【正文】 第 1 頁 共 27 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 38） — 導(dǎo)數(shù)、定積分 一．課標(biāo)要求： 1．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （ 1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 ① 通過對大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵 ； ② 通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 。 （ 2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ① 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) y=c， y=x， y=x2， y=x3， y=1/x， y=x 的導(dǎo)數(shù) ； ② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求 簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如 f（ ax+b））的導(dǎo)數(shù) ； ③ 會使用導(dǎo)數(shù)公式表 。 （ 3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 ① 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ； ② 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性 。 （ 4）生活中的優(yōu)化問題舉例 例如，使利潤最大 、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用 。 （ 5）定積分與微積分基本定理 ① 通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念 ； ② 通過實(shí)例（如變速運(yùn)動物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義 。 （ 6）數(shù)學(xué)文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見本《標(biāo)準(zhǔn)》中 數(shù)學(xué)文化 的要求。 二．命題走向 導(dǎo)數(shù) 是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì) 20xx 年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會有大的變化： （ 1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析 幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題； （ 2） 07 年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。 第 2 頁 共 27 頁 定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問題中非常廣泛，因而 07 年的高考預(yù)測會在這方面考察，預(yù)測 07 年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1）新課標(biāo)第 1 年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運(yùn)算，屬于中低檔題； （ 2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動等實(shí)際問題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。 三．要點(diǎn)精講 1．導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù) y=f(x),如果自變量 x 在 x0 處有增量 x? ，那么函數(shù) y 相應(yīng)地有增量 y? =f（ x0 + x? ） － f（ x0 ），比值xy??叫做函數(shù) y=f（ x）在 x0 到 x0 + x? 之間的平均變化率，即xy??=x xfxxf ? ??? )()( 00。 如果當(dāng) 0??x 時(shí)，xy??有極限，我們就說函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做 f（ x）在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f’（ x0 ）或 y’|0xx?。 即 f（ x0 ） =0lim??x xy??=0lim??x x xfxxf ? ??? )()( 00。 說明： （ 1） 函數(shù) f（ x）在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，是指 0??x 時(shí)，xy??有極限。如果xy??不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn) x0 處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。 （ 2） x? 是自變量 x 在 x 0 處的改變量， 0??x 時(shí)，而 y? 是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來歸納）： （ 1）求函數(shù)的增量 y? =f（ x0 + x? ） － f（ x0 ）； （ 2）求平均變化率 xy?? = x xfxxf ? ??? )()( 00 ； 第 3 頁 共 27 頁 （ 3） 取極限 ，得導(dǎo)數(shù) f’(x0 )=xyx ???? 0lim。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f（ x）在點(diǎn) p（ x0 ， f（ x0 ）） 處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f（ x）在點(diǎn) p（ x0 ， f（ x0 ））處的切線的斜率是 f’（ x0 ）。相應(yīng)地，切線方程為 y－ y0 =f/（ x0 ）（ x－ x0 ） 。 3． 常見函數(shù)的導(dǎo)出公式． （１） 0)( ??C （ C 為常數(shù)） （２） 1)( ???? nn xnx （３） xx cos)(sin ?? （４） xx sin)(cos ??? 4．兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則 1：兩個(gè)函數(shù)的和 (或差 )的導(dǎo)數(shù) ,等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (或差 )， 即： ( .) 39。39。39。 vuvu ??? 法則 2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù) ,等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù) ,加上第一個(gè) 函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： .)( 39。39。39。 uvvuuv ?? 若 C 為常數(shù) ,則 39。39。39。39。39。 0)( CuCuCuuCCu ????? .即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ： .)( 39。39。 CuCu ? 法則 3 兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等 于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方： ??????vu‘ =2 39。39。 v uvvu ?（ v? 0）。 形如 y=f? x(? ?) 的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解 —— 求導(dǎo) —— 回代。法則： y＇ |X = y＇ |U 178。 u＇ |X 5．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （ 1） 一般地，設(shè)函數(shù) )(xfy? 在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果 39。f )(x 0? ，則 )(xf 為增函數(shù)；如果 39。f 0)( ?x ，則 )(xf 為減函數(shù)；如果在某區(qū)間 內(nèi)恒有 39。f 0)( ?x ，則 )(xf 為第 4 頁 共 27 頁 常數(shù)； （ 2）曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正； （ 3） 一般地，在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f )(x 在 [a， b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù) ? )(x 在 (a， b)內(nèi)的極值； ②求 函數(shù) ? )(x 在區(qū)間端點(diǎn)的值 ?(a)、 ?(b)； ③將函數(shù) ? )(x的各極值與 ?(a)、 ?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6．定積分 （ 1）概念 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，用分點(diǎn) a＝ x0x1? xi－ 1xi? xn＝ b 把區(qū)間 [a， b]等分成 n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間 [xi－ 1， xi]上取任一點(diǎn) ξ i（ i＝ 1， 2，? n）作和式 In＝ ?ni f1＝(ξi)△ x（其中△ x 為小區(qū)間長度），把 n→∞即△ x→ 0 時(shí)，和式 In 的極限叫做函數(shù) f(x)在區(qū)間[a， b]上的 定積分 ，記作： ?ba dxxf )(，即 ?ba dxxf )(＝ ????nin f1lim(ξi)△ x。 這里， a 與 b 分別叫做 積分下限 與 積分上限 ，區(qū)間 [a， b]叫做 積分區(qū)間 ，函數(shù) f(x)叫做 被積函數(shù) ， x 叫做 積分變量 ， f(x)dx 叫做 被積式。 基本的積分公式： ?dx0 ＝ C； ? dxxm ＝ 111 ?? mxm＋ C（ m∈ Q， m≠－ 1）； ?x1dx＝ ln x ＋ C； ? dxex ＝ xe ＋ C； ? dxax ＝ aaxln ＋ C； ? xdxcos ＝ sinx＋ C； ? xdxsin ＝－cosx＋ C（ 表中 C 均為常數(shù)）。 （ 2）定積分的性質(zhì) ① ? ??ba ba dxxfkdxxkf )()(（ k 為常數(shù)）； ② ? ? ????ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()()()(； ③ ? ? ???ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()(（其中 a＜ c＜ b) 。 （ 3）定積分求曲邊梯形面積 由三條直線 x＝ a， x＝ b（ ab）， x 軸及一條曲線 y＝ f（ x）(f(x)≥ 0)圍成的曲邊梯的面積 ?? ba dxxfS )(。 第 5 頁 共 27 頁 如果圖形由曲線 y1＝ f1(x)， y2＝ f2(x)（不妨設(shè) f1(x)≥ f2(x)≥ 0），及直線 x＝ a， x＝ b（ ab）圍成，那么所求圖形的面積S＝ S 曲邊梯形 AMNB－ S 曲邊梯形 DMNC＝ ? ??ba ba dxxfdxxf )()( 21。 四．典例解析 題型 1：導(dǎo)數(shù)的概念 例 1．已知 s= 221gt，（ 1）計(jì)算 t 從 3 秒到 秒 、 秒 、 秒 … .各段內(nèi)平均速度；（ 2）求 t=3 秒是瞬時(shí)速度。 解析：（ 1） ? ? tt ????? ,3 指時(shí)間改變量； .)3()( 22 ?????? ggsss s?指時(shí)間改變量。 1305 ????? tsv。 其余各段時(shí)間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生回答完第一時(shí)間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況。 （ 2）從（ 1）可見某段時(shí)間內(nèi)的平均速度ts??隨 t? 變化而變化， t? 越小，ts??越接近于一個(gè)定 值，由極限定義可知，這個(gè)值就是 0??t 時(shí)，ts??的極限， V=0lim??x ts?? =0lim??x ?? ??? t sts )3()3( 0lim??x tgtg???? 22 321)3(21 = g21 0lim??x（ 6+ )t? =3g=(米 /秒 )。 例 2． 求函數(shù) y=24x的導(dǎo)數(shù)。 解析：2222 )( )2(44)( 4 xxx xxxxxxy ?? ??????????， 22 )(24 xxx xxxy ?? ???????， 第 6 頁 共 27 頁 ?00 limlim ???? ??? xx xy ?????? ?? ????22 )(24 xxx xx=38x。 點(diǎn)評：掌握切的斜率、 瞬時(shí)速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。 題型 2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例 3．（ 1） 求 )11(32 xxxxy ???的導(dǎo)數(shù)； （ 2）求 )11)(1( ???xxy的導(dǎo)數(shù)； （