【正文】 導數(shù) 變化率問題 平均變化率概念 : 式子 1212 )()( xx xfxf ?? , 稱為函數(shù) f(x)從 x1 到 x2 的平均變化率。若設(shè)12 xxx ??? , )()( 12 xfxff ??? (這里 x? 看作是對于 x1的一個 “ 增量 ” 可用x1+ x? 代替 x2, 同樣 )()( 12 xfxfyf ????? ) 則 平 均 變 化 率 為?????? xfxy x xfxxfxx xfxf ? ?????? )()()()( 111212 導數(shù) 導數(shù)的應(yīng)用 概念 導數(shù)的概念 平均變化率的概念 導數(shù)的公式 極值與最值 單調(diào)性 導數(shù)的運算法則 復合函數(shù)的求導法則 用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 【典型例題】 例 1． 已知函數(shù) f(x)= xx ?? 2 的圖象上的一點 )2,1( ??A 及臨近一點)2,1( yxB ?????? ,則 ???xy ． 解： )1()1(2 2 xxy ???????????? ， ∴ xx xxxy ???? ???????????? 32)1()1( 2 例 2． 求 2xy? 在 0xx? 附近的平均變化率。 解： 2020 )( xxxy ????? ，所以x xxxxy ? ??????2020 )( xxx xxxxx ???? ?????? 0202020 22 所以 2xy? 在 0xx? 附近的平均變化率為 xx ??02 。 導數(shù)與導函數(shù)的概念 1, 導數(shù)概念 一般的，定義在區(qū)間（ a ， b ）上的函數(shù) )(xf ， )( baxo ，? ，當 x? 無限趨近于 0時， x xfxxfxy oo ? ?????? )()( 無限趨近于一個固定的常數(shù) A，則稱 )(xf在 oxx? 處可導，并稱 A 為 )(xf 在 oxx? 處的導數(shù)，記作 )(39。 oxf 或oxxxf ?|)(39。， 上述兩個問題中：（ 1） 4)2(39。 ?f ，（ 2） oo ttV 2)(39。 ? 幾何意義： )(xf 在 oxx? 處的導數(shù)就是 )(xf 在 oxx? 處的切線斜率。 x 【典型例題】 例 4．（ 1）求函數(shù) 23xy? 在 x=1 處的導數(shù) . 分析：先求Δ f=Δ y=f(１＋Δ x)f(１ )=6Δ x+(Δ x)2 再求 xxf ????? 6再求 6lim ????? xfox。 解：法一（略） 法二： 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l im l im l im 3 ( 1 ) 611x x x xxxyxxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 2）求函數(shù) f(x)= xx ?? 2 在 1x?? 附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)． 解： xx xxxy ???? ???????????? 32)1()1( 2 200( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) l im l im ( 3 ) 3xxy x xfxxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù) 公式 ? ? exx aa log1log ?? 公式一 ? ?xx 1ln ?? 公式二 ? ? aaa xx ln?? 公式三 ? ? xx ee ?? 公式四 【典型例題】 例 5 （ 1） 242sin xxx ??? ；（ 2） )1ln(1ln ???? xx xxy ；（ 3）xxy sin1 sin1??? 答案：（242c os22s in xxxxx ??? ）； 2)1( ln?x x ； secx。 例 6:（ 1）求曲線 1)( 2 ??? xxfy 在點 P(1,2)處的切線方程 . （ 2）求函數(shù) 23xy? 在點 )3,1( 處的導數(shù) . 解：（ 1） 2 2 21 00[ ( 1 ) 1 ] ( 1 1 ) 2| l im l im 2x xxx x xy xx? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???, 所以，所求切線的斜率為 2，因此，所求的切線方程為 )1(22 ??? xy 即02 ??yx 。 （ 2）因為 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l im l im l im 3 ( 1 ) 611x x x xxxyxxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? 所以，所求切線的斜率為 6，因此，所求的切線方程為 )1(63 ??? xy 即6 3 0xy? ? ? （ 3）求函數(shù) f(x)= xx ?? 2 在 1x?? 附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)． 解： xx xxxy ???? ???????????? 32)1()1( 2 200( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) l im l im ( 3 ) 3xxy x xfxxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 例 7．（ 課本例 2）如圖 ，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù) )( 2 ???? ttth ，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線 )(th 在 0t 、 1t 、 2t 附近的變化情況． 解：我們用曲線 )(th 在 0t 、 1t 、 2t 處的切線，刻畫曲線 )(th 在上述三個時刻附近的變化情況． 當 0tt? 時，曲線在 0t 處的切線 0l 平行于 x 軸，所以，在 0tt? 附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降． 當 1tt? 時，曲線 )(th 在 1t 處的切線 1l 的斜率0)(\ ?th ，所以，在 1tt? 附近曲線下降，即函數(shù) )( 2 ???? ttth 在 1tt?附近單調(diào)遞減． 當 2tt? 時，曲線在 2t 處的切線 2l 的斜率 0)( 2` ?th ，所以，在 2tt? 附近曲線下降，即函數(shù) )( 2 ???? ttth 在 2tt? 附近單調(diào)遞減． 從圖 可以看出，直線 1l 的傾斜程度小于直線 2l 的傾斜程度，這說明曲線在 1t 附近比在 2t 附近下降的緩慢． 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則 基本初等函數(shù) 的導數(shù)公式 表 導數(shù)的運算法則 導數(shù)運算法則 1． ? ?39。 39。39。( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x? ? ? 2． ? ? 39。 39。39。( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x? ? ? 3． ? ?39。 39。39。2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)()()f x f x g x f x g x gxgxgx?? ??????? 注意： ? ?39。 39。( ) ( )cf x cf x? 常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)。 函數(shù) 導數(shù) yc? 39。 0y? *( ) ( )ny f x x n Q? ? ? 39。1ny nx ?? sinyx? 39。 cosyx? cosyx? 39。 sinyx?? () xy f x a?? 39。 ln ( 0)xy a a a? ? ? () xy f x e?? 39。 xye? ( ) logaf x x? 39。 1( ) l o g ( ) ( 0 1 )lnaf x x f x a axa? ? ? ?且 ( ) lnf x x? 39。 1()fxx? 【典型例題】 例 8．假設(shè)某國家在 20 年期間的年均通貨膨脹率為 5%，物價 p（單位：元）與時間 t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系 20 %)51()( ?? ptp ，其中 0p 為 0?t 時的物價．假定某種商品的 10?p ，那么在第 10 個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到 ）？ 解：根據(jù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式表，有 39。 ( ) ln ? 所以 39。 10(10) ln ??（元 /年） 因此，在第 10 個年頭，這種商品的價格約為 元 /年的速度上漲． 例 9 日常生活中的飲水通常是經(jīng) 過凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將 1噸水凈化到純凈度為 %x 時所需費用（單位：元）為 5284( ) ( 8 0 1 0 0 )100c x xx? ? ?? 求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（ 1） 90% （ 2） 98% 解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導數(shù)． 39。39。39。39。25 2 8 4 5 2 8 4 ( 1 0 0 ) 5 2 8 4 ( 1 0 0 )( ) ( )1 0 0 ( 1 0 0 )xxcx xx? ? ? ? ????? 20 (1 0 0 ) 5 2 8 4 ( 1 )(1 0 0 )x x? ? ? ? ?? ? 25284(100 )x? ? 因為 39。 25284( 9 0 ) 5 2 .8 4(1 0 0 9 0 )c ??? ， 所以，純凈度為 90%時，費用的瞬時變化率是 元 /噸． 因為 39。 25284( 9 8 ) 1 3 2 1(1 0 0 9 0 )c ??? ， 所以，純凈度為 98%時，費用的瞬時變化率是 1321 元 /噸． 函數(shù) )(xf 在某點處導數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢．由上述計 算可知， )90(25)98( `` cc ? ．它表示純凈度為 98%左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為 90%左右時凈化費用的瞬時變化率的 25 倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快． 復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)的概念 一般地，對于兩個函數(shù) )(ufy? 和 )(xgu? ，如果通過變量 u,y 可以表示成 x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù) )(ufy? 和 )(xgu? 的復合函數(shù)，記作 ? ?()y f g x? 。 復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù) ))(( xgfy ? 的導數(shù)和函數(shù) )(ufy? 和 )(xgu? 的導數(shù)間的關(guān)系為 ``` xux uyy ?? ，即 y對 x 的導數(shù)等于 y對 u的導數(shù)與 u 對 x的導數(shù)的乘積． 若 ))(( xgfy ? ，則 )())(())](([ ```` xgxgfxgfy ??? . 【典型例題】 例 10 求 xxy 44 cossin ?? 的導數(shù)． 分析：利用公式 1cossin 22 ?? xx 求解 . 例 11 曲線 y ＝ x（ x ＋ 1）（ 2－ x）有兩條平行于直線 y ＝ x 的切線，求此二切線之間的距離． 【解】 xxxy 223 ???? 223 2` ???? xxy 令 y′＝ 1 解得 x ＝－31或 x ＝ 1． 于是切點為 P（ 1， 2）， Q（－31，－2714）， 過點 P的切線方程為， y － 2＝ x － 1 即 x － y ＋ 1＝ 0． 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系 在某個區(qū)間 ),( ba 內(nèi)，如果 0)(` ?xf ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個區(qū)間內(nèi)單 調(diào)遞增；如果 0)(` ?xf ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說明：（ 1）特別的，如果 0)(` ?xf ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 函數(shù) )(xfy? 單調(diào)區(qū)間 求解函數(shù) )(xfy? 單調(diào)區(qū)間的步驟： （ 1）確定函數(shù) )(xfy? 的定義域；