 如果 ~ 39。? ? ? ?， 則39。?????． 解： （ 1 ）因為 211 ~ , c o s 1 ~2xe x x x? ? ? 所以 002( 1 )lim lim 21c os 12xxxx e xxxx???? ? ??? （ 2 ）因為221~xex ? ， s i n 3 ~ 3xx ， 22121 c o s 2 ~ ( 2 ) 2x x x??， l n ( 1 ) ~xx? 所以 ? ?2x01 sin 3lim( 1 c o s 2 ) ln( 1 )xexxx????22x0( 3 ) 3lim( 2 ) 2xxxx????? （ 3 ）22l i m [ l n ( 2) l n ] l i m l n ( 1 ) l i m 2x x xx x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 注： 在使用等價無窮小代換時，應(yīng)注意只能對乘除法代換，不能對加 減法代換，即只 對極限中的各個因式進行代換． 記住下列幾個常用的等價無窮小以及由此導(dǎo)出其它的等價無窮小 1 . s i n ~ ,xx 導(dǎo)出 ( ) 0ux ?時 ，s in ( ) ~ ( )u x u x 2 . t a n ~ ,xx 導(dǎo)出 ( ) 0ux ?時 ，t a n ( ) ~ ( )u x u x 3 .a r c s i n ~xx， 導(dǎo)出 ( ) 0ux ?時 ，a r c s i n ( ) ~ ( )u x u x 4 .1~xex ?， 導(dǎo)出 ( ) 0ux ?時 ， ()1 ~ ( )uxe u x? 5 .l n ( 1 ) ~xx?， 導(dǎo)出 ( ) 0ux ?時 ，? ?l n 1 ( ) ~ ( )u x u x? 6 .21 c o s ~2xx?， 導(dǎo)出 ( ) 0ux ?時 ，2()1 c o s ( ) ~2uxux? 例 11 . (1) 01 c o s 3l i m .1 c o s 4xxx???（ 05 年 7 月） (2) 22ln sinlim .2xxx?????。?） (05 年 10 月 ) 知識點： 洛必達法則
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